数学人教A版高中选择性必修一（2019新编）1-3-1 空间直角坐标系（教案）

PAGE空间直角坐标系要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面.要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点，则有点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是；点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是.要点三、空间两点间距离公式1.空间两点间距离公式空间中有两点，则此两点间的距离.特别地，点与原点间的距离公式为.2.空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.【典型例题】类型一：空间坐标系例1．画一个正方体ABCD—A1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB、AD、AA1所在直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系。（1）求各顶点的坐标；（2）求棱C1C中点的坐标；（3）求平面AA1B1B对角线交点的坐标。【解析】如图所示，由棱长为1，可得（1）各顶点坐标分别是A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、A1（0，0，1）、B1（1，0，1）、C1（1，1，1）、D1（0，1，1）；（2）棱CC1中点为；（3）平面AA1B1B对角线交点为。举一反三：【变式1】在如图所示的空间直角坐标系中，OABC—D1A1B1C1是单位正方体，N是BB1的中点，求这个单位正方体各顶点和点N的坐标．【答案】O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），N（1，1，）。例2．（1）在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于x轴对称的点的坐标是（）．A．（－2，1，－4）B．（－2，－1，－4）C．（2，－1，4）D．（2，1，－4）（2）在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于xOy平面对称的点的坐标是（）．A．（－2，1，－4）B．（－2，－l，－4）C．（2，－1，4）D．（2，1，－4）【答案】（1）B（2）A举一反三：【变式1】如图，长方体中，|OA|=4，|OC|=6，，与相交于点P，则点P的坐标是（）A．（6，2，1）B．（1，2，6）C．（4，6，2）D．（2，6，1）【答案】D【解析】根据题意，得：点B（4，6，0），点（0，6，2），且P是的中点，∴，即P（2，6，1）．类型二：两点间的距离公式例3．如图所示，在长方体OABC—O1A1B1C1中，|OA|=2，|AB|=3，|AA1|=2，过点O作OD⊥AC于D，求点O1到点D的距离。【解析】由题意得A（2，0，0），O1（0，0，2），C（0，3，0）设D（x，y，0）在Rt△AOC中，|OA|=2，|OC|=3，，∴如右图，过点D分别作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，则Rt△ODA与Rt△OMD相似，可得，∵|OM|=x，∴|OD|2=x·|OA|，∴同样的，利用Rt△ODC与Rt△ODN相似，可得．∴∴举一反三：【变式1】在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=4，点M在A1C1上，|MC1|=2|A1M1|，N在C1D上且为C1D的中点，求M、N两点间的距离．【答案】M、N两点间的距离为。【变式2】在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在x轴上求一点P，使它与点P0（4，1，2）的距离为；（2）在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小．【解析】（1）设点P的坐标是（x，0，0），由题意，即，∴(x―4)2=25，解得x=9或x=―1．∴点P坐标为（9，0，0）或（―1，0，0）．先设点M（x，1―x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．（2）设点M（x，1―x，0）则∴当x=1时，．∴点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．例4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为平面A1B1C1D1的中心，求证：PA⊥PB1．【解析】如图，建立空间直角坐标系D-xyz，设棱长为1，则A（1，0，0），B1（1，1，1），，由两点间的距离公式得：，，。∵|AP|2+|PB1|2=|AB1|2=2，∴AP⊥PB1．例5．正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动。若|CM|=|BN|=a（）。（1）求MN的长度；（2）当a为何值时，MN的长度最短。【解析】因为平面ABCD⊥平面ABEF，且交线为AB，BE⊥AB，所以BE⊥平面ABCD，所以BA，BC，BE两两垂直。取B为坐标原点，过BA，BE，BC的直线分别为x轴，y轴和z轴，空间直角坐标系。因为|BC|=1，|CM|=a，且点M在坐标平面xBz内且在正方形ABCD的对角线上，所以点因为点N在坐标平面xBy内且在正方形ABEF的对角线上，|BN|=a，所以点（1）由空间两点间的距离公式，得：，即MN的长度为（2）由（1）得，当（满足）时，取得最小值，即MN的长度最短，最短为举一反三：【变式1】正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为1，M为AC的中点，点N在DD1上运动，求|MN|的最小值.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可知点M的坐标为(，，0)，由于点N在z轴上，故设N的坐标为(0，0，z)，由两点间的距离公式可得：|MN|=.要使|MN|最小，只需z=0，∴当点N在原点时，|MN|有最小值为.【巩固练习】1．点（1，0，2）位于（）．A．y轴上B．x轴上C．xOz平面内D．yOz平面内1．【答案】C【解析】点（1，0，2）的纵坐标为0，所以该点在xOz平面内．2．点P（－1，2，3）关于xOy平面对称的点的坐标是（）．A．（1，2，3）B．（－1，－2，3C．（－1，2，－3）D．（1，－2，－3）2．【答案】C3．在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于yOz平面对称的点的坐标为（）．A．（－3，4，5）B．（－3，－4，5）C．（3，－4，－5）D．（－3，4，－5）3．【答案】A【解析】关于yOz平面对称则对应y、z值不变．4．在空间直角坐标系中，P（2，3，4），Q（－2，－3，－4）两点的位置关系是（）．A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对4．【答案】C5．已知A（―3，1，―4），B（5，―3，6），设线段AB的中点为M，点A关于x轴的对称点为N，则|MN|=（）A．3B．4C．5D．65．【答案】C【解析】∵A（―3，1，―4），B（5，―3，6），线段AB的中点为M，∴M（1，―1，1）点A（―3，1，―4）关于x轴的对称点为N，N（―3，―1，4），∴．6．△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC的形状为（）．A．正三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形6．【答案】C【解析】由空间两点间的距离公式易得，，，，因为|AC|2=|BC|2=|AB|2，所以△ABC为直角三角形7．在空间直角坐标系中，x轴上到点P（4，1，2）的点的距离为的点有（）．A．0个B．1个C．2个D．无数个7．【答案】C【解析】该点的坐标可设为（a，0，0），则有，即(a－4)2=25，解得a=0或a=－1，所以满足条件的点为（9，0，0）或（－1，0，0）．8．到两点A（3，4，5），B（－2，3，0）距离相等的点（x，y，z）的坐标满足的条件是（）．A．10x+2y+10z－37=0B．5x－y+5z－37=0C．10x－y+10z+37=0D．10x－2y+10+37=08．【答案】A【解析】由已知得|MA|=|MB|，即，化简得10x+2y+10z－37=0．9．已知A（4，－7，1），B（6，2，z），若|AB|=10，则z=________．9．【答案】【解析】由，解得10．已知点A（1，，－5），B（2，－7，－2），则|AB|的最小值为________．10．【答案】【解析】由空间两点间的距离公式易得，所以当a=－1时，|AB|的值最小，最小值为．11．在空间直角坐标系中，已知点A（2，4，―3），B（0，6，―1），则以线段AB为直径的圆的面积等于________．11．【答案】3π【解析】∵点A（2，4，―3），B（0，6，―1），∴，∴以线段AB为直径的圆的半径为，面积等于．12．若A（1，2，1），B（2，2，2），点P在x轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为________．12．【答案】（3，0，0）【解析】由题意设P（x，0，0）∵A（1，2，1），B（2，2，2），|PA|=|PB|，∴，解得x=3．13．（1）在z轴上求与点A（―4，1，7）和B（3，5，―2）等距离的点的坐标．（2）在yOz平面上，求与点A（3，1，2）、B（4，―2，―2）和C（0，5，1）等距离的点的坐标．13．【解析】（1）由题意设C（0，0，z），∵C与点A（―4，1，7）和点B（3，5，―2）等距离，∴|AC|=|BC|，∴，∴18z=28，∴，∴C点的坐标是．（2）设yOz平面内一点D（0，y，z）与A，B，C三点距离相等，则有|AP|2=9+(1―y)2+(2―z)2，|BP|2=16+2(2+y)2+(2+z)2，|CP|2=(5―y)2+(1―z)2，由|AP|=|BP|，及|AP|=|CP|，得化简可得，解得∴点P（0，1，－2）为yOz平面内到A，B，C三点等距离的点．14．如图以正方体的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．（1）当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|