2021第四次模拟数学(理科)试卷含解析

绝密★启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题卷

（银川一中第四次模拟考试）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

淅D|n2.作答时.，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.集合尸==＞，Q=｛（x,y）\y=-x2+2\,则集合尸口。的真子集个

软W数为

A.0B.1C.2D.3

—2021

2.已知复数2=则三的虚部是

1+1

A.-1B.-iC.1D.i

3.已知数列｛凡｝是首项为《，公差为d的等差数列，前〃项和为S“，满足2%=%+5,

则S9=

A.35B.40C.45D.50

4.设直线尔2x-my=l,/2：（m-l）x-y=l,则“m=2"是的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知3=（1,后），|方|=3,|,+2刈=4五，记Z与B夹角为，，则cos（/+2。）为

6.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最

早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才北周甄

鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是

作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上

面一粒珠（简称上珠）代表5,下面一粒珠（简称下珠）是1,即五粒下珠的大小等于

同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3

粒下珠，得到的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是

梁、彳上珠

档一"Ad山"5

卜下球

框、mw出出

c12

ABc.一D.

-\-133

7.苏格兰数学家科林麦克劳林（Co/加例收h"⑼研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受

到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：

ln（l+x）=x-—+—+试根据此公式估计下面代数式

'，234v'n

四+半+孚《+...+(_1)产座匚+...（〃25）的近似值为（）（可能用到数值

n

In2.414=0.881,ln3.414=1.23)

A.3.23B.2.881

C.1.881D.1.23

8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

3

A.—71

8

兀

B.

4

5

C.一R

24

7

D.一71

24俯视图

若⑪在（上存在单调递增区间，则的取值范围是

9.#+#+220

A.(-00,0]B.y,o)C.[0,+00)D.(0,+oo)

10.设A,5是椭圆C:三+二=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足NAM8=I2O。，

3m

则，〃的取值范围是

A.(0,1]B.(0,l]u[3,+oo)C.(0,l]u[9,+<»)D.[9,+oo)

11.关于函数/(x)=|cosx|+cos|2x|有下列四个结论：ay(X)的值域为[-1,2]；

7T3冗

@f(x)在[0,彳]上单调递减；©f(x)的图象关于直线x=1对称；®f(x)的最

小正周期为兀上述结论中，不正确命题的个数有

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.若函数/(幻=丁+奴2+法+c有极值点斗,x?,且_/•(%)=&,则关于x的方程

3(f(x)y+2afM+b=0的不同实根个数是

A.2B.3C.3或4D.3或4或5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x-y-3<0

13.若实数x,y满足约束条件Sx-y+SNO,则z=x-2y取得最大值的最优解为

x+y-3<0

14.由y=-x?+2x+l,y=x,x=l,x=0围成封闭图形的面积为.

22

15.已知双曲线C:亮-与=1的左右焦点分别是月，尸?，点2是C的右支上的一点(不

是顶点)，过用作NRPg的角平分线的垂线，垂足是M,O是原点，则|MO|=.

16.九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一

定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用。“表示解下

〃(“49,〃eN*)个圆环所需的最少移动次数，数列｛。“｝满足弓=1,且

则解下〃(〃为奇数)个环所需的最少移动次数为_________.(用含

2。“_1+2,〃为奇数，

〃的式子表示)

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分)

17.(12分)

已知函数/(x)=sinxsin(x+马+cos?(x——)--.

6122

(1)求函数/(x)的单调递减区间；

(2)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且/(与=6

求acosB-bcosC的取值范围.

18.(12分)

有一款击鼓小游戏规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，

要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20

分，出现三次音乐获得50分，没有出现音乐则扣除150分(即获得一150分).设每次击

鼓出现音乐的概率为,，且各次击鼓出现音乐相互独立.

2

(1)玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是多少？

(2)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列；许多玩过这款游戏的人都发现，玩

的盘数越多，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析其中的道理.

19.(12分)

如图，在四棱锥P-A8C。中，侧棱％，底面ABC。，AD//BC,Z4BC=90。，PA=

AB=BC=2,AD=\,M是棱PB中点.

(1)求证：AM〃平面PCD；

(2)设点N是线段CO上一动点，且ON=n)C,

当直线MN与平面物8所成的角最大时，求人的值.

20.(12分)

已知函数/(x)=x(lnx-m-1),m&R.

(1)若机=2,求曲线y=/(x)在点3/(e))处的切线方程；

(2)若对于任意xw［e,e2］,都有/(x)<41nx成立，求实数机的取值范围.

21.(12分)

在直角坐标系x。)，中，动圆P与圆Q：(x-2)2+尸=1外切，且圆P与直线x=-l

相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C

(1)求曲线C的轨迹方程；

(2)设过定点S(-2,0)的动直线/与曲线C交于A,8两点，试问：在曲线C上是

否存在点M(与A,8两点相异)，当直线MA,MB的斜率存在时，直线MA,历3的斜率

之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的

第一题记分.

22.［选修4—4：坐标系与参数方程］

在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为卜=尸：28$"(0为参数)，以坐标原点为

极点，以X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)若过原点的直线/被圆C截得的弦长为2,求直线/的倾斜角.

23.［选修4-5：不等式选讲］

已知/(x)=|x-l|-«|x+l|.

(1)若a=l，解不等式/(x)<l；

(2)若不等式无解，求实数a的取值范围.

银川一中2021届高三第四次模拟数学（理科）试卷参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

123456789101112

DCCADBBDDCAB

二'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

,、7

13.(-2,-5)14.-15.416.2"-'

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

,nit1

17.【解答】解：(1)由题意可得/(x)=sinxsin(x+A)+COS2(X—T?)-2

包+工+工--

sinx(7sinx2cosx)2cos(2xA)

_y3(l-cos2x)1月1

-4H4sin2x~4~cos2x+4sin2x

1+邑

=2sin2x4,

巴+<3nv37r

令22kn<lx—~2~±2kn9kCZ,解得4kn<x二丁十kn,kGZ,

n3n

故函数/(，)的单调递减区间为[4+E,4+E],kCZ.

0-1上6_门_73

(2)由(1)知/(?)=zsinB+1-=W,解得sin8=工

nn

因为36(0,2),所以3=F

abcy/3

sf>i>1sinBsinC'3

由正弦定理可知-2,贝！Ja=2sin4,c=2sinC,

所以acosB-bcosC=亍一3cosc=sinA-V3cos(TT-4-=sinA+V3cos

+坦_3=巨_1二+

(A2)=sinA2cosA2sinA2cosA2sinA=cos(6A),

z_

KJ-r<

得

T可6A

在锐角AABC中，可得

—VA4--V.....-4-工一

因此362,贝！1cos(6+A)G(-2,2),

_11

故acosB-方cos。的取值范围为(2,2).

1

18.【解答】解：(I)每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓出现音乐的概率为2,且

各次击鼓出现音乐相互独立.

3

玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是：P=1-C®(1)°(l-^)=g(

(II)设每盘游戏获得的分数为X,则X可能取值为-150,10,20,50,

P(X=-150)=C?(1)°(1-1)3=g,

P(X=10)=C3(1)(1-T)2=1

P(X=20)=C3(|)2(1-4)=1,

P(X=50)=C3(J)3=1

；.X的分布列为：

X-150102050

p

_1_3315

：.E(X)=T50xff+10xff+20x1r+50x

二每盘游戏得分的平均数是一2,得负分，

...由概率统计的相关知识可知：玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了.

19.【解答】(I)证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,

0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1),

:.AM=(0,1,1),PD=(1,o,-2),CD=(-1,-2,0)

_(x-2z=0

设平面PC。的法向量是3=(x,y,z),贝！Il-x-2v=0

令z=L贝!Ix=2,y=-1,于是n=(2,-1,1)

TTTT

VAMn-0,4Ml.n,.♦.AM〃平面PC。...(6

分)

(H)解：由点N是线段CD上的一点，可设DN=XDC=X(lr2,0)

R=AD+DN=(1,0,O)+M1,2,0)=(1+A,2X,0)MN=AN-AM=

(1+X,2入，0)-(0,1,1)=(1+A,2A-1,-1)

又面R18的法向量为6=(1,0,0)

设MN与平面PAB所成的角为0

则

(1+A,2入-1,-1)-(1,0,0)1+入I_

sivB=

J(1+A)Z+(2A-1)2+1、以2-2入+3I―

।1+入।_।1।_।1।

；5(14-1)2-12(1+A)+10-，5-百10岛A-卜0(互蚪)

132

当E=G时，即5=3+3入，入=专时，$皿0最大,

：.MN与平面PAB所成的角最大时入

20.【详解】(1)/(x)=(lnx—3)x,f(e)=-2e

/Xx)=--x+lnx-3=lnx-2,则攵=/'(e)=-1

X

所以y=/(x)在点(e,7(e))处的切线方程为y+2e=-(x-e)即x+y+e=0

(3)因为对于任意xe［e,e2］,都有/(x)<41nx成立，所以/(x)-41nx<0,

即问题转化为(％-4)Inx—(m+l)x<0对于xe［e,e?］恒成立，

即m+1对于xw［e,e2］恒成立，

人/、(x-4)Inx.I，/、41nx+x-4

令晨上1——--，贝心(幻二-----2——，

XX

令/(x)=41nx+x_4,贝［］/(X)=3+1〉0,

x

所以/(X)在区间［e,e?］上单调递增，

故小)min=«e)=e-4+4=e>0,进而g'(x)>0,

所以g(x)在区间［e,e2］上单调递增，

函数g(X)max=g(e2)=2—5，

要使〃z+1〉C"4)】nx对于xe［e,e?］恒成立，只要加+1>g(x)max，

所以机+1>2—5,即实数机的取值范围是11-5,+刃］.

21.【解答】解：(1)设P(x,y),圆尸的半径为r,

因为动圆尸与圆Q：（X-2）2+y2=l外切，...............................（1分）

所以j（x-2）2+y2=r+i,①............................................c

分）

又动圆P与直线x=-l相切，

所以r=x+l,②................................................................................................................（3分）

由①②消去r得产=8为，

所以曲线C的轨迹方程为V=8x...................................................................................（5分）

（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（xo,刈），A（xi,ji）,〃（X2,

）2）,

贝|JJo=8x0,y?=8*i,另=8*2,"必=d=就，

u__8

Xj-XnV»+Vn»...（6分）

k+k=8+8=8（力+「2+2>。：|

所以MAMB-yt+yo*5-,+（九+及）ro+y/2,③..................（7分）

显然动直线，的斜率存在且非零，设，：x=ty-2,

（y2=8x

联立方程组lx=tv-2,消去X得y2-80+16=0,

由A>0得f>l或fV-1,所以yi+y2=8f,yo»2=16,且yi分2.................................（8分）

r.11._woyuJ_m

代入③式得'1MMs一不布而，令衣布而一（机为常数），

整理得（8"iyo-64）t+（my；-16y（）+16m）=0,④.....................................“分）

因为④式对任意P（-8,-1）U（1,+00）恒成立，

|8my0-64=0

所以|m^-16yo+16m=O>...............................................................................（10分）

所以lvn=4或IVn=-4,即M（2,4）或M（2,-4）,

即存在曲线C上的点M（2,4）或M（2,-4）满足题意...