(高等数学)偏微分方程

第十四章偏微分方程物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科.本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法.§1偏微分方程的一般概念与定解问题[偏微分方程及其阶数]一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数.[方程的解与积分曲面]设函数u在区域D内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u代入方程后，能使它在区域D内成为恒等式，就称u为方程在区域D中的解，或称正规解.在n+1维空间中是一曲面，称它为方程的积分曲面.[齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程]对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f(x,y).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的.[拟线性方程与半线性方程]如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部.上面方程的主部为如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程.如就是半线性方程.[非线性方程]不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程.如就是一阶非线性偏微分方程.[定解条件]给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程.如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件.表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件.[定解问题]给定了泛定方程（在区域D内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题.根据不同定解条件，定解问题分为三类.1初值问题只有初始条件而没有边界条件的定解问题称为初值问题或柯西问题.2边值问题只有边值条件而没有初始条件的定解问题称为边值问题.3混合问题既有边界条件也有初始条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）.[定解问题的解]设函数u在区域D内满足泛定方程，当点从区域D内趋于给出初值的超平面或趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中所要求的u及它的导数的极限处处存在而且满足相应的定解条件，就称u为定解问题的解.[解的稳定性]如果定解条件的微小变化只引起定解问题的解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在着连续依赖关系，那末称定解问题的解是稳定的.[定解问题的适定性]如果定解问题的解存在与惟一并且关于定解条件是稳定的，就说定解问题的提法是适定的.§2一阶偏微分方程柯西-柯娃列夫斯卡娅定理[一阶偏微分方程的通解]一阶偏微分方程的一般形式在有些书中写作或，其中如解出p1，可得：p1=f(x1,x2,…,xn,u,p2,…,pn)当方程的解包含某些“任意元素”(指函数)，如果适当选取“任意元素”时，可得方程的任意解(某些“奇异解”除外)，则称这样的解为通解.在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解，而不在于求通解.[一阶方程的柯西问题]称为柯西问题，式中为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理.[柯西－柯娃列夫斯卡娅定理]设f(x1,x2xn,u,p2pn)在点(x10,x20xn0,u0,p20pn0)的某一邻域内解析，而在点(x20xn0)的某邻域内解析，则柯西问题在点(x10xn0)的某一邻域内存在着惟一的解析解.这个定理应用的局限性较大，因它要求f及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必能满足这种条件.对高阶方程也有类似定理.一阶线性方程1． 一阶齐次线性方程[特征方程特征曲线初积分(首次积分)]给定一阶齐次线性方程(1)式中ai为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组(i=1,2n)或(2)称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l:xi=xi(t)(i=1,2n)满足特征方程(2)，就称曲线l为一阶齐次线性方程的特征曲线.如果函数symbol121\f"Symbol"\s12(x1,x2xn)在特征曲线上等于常数，即symbol121\f"Symbol"\s12(x1(t),x2(t)xn(t))=c就称函数symbol121\f"Symbol"\s12(x1,x2xn)为特征方程(2)的初积分(首次积分).[齐次方程的通解]1o连续可微函数u=symbol121\f"Symbol"\s12(x1,x2xn)是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是：symbol121\f"Symbol"\s12(x1,x2xn)是这个方程的特征方程的初积分.2o设symbol121\f"Symbol"\s12i(x1,x2xn)(i=1,2n)是特征方程(2)在区域D上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D内的每一点，矩阵的秩为n)，则u=symbol119\f"Symbol"\s12(symbol121\f"Symbol"\s121(x1,x2xn)symbol121\f"Symbol"\s12n-1(x1,x2xn))是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中symbol119\f"Symbol"\s12为n个变量的任意连续可微函数.[柯西问题]考虑方程的柯西问题式中symbol106\f"Symbol"\s12(x2xn)为已知的连续可微函数.设symbol121\f"Symbol"\s12i(x1,x2xn)(i=1,2n)为特征方程的任意n个相互独立的初积分，引入参变量()，从方程组解出x2xn得则柯西问题的解为u=symbol106\f"Symbol"\s12(symbol119\f"Symbol"\s122(symbol121\f"Symbol"\s121,symbol121\f"Symbol"\s122symbol121\f"Symbol"\s12n-1)symbol119\f"Symbol"\s12n(symbol121\f"Symbol"\s121,symbol121\f"Symbol"\s122symbol121\f"Symbol"\s12n-1))2． 非齐次线性方程它的求解方法与拟线性方程相同.一阶拟线性方程一阶拟线性方程为其中ai及R为x1,x2xn,u的连续可微函数且不同时为零.[一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]或为原拟线性方程的特征方程.如果曲线l:xi=xi(t)(i=1,2n),u=u(t)满足特征方程，则称它为拟线性方程的特征曲线.设symbol121\f"Symbol"\s12i(x1xn,u)(i=1,2n)为特征方程的n个相互独立的初积分，那末对于任何连续可微函数symbol119\f"Symbol"\s12，symbol119\f"Symbol"\s12(symbol121\f"Symbol"\s121(x1xn,u),symbol121\f"Symbol"\s122(x1xn,u)symbol121\f"Symbol"\s12n(x1xn,u))=0都是拟线性方程的隐式解.[柯西问题]考虑方程的柯西问题symbol106\f"Symbol"\s12为已知的连续可微函数.设symbol121\f"Symbol"\s121(x1,x2xn,u)symbol121\f"Symbol"\s12n(x1,x2xn,u)为特征方程的n个相互独立的初积分，引入参变量,从解出x2xn,u则由给出柯西问题的隐式解.一阶非线性方程[完全解·通解·奇异解]一阶非线性方程的一般形式为若一阶偏微分方程的解包含任意n个独立的常数，则称这样的解为完全解(全积分).若V(x1,x2xn,u,c1,c2cn)=0为方程的完全解，从消去ci，若得一个解，则称它为方程的奇异解(奇积分).以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系，设方程有完全解V(x,y,z,a,b)=0(a,b为任意常数),则方程等价于从方程组消去a,b所得的方程.利用常数变易法把a,b看作x,y的函数，将V(x,y,z,a,b)=0求关于x,y的偏导数，得那末与V=0联立可确定a,b.有三种情况：1，将其与V(x,y,z,a,b)=0联立可确定不含任意常数的奇异解.2如，即回到完全解.3当时，必有，这时，如果不属于情形2，则a与b存在函数关系：b=SYMBOL119\f"Symbol"(a)，这里SYMBOL119\f"Symbol"为任意可微函数，并从方程V(x,y,z,a,b)=0和消去a,b，可确定方程的通解.定理偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内.[特征方程·特征带·特征曲线·初积分]在一阶非线性方程：中，设F对所有变量的二阶偏导数存在且连续，称或为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为xi=xi(t),u=u(t),pi=pi(t)(i=1,2,…,n)称它为非线性方程的特征带.在x1,x2xn,u空间的曲线xi=xi(t),u=u(t)(i=1,2,…,n)称为非线性方程的特征曲线.如果函数在特征方程的任一解xi=xi(t)(i=1,2n),u=u(t),pi=pi(t)(i=1,2n)上等于常数，即那末函数称为特征方程的初积分.[求完全解的拉格朗日－恰比方法]考虑两个变量的情况.对于方程F(x,y,z,p,q)=0，选择使雅可比式的一个初积分G(x,y,z,p,q).解方程组(a为任意常数)得p(x,y,z,a)及q(x,y,z,a).则方程dz=pdx+qdy的通解V(x,y,z,a,b)=0(b是积分dz=pdx+qdy出现的任意常数)就是方程F(x,y,z,p,q)=0的完全解.例求方程的完全解.解方程的特征方程为这里成立所以特征方程的一个初积分为z2p2－x2.解方程组(a为任意常数)得积分微分方程得完全解(b为任意常数)[某些容易求完全解的方程]1仅含p,q的方程F(p,q)=0G=p是特征方程的一个初积分.从F(p,q)=0与p=a(a为任意常数)得q=SYMBOL121\f"Symbol"(a)，积分dz=adx+SYMBOL121\f"Symbol"(a)dy得完全解z=ax+SYMBOL121\f"Symbol"(a)y+b(b为任意常数)2不显含x,y的方程F(z,p,q)=0特征方程为因此qdp-pdq=0，显然为一个初积分，由F(z,p,q)=0，q=pa(a为任意常数)解得p=SYMBOL121\f"Symbol"(z,a).于是由dz=SYMBOL121\f"Symbol"(z,a)dx+aSYMBOL121\f"Symbol"(z,a)dy得(b为任意常数)可确定完全解.3变量分离形式的方程特征方程为可取初积分Gi=fi(xi,pi),(i=1,2n).从fi(xi,pi)=ai(i=1,2n)解出pi=SYMBOL106\f"Symbol"i(xi,ai)得完全解式中ai,b为任意常数，且.[克莱罗方程]方程称为克莱罗方程，其完全解为对ci微分得(i=1,2,…,n)与完全解的表达式联立消去ci即得奇异解.例求方程z－xp－yq－pq=0的完全解和奇异解.解这是克莱罗方程，它的完全解是z=ax+by+ab对a,b微分，得x=－b,y=－a，消去a,b得奇异解z=－xy[发甫方程]方程P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=0(1)称为发甫方程，如果P,Q,R二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分.如果可积分成一关系式时，则称它为完全可积.1方程完全可积的充分必要条件当且仅当P,Q,R满足条件(2)时，存在一个积分因子SYMBOL109\f"Symbol"(x,y,z)，使dU1=SYMBOL109\f"Symbol"(Pdx+Qdy+Rdz)从而方程的通解为U1(x,y,z)=c特别，当时，存在一个函数U(x,y,z)满足从而dU=Pdx+Qdy+Rdz所以方程的通解为U(x,y,z)=c所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.定理设对于发甫方程(1)在某区域D上的完全可积条件(2)成立，则对D内任一点M(x,y,z)一定有方程的积分曲面通过，而且只有一个这样的积分曲面通过.2方程积分曲面的求法设完全可积条件(2)成立.为了构造积分曲面，把z看成x,y的函数(设R(x,y,z)≠0)，于是原方程化为由此得方程组发甫方程(1)与此方程组等价.把方程(3)中的y看成参变量，积分后得一个含有常数的通解然后用未知函数代替常数，将代入方程(4)，在完全可积的条件下，可得的一个常微分方程，其通解为c为任意常数，代回中即得发甫方程的积分曲面z=SYMBOL106\f"Symbol"(x,y,SYMBOL121\f"Symbol"(y,c))由于发甫方程关于x,y,z的对称性，在上面的讨论中，也可把x或y看成未知函数，得到同样的结果.例求方程yzdx+2xzdy+xydz=0的积分曲面族.解容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因子，用它乘原方程得积分后得积分曲面族xy2z=c也可把方程化为等价的方程组把y看成参变量，积分得通解用未知函数代替，将代入方程得积分后有所以原方程的积分曲面族是xy2z=c一阶线性微分方程组[一阶线性偏微分方程组的一般形式]两个自变量的一阶线性方程组的形式是或(1)其中Aij,Bij,Cij,Fi,aij,bij,fi是(x,t)的充分光滑函数.[特征方程·特征方向·特征曲线]称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t)满足特征方程的方向称为该点的特征方向.如果一条曲线l，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l为特征曲线.[狭义双曲型方程与椭圆型方程]如果区域D内的每一点都存在n个不同的实的特征方向，那末称方程组在D内为狭义双曲型的.如果区域D内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D内为椭圆型的.[狭义双曲型方程组的柯西问题]1化方程组为标准形式symbol151\f"TimesNewRoman"symbol151\f"TimesNewRoman"对角型因为det(aij-SYMBOL100\f"Symbol"ijSYMBOL108\f"Symbol")=0有n个不同的实根SYMBOL108\f"Symbol"1(x,t)SYMBOL108\f"Symbol"n(x,t)，不妨设那末常微分方程的积分曲线li(i=1,2,…,n)就是方程组(1)的特征曲线.方程的非零解(SYMBOL108\f"Symbol"k(1)SYMBOL108\f"Symbol"k(n))称为对应于特征方向SYMBOL108\f"Symbol"k的特征矢量.作变换可将方程组化为标准形式symbol151\f"TimesNewRoman"symbol151\f"TimesNewRoman"对角型所以狭义双曲型方程组可化为对角型，而一般的线性微分方程组(1)如在区域D内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，(此时不一定要求SYMBOL108\f"Symbol"i都不相同)，就称这样的微分方程组在D内为双曲型的.2对角型方程组的柯西问题考虑对角型方程组的柯西问题SYMBOL106\f"Symbol"i(x)是[a,b]上的连续可微函数.设SYMBOL97\f"Symbol"ij,SYMBOL98\f"Symbol"i,SYMBOL108\f"Symbol"i在区域D内连续可微，在D内可得相应的积分方程组式中为第i条特征曲线li上点(x,t)与点(xi,0)之间的一段，(xi,0)为li与x轴上[a,b]的交点.上式可以更确切地写为(i=1,2n)式中xi=xi(x,t,t)为过点(x,t)的第i条特征曲线，利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令序列{vi(k)}(k=0,1,2)一致收敛于积分方程的连续可微解vi(x,t)(i=1,2n)，这个vi(x,t)也就是对角型方程组的柯西问题的解.设在区域D内对角型方程组的柯西问题的解存在，那末解与初值有下面的关系：(i)依赖区间：过D中任意点M(x,t)作特征曲线l1,ln，交x轴于B,A，称区间[A,B]为M点的依赖区间(图14.1(a))，解在M点的值由区间[A,B]的初值确定而与[A,B]外的初值无关.(ii)决定区域：过点A,B分别作特征曲线ln,l1,称ln,l1与区间[A,B]围成的区域D1为区间[A,B]的决定区域(图14.1(b))，在区域D1中解的值完全由[A,B]上的初值决定.(iii)影响区域：过点A,B分别作特征曲线l1,ln，称l1,ln与[A,B]围成的区域D2为区间[A,B]的影响区域(图14.1(c)).特别当区间[A,B]缩为一点A时，A点的影响区域为D3(图14.1(d)).在区域D2中解的值受[A,B]上的初值影响，而在区域D2外的解的值则不受[A,B]上的初值影响.图14.1[线性双曲型方程组的边值问题]以下列线性方程组来说明：(1)1第一边值问题(广义柯西问题)设在平面(x,t)上给定曲线段，它处处不与特征方向相切.过A,B分别引最左和最右的特征曲线l1及l2.要求函数u(x,t),v(x,t)在，l1及l2围成的闭区域上满足方程组，且在上取给定的函数值(图14.2(a)).2第二边值问题(古沙问题)设l1是过P点的第一族特征线，l2是第二族特征线，在l1的一段PA上给定v(x,t)的数值，在l2的一段PB上给定u(x,t)的数值，过A点作第二族特征线，过B点作第一族特征线相交于Q.求在闭区域PAQB上方程组的解(图14.2(b)).3第三边值问题设AB为非特征曲线的曲线弧，AC为一特征线弧，且在AB与AC之间不存在过A点的另外特征曲线,过C点作第二族特征线与过B点的第一族特征线交于E点，在AC上给定v(x,t)的数值，在AB上给定u(x,t)的数值，求ACEBA所围成的闭区域D上的方程组的解(图14.2(c)).图14.3图14.2[边值问题的近似解symbol151\f"TimesNewRoman"symbol151\f"TimesNewRoman"特征线法]以上定解问题，可用逐步逼近法求解，也可用特征线法求解的近似值.以第一边值问题为例说明.在曲线AB上取n个分点A1,A2,An，并记A为A0，B为An+1，过A0按A0的第二特征方向作直线与过A1按A1的第一特征方向作直线相交于B0；过A1按A1第二特征方向作直线与过A2按A2的第一特征方向作直线相交于B1最后得到Bn(图14.3).用如下的近似公式来确定方程组(1)的解u(x,t),v(x,t)在Bi(i=0,1,2,…,n)的数值：于是在一个三角形网格的节点上得到u,v的数值.再经过适当的插值，当n相当大，Ai、Ai+1的距离相当小时，就得到所提问题的足够近似的解.[特殊形式的拟线性方程组symbol151\f"TimesNewRoman"symbol151\f"TimesNewRoman"可化约系统]一般的拟线性方程组的问题比较复杂，目前研究的结果不多，下面介绍一类特殊形式的拟线性方程组symbol151\f"TimesNewRoman"symbol151\f"TimesNewRoman"可化约系统.如果方程组中所有的系数只是u,v的函数，称它为可化约系统.考虑满足条件的方程组的解u=u(x,t),v=v(x,t).x,t可以表示成u,v的函数，且原方程化为这是关于自变量u,v的线性方程组.这样就把求拟线性方程组满足的解，化为解线性方程组的问题.而此线性方程组满足条件的解，在(x,t)平面上的象即为原来拟线性方程组的解.§3二阶偏微分方程二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程(1)式中aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,an是某些参数，且有.如果点x=(x1,x2,…,xn)满足特征方程，即则过x的平面的法线方向l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n个自变量方程的分类与标准形式]在点P(x1,x2,…,xn)，根据二次型(ai为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i)特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.(ii)特征根都不为零，有n个具有同一种符号，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.(iii)特征根都不为零，有个具有同一种符号(n>m>1)，其余m个具有另一种符号，称方程在点P为超双曲型.(iv)特征根至少有一个是零，称方程在点P为抛物型.若在区域D内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：双曲型：超双曲型：抛物型：式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式]方程的一般形式为(2)a11,a12,a22为x,y的二次连续可微函数，不同时为零.方程a11dy2a12dxdy+a22dx2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线.在某点P(x0,y0)的邻域D内，根据Δ=a122－a11a12当Δ>0时，方程为双曲型；当Δ=0时，方程为抛物型；当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P的邻域D内作变量替换，可将方程化为标准形式：双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线，，作变换，和方程化为标准形式或抛物型:因Δ=0，只存在一族实的特征曲线，取二次连续可微函数，使，作变换，，方程化为标准形式椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设为的积分，不同时为零，作变量替换，,方程化为标准形式极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用.[椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]1极值原理设D为n维欧氏空间En的有界区域，S是D的边界，在D内考虑椭圆型方程式中aij(x),bi(x),c(x),f(x)在上连续，c(x)≤0且二次型正定，即存在常数μ>0，对任意和任意的ai有定理1设u(x)为D内椭圆型方程的解，它在D内二次连续可微，在上连续，且不是常数，如f(x)≤0（或f(x)≥0），则u(x)不能在D的内点取非正最小值（或非负最大值）.如果过边界S上的任一点P都可作一球，使它在P点与S相切且完全包含在区域D内，则有定理2设u(x)为椭圆型方程在D内二次连续可微，在上连续可微的解，且不是常数，并设f(x)≤0（或f(x)≥0）.若u(x)在边界S上某点M处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数嵌入Equation.3在点M存在，则(或)2定解问题(i) 第一边值问题（狄利克莱问题）(SYMBOL120\f"Symbol"SYMBOL206\f"Symbol"S)SYMBOL32\f"Symbol"SYMBOL32\f"Symbol"(ii) 第二边值问题（诺伊曼问题）SYMBOL32\f"Symbol"SYMBOL32\f"Symbol"SYMBOL32\f"Symbol"SYMBOL32\f"Symbol"SYMBOL32\f"Symbol"(SYMBOL120\f"Symbol"SYMBOL206\f"Symbol"S)SYMBOL32\f"Symbol"SYMBOL32\f"Symbol"其中N为S的外法线方向.(iii) 第三边值问题（混合问题）(SYMBOL120\f"Symbol"SYMBOL206\f"Symbol"S)SYMBOL32\f"Symbol"SYMBOL32\f"Symbol"a(SYMBOL120\f"Symbol"),b(SYMBOL120\f"Symbol"),SYMBOL121\f"Symbol"(SYMBOL120\f"Symbol")在S上连续，N是S的外法线方向，a(SYMBOL120\f"Symbol")≥0,b(SYMBOL120\f"Symbol")≤0，且a2(SYMBOL120\f"Symbol")+b2(SYMBOL120\f"Symbol")≠0.3解的惟一性问题设c(x)及b(SYMBOL120\f"Symbol")不同时恒等于零，如果定解问题Lu=f,lu=的解存在，则是惟一的，设c(x)及b(SYMBOL120\f"Symbol")都恒等于零，如果定解问题Lu=f,lu=的解存在，则除相差一个常数外，解是惟一的.[抛物型方程的极值原理与解的惟一性定理]设为柱体，在柱体内部考虑抛物型方程式中aij(x,t),bi(x,t),c(x,t),f(x,t)在上连续，且正定.1强极值原理设u(x,t)为抛物型方程Lu=f(x,t)在D×(0,T)内连续可微在上连续的解.并设f(x)=0，若u(x,t)在D×(0,T]的某点(x0,t0)取非负的最大值，即则对任意满足下列条件的点P(x,t)，都有u(x,t)=m：点P(x,t)满足t<t0,且可用完全在D×(0,T]内的连续曲线x=x(t)与点(x0,t0)相连.如在的侧边界Γ:S×[0,T]上（S是D的边界）任一点P都可作一球，使它在P点与Γ相切且完全在D×(0,T)内，则有定理设u(x,t)在上连续，在D×(0,T]内满足抛物型方程Lu=f，且不是常数，设f≤0，若u(x,t)在Γ上某点M处取非正最小值，只要外法向导数在点M存在，则2柯西问题与混合问题柯西问题的初值条件是混合问题按下列的定解条件分别称为(i) 第一边值问题：,;(ii) 线性边值问题：,,其中N为Γ的外法线方向为已知函数，a≥0，b≤0，a2+b2≠03解的惟一性定理如果抛物型方程Lu=f的混合问题的解存在,那末它是惟一的.如果柯西问题存在有界的解，那末在有界函数类中，解是惟一的.[波动方程的能量积分与解的惟一性定理]1波动方程的柯西问题与混合问题设波动方程为柯西问题的初值条件是如果在有界区域Q:D×(0,T]中考虑波动方程，记的侧边界为Γ，则混合问题的定解条件是第一边值问题第二边值问题第三边值问题式中N为Γ的外法线方向，φ(x),ψ(x)为D上的已知函数，SYMBOL115\f"Symbol"(SYMBOL120\f"Symbol",t)及SYMBOL109\f"Symbol"(SYMBOL120\f"Symbol",t)(SYMBOL120\f"Symbol"∈Γ,0≤t≤T)为定义在Γ上的已知函数，SYMBOL115\f"Symbol"(SYMBOL120\f"Symbol",t)≠0.2解的惟一性定理波动方程的混合问题与柯西问题的解如果存在必定惟一.惟一性定理可用下面能量积分证明.3能量积分积分**是的简写,下同.称为波动方程的能量积分.满足齐次波动方程及u|Γ=0（或）的函数u(x,t)成立：能量守恒原理E(t)=E(0).能量不等式式中满足齐次波动方程及的函数，在上面能量不等式E(t)中增加一项，上面关系仍成立.对于柯西问题,在特征锥（R为大于零的常数）中考虑齐次波动方程的解u,记特征锥与t=t0的截面为，关于能量积分成立下面的能量不等式式中πt是t=常数的超平面与以为上底所作的柱体（母线平行于Ot轴）的交截面.三种典型方程1. 波动方程研究下面形式的波动方程式中f(x,y,z,t)为已知函数.许多物体的运动规律可用波动方程来描述.如弦振动可用一维波动方程描述；膜的振动可用二维波动方程描述；声波和电磁波的振荡可用三维波动方程描述.[齐次方程柯西问题的解]设齐次波动方程的柯西问题满足下面初始条件：并设三次连续可微，二次连续可微，那末解u的表达式分别为1三维（克希霍夫公式）式中Sat表示球面：，dS表示球面的面积元素.2二维（泊松公式）式中Kat表示圆：.3一维（达兰贝尔公式）利用降维法可从高维的解推得低维的解.[非齐次方程柯西问题的解]非齐次波动方程柯西问题的解等于上面齐次方程柯西问题的解添加一项所谓推迟势.1三维式中积分区域是以(x,y,z)为中心，at为半径的球体,2二维式中.一维[解的物理意义]波动方程解的表达式具有明确的物理意义.1波的传播以弦振动为例，在达兰贝尔公式中，形如SYMBOL106\f"Symbol"(x-at)的解描写了弦振动以常速度a向右传播，称SYMBOL106\f"Symbol"(x-at)为右传播波，SYMBOL106\f"Symbol"(x+at)为左传播波，a为波速.2依赖区间过点P(x,t)作两条特征线x=c1，x+at=c2交x轴于x1，x2，则区间[x1,x2]称为点P的依赖区间，由达兰贝尔公式可见解在P点的值只与[x1,x2]上初始条件有关，而与区间外SYMBOL106\f"Symbol"(x)，SYMBOL121\f"Symbol"(x)的值无关.3决定区域过x轴上两点x1，x2(x1<x2)分别作特征线x=x1+at，x=x2则三角形区域x1+at≤x≤x2(t>0)称为[x1,x2]的决定区域(图14.4(a))，在区域中解的数值由[x1,x2]上的初始条件完全决定.任意改变初始条件在[x1,x2]外的数值，解在此区域中不会发生任何变化.图14.44 影响区域过x轴上两点分别作特征线x=x1，x=x2+at称区域x1-at≤x≤x2(t>0)为[x1,x2]的影响区域(图14.4(b)).在此区域中，解的数值受到[x1,x2]上初始条件的影响，而在此区域外，解的值不受[x1,x2]上的初始条件影响，当区域[x1,x2]缩为一点x0时，点x0的影响区域为x轴上区间(图14.4(c))x0≤x≤x0+at(t>0)对二维波动方程，点(x0,y0,t0)的依赖区域为t=0上的圆.(x－x0)2+(y－y0)2≤a2t02在t=0上圆(x－x0)2+(y－y0)2≤a2t02的决定区域是以(x0,y0,t0)为顶点的圆锥体区域(图14.5(a)).(x－x0)2+(y－y0)2≤a2(t－t0)2(t≤t0)初始平面t=0上一点(x0,y0,0)的影响区域为圆锥体(图14.5(b)).(x－x0)2+(y－y0)2≤a2t2(t>0)(1)初始平面t=0上某一区域的影响区域，就是由此区域上每一点所作的圆锥体(1)的包络面所围成的区域.图14.5对三维波动方程，点(x0,y0,z0,t0)的依赖区域为t=0上的球面(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2=a2t02初始平面t=0上的球体(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2≤a2t02的决定区域是以它为底，以(x0,y0,z0,t0)为顶点的圆锥体区域(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2≤a2(t－t0)2(t≤t0)在初始平面t=0上点(x0,y0,z0,0)的影响区域为锥面(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2=a2t2(t>0)(2)初始平面上某一区域的影响区域就是它上面的每一点所作的锥面(2)的包络面围成的区域.二维与三维波的传播存在着下述本质区别.5 惠更斯原理对三维波动方程，点(x0,y0,z0,0)的影响区域为(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2≤a2t2(t>0)若在某一有界区域Ω有一个初始扰动，在时刻t受到此初始扰动的影响区域就是所有以点为中心，以at为半径的球面全体，当t足够大时，这种球面族有内外包络面，称外包络面为传播波的前阵面，内包络面为后阵面.前阵面以外的部分表示扰动尚未传到的区域，后阵面以内的部分是波已传过并恢复了原来状态的区域，前后阵面之间的区域就是受到扰动影响的部分，在三维，波的传播有清晰的前阵面与后阵面，称为惠更斯原理或称无后效现象.6 波的弥散对二维波动方程，点(x0,y0)的影响区域为(x－x0)2+(y－y0)2≤a2t2若在有界区域Ω内有一个初始扰动，则波的传播只有前阵面而无后阵面，所以当Ω的初始扰动传到某点后，扰动对此点的影响不会消失，不过随时间的增加而逐渐减弱.这种现象称为波的弥散，或说波具有后效现象.2. 热传导方程热传导方程的一般形式为式中f(x,t)为连续有界函数.热传导方程是描述热的传导过程，分子的扩散过程等物理规律的.对于n维热传导方程的柯西问题的初值条件为式中SYMBOL106\f"Symbol"为连续有界函数，方程的解的表达式为3. 拉普拉斯方程研究重力场、静力场、磁场以及一些物理现象（如振动、热传导、扩散）的平衡或稳定过程，通常得到椭圆型方程，最典型的方程为拉普拉斯方程Δu=0及泊松方程Δu=ρ式中ρ为已知函数，Δ为拉普拉斯算子，[圆或球的狄利克莱问题解的泊松积分]当区域为圆或球时，分别采用极坐标(r,SYMBOL106\f"Symbol")或球坐标(r,θ,SYMBOL106\f"Symbol")较为方便.Δu=0的极坐标形式为Δu=0的球坐标形式为狄利克莱问题解的泊松积分为1区域是圆时，Δu=0,u|r=a=SYMBOL120\f"Symbol"(SYMBOL106\f"Symbol")，解为泊松积分式中SYMBOL120\f"Symbol"(SYMBOL106\f"Symbol")为已知连续函数，SYMBOL120\f"Symbol"(SYMBOL106\f"Symbol")=SYMBOL120\f"Symbol"(SYMBOL106\f"Symbol"+2SYMBOL112\f"Symbol").2区域是球时，Δu=0,u|r=a=SYMBOL120\f"Symbol"()，解为泊松积分式中SYMBOL120\f"Symbol"()为已知连续函数，[调和函数的性质]二维拉普拉斯方程的连续解称为调和函数，它具有以下重要性质：1设函数u(x,y)在以S为边界的有界区域D内调和，在上有连续一阶偏导数，则式中为外法向导数.2算术平均值定理设函数u(x,y)在圆的内部调和，在闭圆上连续，则u(x,y)在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均值.3每一个调和函数u(x,y)对x,y无穷次可微.4哈拉克第一定理（一致收敛定理）设{uk(x,y)},(k=1,2)在有界区域D内调和，在上连续，如果uk(x,y)在D的边界上一致收敛，则在D内也一致收敛，并且极限函数在D内调和.5哈拉克第二定理（单调性定理）设调和函数列{uk(x,y)},(k=1,2,…)在D的某一内点收敛，且对于任意k，uk+1(x,y)≥uk(x,y)则uk(x,y)在D内处处收敛于某调和函数，同时在D的每一有界闭子区域上一致收敛.6刘维尔定理如函数u(x,y)在全平面上调和且不是常数，则它不可能有上界和下界.7可去奇点定理设u(x,y)在A点的一个邻域（除A点外）调和且有界，但在A点没有定义，则可定义函数u(x,y)在A点的值，使u在整个A点的邻域（包括A点）内是调和函数.[李雅普诺夫闭曲面与内、外边值问题]设S为En的有限闭曲面，如果满足下列条件，那末S称为李雅普诺夫闭曲面：(i) 曲面到处有切面.(ii) 存在常数d>0，对曲面上每一点P，可作一个以P为中心、d为半径的球，使曲面在此球内的部分和任意一条与P点法线平行的直线相交不多于一点(iii) 曲面上任意二点P1及P2的法线的夹角γ(P1,P2)满足式中A,δ为正常数，0<δ≤1，是点P1与P2之间的距离.(iv) 从空间任意一点P0看曲面的任一部分σ的立体角SYMBOL119\f"Symbol"SYMBOL115\f"Symbol"有界，即|SYMBOL119\f"Symbol"SYMBOL115\f"Symbol"|≤k（k为常数）（从点P0看曲面S的立体角为式中表示矢量，NP表示S在点P的外法线矢量，dSP表示点P的面积元素.）设D为En的有界区域，其边界S为李雅普诺夫闭曲面.求在D内满足Δu=0而在S上满足给定边界条件的解称为内边值问题；求在D外满足Δu=0而在S上满足给定边界条件的解称为外边值问题.[狄利克莱问题与诺伊曼问题的解]狄利克莱问题Δu=0，诺伊曼问题Δu=0，式中MS∈S，
为S上的已知连续函数，为外法向导数.1狄利克莱问题的解可表示为面积分.式中v(P)称为面密度，面积分u(M)称为双层位势，rPM为点M与变点P之间的距离，rPM为矢量，NP为S在点P的外法线矢量，v(M)满足第二类弗雷德霍姆积分方程(第十五章§1)：(i) 内边值问题(ii) 外边值问题2诺伊曼问题的解可表示为面积分式中SYMBOL119\f"Symbol"(P)称为面密度，面积分u(M)称为单层位势，SYMBOL119\f"Symbol"(P)满足第二类弗雷德霍姆积分方程：(i) 内边值问题(ii) 外边值问题定理：狄利克莱的内外边值问题及诺伊曼的外边值问题有惟一解，而诺伊曼的内边值问题解存在的充分必要条件是：[泊松方程]在区域D内，泊松方程Δu=ρ（ρ为已知连续函数）有特解：三维：体势位二维：对数势位式中rPM为点M与变点P之间的距离.如果已知泊松方程的一个特解U(M)，则SYMBOL119\f"Symbol"=u－U满足ΔSYMBOL119\f"Symbol"=0，从而泊松方程的边值问题可化为拉普拉斯方程相应的边值问题.基本解与广义解[共轭微分算子与自共轭微分算子]算子称为二阶线性微分算子，式中aij,bi,c为x1,x2,…,xn的二次连续可微函数.由公式决定的算子L*称为L的共轭微分算子.如果L=L*，则称L为自共轭微分算子.[格林公式]1算子L的格林公式是式中S为区域D的边界，N为S的外法线矢量，ei为xi的轴的矢量(0,…,0,,0,…,0),cos(N,ei)表示矢量N与ei的夹角的余弦，2三维拉普拉斯算子的格林公式其中是外法向导数.3算子的格林公式式中L*为L的共轭微分算子，N为外法线矢量，i,j分别为x轴，y轴上的单位矢量.[基本解]1方程Lu=f的基本解：设M,M0为En中的点，满足方程的解U(M,M0)称为方程Lu=f的基本解，有时也称为方程Lu=0的基本解，式中SYMBOL100\f"Symbol"(M-M0)称为n维狄拉克函数（SYMBOL100\f"Symbol"-函数）.基本解U(M,M0)满足(i)LU(M,M0)=0，当M≠M0，(ii)对任意充分光滑的函数f(M)，于是U(M,M0)满足Lu=f(M).所以有时也就把满足条件(i)、(ii)的函数U(M,M0)定义为方程Lu=f(M)的基本解.(a) Δu=0的基本解二维：三维：n维：式中表示点M与M0之间的距离.(b) n维空间的多重调和方程SYMBOL68\f"Symbol"mu=0的基本解(c) 热传导方程的基本解(d) 波动方程的基本解一维：二维：三维：2柯西问题的基本解(i) 称满足的解为波动方程柯西问题的基本解，它的形式为一维：二维：三维：(ii) 称满足的解为热传导方程柯西问题的基本解，它的形式是同样方法可以定义其他定解问题的基本解.由定义可见，基本解表示由集中量（如点热源，点电荷等）所产生的解，下段介绍的格林函数，黎曼函数也具有这种特点，统称它们为点源函数，或影响函数.[广义解]在区域D中给定二阶线性方程式中f在D上连续.1设un(x)为D上充分光滑（如二阶连续可微）的函数序列，当n→∞时，un(x)一致（或在适当意义下）收敛于函数u(x)，同时Lun也一致（或在适当意义下）收敛于f(x)，则称u(x)为Lu=f的广义解.2设函数u(x)在区域D内连续，如果对于任意二次连续可微且在与D的边界距离小于某一正数SYMBOL114\f"Symbol"的点上恒等于零的函数SYMBOL119\f"Symbol"（SYMBOL114\f"Symbol"与SYMBOL119\f"Symbol"无关，SYMBOL119\f"Symbol"称为D的试验函数）有那末称u(x)为方程Lu=f的广义解.有时为了区别广义解，称以前定义的解为古典解，古典解一定是广义解.但因广义解不一定光滑，甚至不可微，所以不一定是古典解.例如，当SYMBOL106\f"Symbol"(x)，SYMBOL121\f"Symbol"(x)只是x的连续函数时，函数u(x,t)=SYMBOL106\f"Symbol"(x+t)－SYMBOL121\f"Symbol"(x－t)为波动方程的广义解，但不是古典解.二阶偏微分方程的常用解法1.分离变量法它是解线性微分方程常用的一种方法，特别当区域是矩形、柱体、球体时使用更为普遍.这种方法是先求满足边界条件的特解，利用迭加原理，作这些特解的线性组合，得到定解问题的解.求特解时常归结为求某些常微分方程边值问题的特征值和特征函数.以下对不同类型方程说明分离变量法的具体解法.[弦振动方程]1两端固定的弦振动齐次方程混合问题设u(x,t)=X(x)T(t)，具体解法如下：(1) X(x)，T(t)满足的常微分方程：(2) 用此二常微分方程的解的乘积表示弦振动方程的特解un(x,t).解边值问题当时，有非零解称λn为边值问题的特征值，Xn(x)为特征函数.把λn代入T(t)的方程，得式中An,Bn为任意常数，这样就得到弦振动方程的特解：(3) 把un(x,t)迭加，形式上作级数(4) 利用特征函数的正交性，确定系数An,Bn.把SYMBOL106\f"Symbol"(x)及SYMBOL121\f"Symbol"(x)展开成傅立叶级数式中利用初始条件可得于是混合问题的形式解为若(i)SYMBOL106\f"Symbol"(x)具有一阶和二阶连续导数，三阶导数逐段连续，且SYMBOL106\f"Symbol"(0)=SYMBOL106\f"Symbol"(l)，SYMBOL106\f"Symbol""(0)=SYMBOL106\f"Symbol""(l)=0;(ii)SYMBOL121\f"Symbol"(x)连续可微，二阶导数逐段连续，SYMBOL121\f"Symbol"(0)=SYMBOL121\f"Symbol"(l)=0，那末形式解右端的级数一致收敛，形式解就是混合问题的正规解.2解的物理意义弦的这种形式的振动称为驻波，点(m=0,1n)为不动的点，称为节点；点(m=0,1,2n－1)处振幅最大，称为腹点；称为弦振动的固有频率；弦线发出的最低音的频率为（τ为张力，ρ为弦的线密度）称为该弦的基音，其他频率都是它的整数倍，称为泛音.3非齐次方程的混合问题将u(x,t)和f(x,t)展开成傅立叶级数：那末根据定解条件再利用1中SYMBOL106\f"Symbol"(x)与SYMBOL121\f"Symbol"(x)的傅立叶展开式，有所以形式解为若SYMBOL106\f"Symbol"(x)具有一、二阶连续导数，三阶导数逐段连续，SYMBOL121\f"Symbol"(x)和f(x,t)连续可微，二阶导数逐段连续，同时SYMBOL106\f"Symbol"(0)=SYMBOL106\f"Symbol"(l)=SYMBOL106\f"Symbol""(0)=SYMBOL106\f"Symbol""(l)=0SYMBOL121\f"Symbol"(0)=SYMBOL121\f"Symbol"(l)=f(0,t)=f(l,t)=0则级数一致收敛，形式解就是非齐次方程混合问题的正规解.4遇到非齐次边界条件作变换可化为关于v(x,t)的齐次边界条件求解.[热传导方程]热传导方程的第一边值问题设u(x,t)=X(x)T(t)，得X"(x)+SYMBOL108\f"Symbol"2X(x)=0T'(t)+a2SYMBOL108\f"Symbol"2T(t)=0特征值，对应的特征函数为，而作形式解式中cn等于SYMBOL106\f"Symbol"(x)的傅立叶系数即.当SYMBOL106\f"Symbol"(x)具有一、二阶连续导数，三阶导数逐段连续，SYMBOL106\f"Symbol"(0)=SYMBOL106\f"Symbol"(l)=0，则上述级数一致收敛，形式解就是正规解了.[拉普拉斯方程]球内定常温度分布的狄利克莱问题—拉普拉斯方程的狄利克莱问题.选用球坐标令u(r,,SYMBOL106\f"Symbol")=v(r,)SYMBOL121\f"Symbol"().代入方程，分离变量得SYMBOL121\f"Symbol""()+k2SYMBOL121\f"Symbol"()=0(1)(2)利用对于变量的周期性，u(r,,)=u(r,,+2SYMBOL112\f"Symbol")，可知方程(1)中的k只能取m(m=0,1)，那末SYMBOL121\f"Symbol"()取{cosm,sinm}.再将方程(2)分离变量，令v=R(r)H()，得(3)(4)方程(4)的解可用勒让德多项式表示，为了使解有界，λ只能取λn2=n(n+1)(n=0,1,2,…)对应的解H()=Pn(m)(cos)，，Pn(x)为勒让德多项式方程(3)可写成这是欧拉方程，其有界解为R(r)=c1rn.最后将u的特解迭加，利用边界条件和球函数的正交性得式中Pn(m)(cos)为一般勒让德函数.如果二次连续可微，则表示的级数一致收敛，它就是狄利克莱问题的解.[高阶方程]梁的横向振动方程为（a为常数）(1)定解条件为设y(x,t)=X(x)T(t)，那末方程(2)满足X"(0)=X"(l)=0的特征值，特征函数(n=1,2)，方程(3)的解为所以方程(1)的形式解为由y(x,0)=x(l－x)得最后得到方程(1)的解.2.双曲型方程的黎曼方法考虑拉普拉斯双曲型方程[古沙问题的特征线法]古沙问题是设a(x,y),b(x,y),c(x,y),f(x,y)为连续函数；连续可微且，令则古沙问题化为下面积分方程组的求解问题图14.6它可用逐次逼近法求解，显然x=x0,y=y0为拉普拉斯双曲型方程的特征线，所以此法也称为特征线法.[广义柯西问题的黎曼方法]广义柯西问题是设a(x,y),b(x,y),c(x,y),1(x)及SYMBOL109\f"Symbol"(x)为连续可微函数，且SYMBOL109\f"Symbol"'(x)≠0，而f(x,y)及2(x)为连续函数.设M(x0,y0)不是y=SYMBOL109\f"Symbol"(x)上的点，过点M作特征线x=x0,y=y0交y=SYMBOL109\f"Symbol"(x)于P及Q，记曲边三角形PMQ为D（图14.6），在D上用格林公式（本节，四）得设v(x,y;x0,y0)为下面古沙问题的解：那末广义柯西问题解的黎曼公式为式中v(x,y;x0,y0)称为黎曼函数，这个方法称为黎曼方法.一般可用特征线法求黎曼函数.但对常系数偏微分方程（c为常数）也可用下法求黎曼函数.设v=v(z)，，则方程化为贝塞耳方程黎曼函数就是满足此贝塞耳方程及条件v(0)=1的零阶贝塞耳函数，对常系数的拉普拉斯双曲型方程通过变换可化为的形式，它的黎曼函数就是上式.3.椭圆型方程的格林方法在区域D考虑椭圆型方程式中aij,bi,c,f为x1,…,xn的连续可微函数，aij=aji，二次型是正定的.[格林函数及其性质]若Lu=0的共轭方程L*u=0的基本解G(x,SYMBOL120\f"Symbol")在D的边界S上满足G(x,SYMBOL120\f"Symbol")=0,x∈S则称G(x,SYMBOL120\f"Symbol")为方程Lu=0的格林函数，式中x=(x1,…,xn)，ξ为参变点，SYMBOL120\f"Symbol"=(SYMBOL120\f"Symbol"1,…,SYMBOL120\f"Symbol"n)，即G(x,SYMBOL120\f"Symbol")=G(x1,…,xn;SYMBOL120\f"Symbol"1,…,SYMBOL120\f"Symbol"n).格林函数具有对称性质：设G(x,SYMBOL120\f"Symbol"),V(x,SYMBOL120\f"Symbol")分别为方程Lu=0及其共轭方程的格林函数，则成立对称关系G(x,SYMBOL120\f"Symbol")=V(x,SYMBOL120\f"Symbol")特别如果Lu为自共轭微分算子，则有G(x,SYMBOL120\f"Symbol")=G(SYMBOL120\f"Symbol",x)[利用格林函数解边值问题]1一般公式在区域D上应用格林公式（本节，四），并取v=G(x,SYMBOL120\f"Symbol")，则方程Lu=f的狄利克莱问题u|s=的解为式中（N是S的外法线方向）2对于球体（球心为O，半径为a），SYMBOL68\f"Symbol"u=0的基本解为，r为P(x,y,z)与参变点M(SYMBOL120\f"Symbol",SYMBOL109\f"Symbol",SYMBOL122\f"Symbol")的距离，作M关于球面的反演点M1，记r1为M1与P的距离，则格林函数为.狄利克莱问题u|s=SYMBOL106\f"Symbol"的解为式中S为球面.引用球坐标时，解为泊松积分(本节，三，3).3在圆上（半径为a），SYMBOL68\f"Symbol"u=0的格林函数为式中r为P(x,y)与参变点M(SYMBOL120\f"Symbol",SYMBOL104\f"Symbol")的距离，r1为P与M点关于圆的反演点M1的距离，圆上狄利克莱问题的解为泊松积分.4.积分变换法积分变换法是解线性微分方程，特别是常系数方程的一种有效方法，它是把方程的某一独立变量看成参变量，作未知函数的积分变换，这样可减少原方程独立变量的个数而将方程化为简单形式（最简单的情况是常微分方程，甚至是代数方程）.解此简化方程的对应定解问题并通过逆积分变换就得到原定解问题的解.下面举例说明傅立叶变换和拉普拉斯变换方法.例1用傅立叶变换法解弦振动方程的柯西问题解把t作为参变量，作u(x,t)关于x的傅立叶变换F原来的柯西问题化为下面的定解问题把p看作参数，其解为由傅立叶变换的反演公式得到原问题的解例2用拉普拉斯变换法解热传导方程的定解问题解把x当作参变量，作u(x,t)关于t的拉普拉斯变换L原问题化为通解为要求解有界.c2必须为零，所以，查拉普拉斯变换表（第十一章）得式中erfc(y)为余误差函数.§4偏微分方程的数值解法差分法差分法是常用的一种数值解法.它是在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.1.网格与差商图14.7在平面(x,y)上的一以S为边界的有界区域D上考虑定解问题.为了用差分法求解，分别作平行于x轴和y轴的直线族.(i,j=0,SYMBOL177\f"Symbol"1,SYMBOL177\f"Symbol"2,…,SYMBOL177\f"Symbol"n)作成一个正方形网格，这里h为事先指定的正数，称为步长；网格的交点称为节点，简记为(i,j).取一些与边界S接近的网格节点，用它们连成折线Sh，Sh所围成的区域记作Dh.称Dh内的节点为内节点，位于Sh上的节点称为边界节点（图14.7）.下面都在网格Dh+Sh上考虑问题：寻求各个节点上解的近似值.在边界节点上取与它最接近的边界点上的边值作为解的近似值，而在内节点上，用以下的差商代替偏导数：注意，1式中的差商称为向后差商，而称为向前差商，称为中心差商.也可用向前差商或中心差商代替一阶偏导数.2x轴与y轴也可分别采用不同的步长h,l，即用直线族(i,j=0,±1,±2)作一个矩形网格.2.椭圆型方程的差分方法[五点格式]考虑拉普拉斯方程的第一边值问题式中SYMBOL109\f"Symbol"(x,y)为定义在D的边界S上的已知函数.采用正方形网格，记u(xi,yj)=uij，在节点(i,j)上分别用差商代替，对应的差分方程为（1）或即任一节点(i,j)上uij的值等于周围相邻节点上解的值的算术平均，这种形式的差分方程称为五点格式，在边界节点上取（2）式中(xi*,yj*)是与节点(i,j)最接近的S上的点.于是得到了以所有内节点上的uij值为未知量的若干个线性代数方程，由于每一个节点都可列出一个方程，所以未知量的个数与方程的个数都等于节点的总数，于是，可用通常的方法（如高斯消去法）解此线性代数方程组，但当步长不很大时，用高斯消去法将会遇到很大困难，可用下面介绍的其他方法求解.若hSYMBOL174\f"Symbol"0时，差分方程的解收敛于微分方程的解，则称差分方程为收敛的.在计算过程中，由于进行四则运算引起舍入误差，每一步计算的舍入误差都会影响以后的计算结果，如果这种影响所产生的计算偏差可以控制，而不至于随着计算次数的增加而无限增大，则称差分方程是稳定的.[迭代法解差分方程]在五点格式的差分方程中，任意取一组初值{uij}，只要求它们在边界节点(i,j)上取以已知值SYMBOL109\f"Symbol"(xi*,yj*)，然后用逐次逼近法（也称迭代法）解五点格式：逐次求出{uij(n)}.当(i+1,j)，(i－1,j)，(i,j－1)，(i,j+1)中有一点是边界节点时，每次迭代时，都要在这一点上取最接近的边界点的值.当nSYMBOL174\f"Symbol"∞时，uij(n)收敛于差分方程的解，因此n充分大时，{uij(n)}可作差分方程的近似解，迭代次数越多，近似解越接近差分方程的解.[用调节余数法求节点上解的近似值]以差商代替Δu时，用节点(i+1,j)，(i－1,j)，(i,j+1)，(i,j－1)上u的近似值来表示u在节点(i,j)的值将产生的误差，称此误差为余数Rij，即图14.8设在(i,j)上给uij以改变量SYMBOL100\f"Symbol"uij，从上式可见Rij将减少4SYMBOL100\f"Symbol"uij，而其余含有u(xi,yj)的差分方程中的余数将增加SYMBOL100\f"Symbol"uij，多次调整SYMBOL100\f"Symbol"uij的值就可将余数调整到许可的有效数字的范围内，这样可获得各节点上u(x,y)的近似值.这种方法比较简单，特别在对称区域中计算更简捷.例求Δu=0在内节点A,B,C,D上解的近似值.设在边界节点1,2,3,4上分别取值为1,2,3,4（图14.8）解记u(A)=uA，点A,B,C,D的余数分别为－4uA+uB+uc+5=RAuA－4uB+uD+7=RBuA－4uc+uD+3=RCuB+uc－4uD+5=RD以边界节点的边值的算术平均值作为初次近似值，即uA(0)=