新人教版高中数学选择性必修第一册第二章3圆与圆的位置关系培优练习题

2．5.2圆与圆的位置关系学习指导核心素养1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．2．能用圆和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想．1.逻辑推理、数学运算：圆与圆的位置关系的判断．2．直观想象、数学运算：两圆相交及相切的问题．知识点圆与圆的位置关系1．代数法通过两圆方程组成的方程组的实数解的个数进行判断．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圆C1方程,圆C2方程))eq\o(→,\s\up7(消元))一元二次方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0⇒相交；,Δ＝0⇒内切或外切；,Δ＜0⇒内含或外离Ｗ．))2．几何法若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系：位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示两圆外离0d>r1＋r2两圆内含d<|r1－r2|两圆相交2|r1－r2|<d<r1＋r2两圆内切1d＝|r1－r2|两圆外切d＝r1＋r2已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切？(2)圆C1与圆C2内含？【解】对于圆C1，圆C2的方程，配方得C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.(1)如果圆C1与圆C2外切，则有eq\r(（m＋1）2＋（－2－m）2)＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.故当m＝－5或2时，圆C1与圆C2外切．(2)如果圆C1与圆C2内含，则有eq\r(（m＋1）2＋（－2－m）2)<3－2，即(m＋1)2＋(m＋2)2<1，整理得m2＋3m＋2<0，解得－2<m<－1.故当－2<m<－1时，圆C1与圆C2内含．几何法判断两圆位置关系的步骤(1)将两圆的方程化为标准方程．(2)求出两圆的圆心距d和半径r1，r2.(3)根据d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系作出判断．1．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．外切D．内切解析：选B.圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0，故圆心坐标与半径分别为O1(1，0)，O2(0，2)，r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝eq\r(5)，r2－r1＝1，r1＋r2＝3，1＜eq\r(5)＜3，所以两圆相交．2．圆A：x2＋y2＝1与圆B：x2－4x＋y2－5＝0的公共点个数为()A．0B．3C．2D．1解析：选D.因为圆B：(x－2)2＋y2＝9，其圆心为B(2，0)，半径为3，圆A的圆心为A(0，0)，半径为1，所以圆心距为|AB|＝2，半径之差为2，所以两圆内切，只有一个公共点．考点一两圆相切问题已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，求圆C的方程．【解】设圆C的半径为r，又圆心距d＝eq\r(（4－0）2＋（－3－0）2)＝5，所以当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，所以圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.若圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则m＝________．解析：圆x2＋y2＝m的圆心坐标为(0，0)，半径r1＝eq\r(m)，圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0的圆心坐标为(－3，4)，半径r2＝6.因为两圆内切，且圆心距d＝5，所以|6－eq\r(m)|＝5，解得m＝1或m＝121.答案：1或121考点二两圆相交问题已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．【解】设两圆交点为A，B，则A，B两点的坐标均满足方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，①,x2＋y2－4x＋2y－11＝0.②))①－②，得3x－4y＋6＝0.因为A，B两点坐标都满足此方程，所以3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．易知圆C1的圆心为C1(－1，3)，半径r＝3.又点C1到直线AB的距离d＝eq\f(|－1×3－4×3＋6|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(9,5).所以|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2×eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))\s\up12(2))＝eq\f(24,5)，即两圆的公共弦长为eq\f(24,5).(1)两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2eq\r(3)，则a＝________．解析：两圆的公共弦所在的直线方程为ay－1＝0(a＞0)，圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，圆心到公共弦所在直线的距离d＝eq\f(|－1|,\r(a2))＝eq\f(1,a).所以2eq\r(3)＝2eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))\s\up12(2))，解得a＝1.答案：11．圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1和圆(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是()A．相切B．内含C．相交D．外离解析：选B.因为两圆的圆心距d＝eq\r(（3＋3）2＋（－6－2）2)＝10＜12－1＝11，所以两圆内含．2．已知圆M的圆心坐标为(2，0)，圆M与圆O：x2＋y2＝1外切，则圆M的方程为()A．(x－2)2＋y2＝2 B．(x－2)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y－2)2＝1解析：选B.两圆圆心距2，圆M的半径为2－1＝1，所以圆M的方程为(x－2)2＋y2＝1.3．已知圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则公共弦AB的垂直平分线的方程为()A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0解析：选C.由题意知公共弦AB的垂直平分线即为两圆圆心连线所在直线．两圆的圆心分别为(2，－3)，(3，0)，所以所求直线的斜率k＝eq\f(－3－0,2－3)＝3，故所求直线方程为3x－y－9＝0.4．已知以C(3，4)为圆心的圆与圆x2＋y2＝1外切，求圆C的方程．解：设圆C的半径为r，则圆C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝r2.由题意得两圆圆心距d＝eq\r(（3－0）2＋（4－0）2)＝5，因为两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和，即5＝r＋1，解得r＝4.故圆C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝16.[A基础达标]1．圆C1：x2＋y2＝1和C2：x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系为()A．外切 B．内切C．相离 D．内含解析：选A.方程x2＋y2－6y＋5＝0化为x2＋(y－3)2＝4，所以两圆的圆心为C1(0，0)，C2(0，3)，半径为r1＝1，r2＝2，而|C1C2|＝3＝r1＋r2，则两圆相外切，故选A.2．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则()A．E＝－4，F＝8 B．E＝4，F＝－8C．E＝－4，F＝－8 D．E＝4，F＝8解析：选C.由题意联立两圆方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋F＝0，,x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0，))得4x＋Ey－4－F＝0，则eq\f(E,4)＝－1，eq\f(－4－F,4)＝1，解得E＝－4，F＝－8.故选C.3．已知圆A，圆B相切，圆心距为10cm，其中圆A的半径为4cm，则圆B的半径为()A．6cm或14cm B．10cmC．14cm D．无解解析：选A.当两圆外切时，d＝rA＋rB，即10＝4＋rB，所以rB＝6cm；当两圆内切时，rB－rA＝10，则rB＝10＋4＝14(cm).4．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线的条数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D.两圆的圆心距d＝eq\r(（－2－2）2＋（2＋5）2)＝eq\r(65)，半径r1＝1，r2＝4，所以d＞r1＋r2，所以两圆相离，故有4条公切线，故选D.5．已知直线y＝－x被圆M：x2＋y2＋Ey＝0(E＜0)截得的弦长为2eq\r(2)，且圆N的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则圆M与圆N的位置关系为()A．相交 B．外切C．相离 D．内切解析：选A.圆M：x2＋y2＋Ey＝0(E＜0)的圆心Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(E,2)))，半径为－eq\f(E,2).所以eq\f(E2,4)＝2＋(eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0－\f(E,2))),\r(2)))2，解得E＝－4.所以圆M的圆心M(0，2)，半径为2.圆N的圆心N(1，1)，半径为1.因为|MN|＝eq\r(（0－1）2＋（2－1）2)＝eq\r(2)，且2－1＜|MN|＜2＋1，所以两圆相交．6．(多选)半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程可以是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36解析：选CD.由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，又由两圆内切，得eq\r(a2＋（6－3）2)＝5，所以a2＝16，所以a＝±4，所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝36或(x＋4)2＋(y－6)2＝36.7．两圆交于点A(1，3)和B(m，1)，两圆的圆心都在直线x－y＋4＝0上，则m＝________．解析：直线AB与两圆圆心所在直线垂直，所以eq\f(3－1,1－m)×1＝－1，解得m＝3.答案：38．已知两圆(x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝r2(r＞1)相交，则实数r的取值范围是________．解析：因为两圆的圆心距为d＝5，又因为两圆相交，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|r－1|＜5，,r＋1＞5，))所以4＜r＜6.答案：(4，6)9．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．解析：因为点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，所以a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a，0)，半径r2＝1，则圆心距d＝|C1C2|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(4)＝2＝r1＋r2，所以两圆外切．答案：外切10．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2)，判断圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系．解：把圆M的方程化成标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，所以M(0，a)，r1＝a.所以点M到直线x＋y＝0的距离d＝eq\f(a,\r(2))，由题意可得，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2))))eq\s\up12(2)＋2＝a2，又a>0，所以a＝2，所以M(0，2)，r1＝2.又N(1，1)，r2＝1，所以|MN|＝eq\r(2)，所以|r1－r2|<|MN|<r1＋r2，所以两圆相交．[B能力提升]11．(多选)(2022·厦门高二期末)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则()A．圆O与圆M有两条公切线B．圆O与圆M关于直线AB对称C．线段AB的长为eq\f(\r(11),2)D．若E，F分别是圆O和圆M上的点，则|EF|的最大值为4＋eq\r(5)解析：选ABD.圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径r＝2，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－2，1)，半径R＝2.对于A，因为圆O与圆M相交，所以有两条公切线，A正确；对于B，两圆方程相减得4x－2y＋5＝0，即直线AB的方程为4x－2y＋5＝0，易知圆心O(0，0)与圆心M(－2，1)关于直线AB对称，又两圆半径相等，所以B正确；对于C，由B的结论，可知|AB|＝2eq\r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|OM|,2)))\s\up12(2))＝2eq\r(4－\f(5,4))＝eq\r(11)，故C错误；对于D，若E，F分别是圆O和圆M上的点，则|EF|的最大值为|MO|＋r＋R＝eq\r(5)＋4，故D正确．故选ABD.12．已知M，N是圆A：x2＋y2－2x＝0与圆B：x2＋y2＋2x－4y＝0的公共点，则△BMN的面积为________．解析：由题意，可知圆B的圆心坐标为(－1，2)，半径为eq\r(5).联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＝0，,x2＋y2＋2x－4y＝0，))可得直线MN的方程为x－y＝0，所以B(－1，2)到直线MN的距离为eq\f(|－1－2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，线段MN的长度为2eq\r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，所以△BMN的面积为eq\f(1,2)×eq\f(3\r(2),2)×eq\r(2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)13．已知点P(2，－2)和圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝16，则P在圆C________(填“内”、“外”或“上”)；以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为________．解析：由题知C(－1，2)，圆C的半径为4，所以|PC|＝eq\r(（2＋1）2＋（－2－2）2)＝5＞4，所以P在圆C外．设以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝r2，r＞0，则|PC|＋4＝r，即r＝9，所以以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝81.答案：外(x－2)2＋(y＋2)2＝8114．已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．解：(1)证明：将圆C1的一般方程化成标准方程，为(x－1)2＋(y－3)2＝11，则圆C1的圆心C1(1，3)，半径r1＝eq\r(11).将圆C2的一般方程化成标准方程，为(x－5)2＋(y－6)2＝16，则圆C2的圆心C2(5，6)，半径r2＝4.两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝eq\r(11)＋4，|r1－r2|＝4－eq\r(11)，所以|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所以圆C1和C2相交．(2)将圆C1和圆C2的方程相减，得4x＋3y－23＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.设圆心C2(5，6)到直线4x＋3y－23＝0的距离为d1，则d1＝eq\f(|20＋18－23|,\r(16＋9))＝3，故公共弦长为2eq\r(16－9)＝2eq\r(7).[C拓展冲刺]15．一圆过圆x2＋y2－2x＝0和直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是()A．x2＋y2－4x－4y＋6＝0B．x