福建省莆田市文献中学2022-2023学年高二数学文期末试卷含解析

福建省莆田市文献中学2022-2023学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. B. C. D.参考答案：A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．2.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面()A．各正三角形内一点

B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心

D．各正三角形外的某点

参考答案：C四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，所以由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面各正三角形的中心。3.如右图所示，正三棱锥Ｖ－ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是VC，VA,AC的中点，Ｐ为ＶＢ上任意一点，则直线ＤＥ与ＰF所成的角的大小是（）A

B

C

D随Ｐ点的变化而变化。

参考答案：B4.“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．【解答】解：∵“x＜﹣1”?“x2﹣1＞0”，“x2﹣1＞0”?“x＜﹣1或x＞1”．∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．5.给出下列四个推导过程：①∵a，b∈Ｒ＋，∴（b／a）+（a／b）≥2=2;②∵x，y∈Ｒ＋，∴lgx+lgy≥2;③∵a∈R，a≠0，∴（4／a）+a≥2=4;④∵x，y∈R，xy＜0，∴（x／y）+（y／x）=-［（-（x／y））+（-（y／x））］≤-2=-2.其中正确的是（）．A．①②

B．②③

C．③④

D．①④参考答案：D略6.已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是A.

B.6

C.

D.12

参考答案：C略7.是虚数单位，等于

（

）A．

B．

C．

D． 参考答案：D8.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交参考答案：D【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选D．9.设，则数列（

）A．是等差数列但不是等比数列

B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列

D．既不是等差数列又不是等比数列参考答案：A略10.下列命题是假命题的是(

)A.若,则

B.5≥3

C.若M=N则D.”若sinα=sinβ,则α=β”的的逆命题.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.i为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则______．参考答案：【分析】直接利用复数对应的点的坐标，求出对称点的坐标，即可得到复数．【详解】解：设复数在复平面内对应的点关于原点对称，复数的实部相反，虚部相反，＝－20＋18i，所以＝20－18i．故答案为：20－18i．【点睛】本题考查复数的几何意义，对称点的坐标的求法，基本知识的应用．12.已知等差数列的通项公式，则它的公差为___________．参考答案：略13.如上图：正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面的四棱柱）中，E、F、G、H分别是棱

的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M只须满足条件___

__时，就有MN//平面（N是BC的中点）。（填上正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）参考答案：14.已知f（x﹣）=x2+，则f（2）=

．参考答案：6【考点】3T：函数的值．【分析】利用配凑法，把x﹣看成一个整体，将等式右边表示成x﹣的形式，然后把x﹣整体换成x，即可得f（x），令x=2，即可得f（2）的值．【解答】解：∵f（x﹣）=x2+，∴f（x﹣）=x2+=（x﹣）2+2，把x﹣整体换成x，可得，f（x）=x2+2，∴f（2）=22+2=6．故答案为：6．15.执行右边的程序框图，若p=0.8,则输出的n=________.参考答案：略16.某情报站有A，B，C，D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是．（用最简分数表示）参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由题意可得，第n+1周也使用A种密码的概率Pn+1=Pn?，且P2=0，P3=，以此类推可得第七周使用A的概率P7的值．【解答】解：第一周使用A，第二周使用A的概率P2=0，第三周使用A的概率P3=，依此类推，第四周使用A的概率P4=（1﹣）?=，第五周使用A的概率P5=（1﹣）?=，第六周使用A的概率P6=（1﹣P5）?=，第七周使用A的概率P7=（1﹣P6）?=．故答案为．17.已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点．若的周长为，则椭圆C的标准方程为

▲

.参考答案：因为离心率为，过的直线交于两点．若的周长为，所以，解得的方程为，故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．参考答案：【考点】等比数列的性质；三角函数中的恒等变换应用；解三角形．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】（I）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证（II）由已知结合余弦定理可求cosB，利用同角平方关系可求sinB，代入三角形的面积公式S=可求．【解答】（I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC∴sinB（）=∴sinB?=∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，∵A+B+C=π∴sin（A+C）=sinB即sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，所以a，b，c成等比数列．（II）若a=1，c=2，则b2=ac=2，∴，∵0＜B＜π∴sinB=∴△ABC的面积．【点评】本题主要考查了三角形的切化弦及两角和的正弦公式、三角形的内角和定理的应用及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用．19.已知，其中是自然对数的底数.（1）当，时，比较与的大小关系；（2）试猜想与的大小关系，并证明你的猜想.参考答案：(1)(2)猜想，证明见解析分析：（1）当，时，计算出与的值，即可比较大小；（2）根据（1）可猜想，利用分析法，构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性可证明结论.详解：（1）当，时，，此时，.（2）猜想，要证，只需证：，整理为，由，只需证：，令，则，故函数增区间为，故，即，故当时，.点睛：联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键.20.如图，已知直线l过点P（2，0），斜率为，直线l和抛物线y2=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）P、M两点间的距离|PM|；（2）线段AB的长|AB|．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）求出直线l的参数方程，代入抛物线方程y2=2x，利用参数的几何意义求出P、M两点间的距离|PM|；（2）利用参数的几何意义求出线段AB的长|AB|．【解答】解：（1）∵直线l过点P（2，0），斜率为，设直线的倾斜角为α，tanα=，sinα=，cosα=，∴直线l的参数方程为（t为参数）．∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中，整理得8t2﹣15t﹣50=0，则△=（﹣15）2﹣4×8×（﹣50）＞0．设这个二次方程的两个根分别为t1、t2，由根与系数的关系，得t1+t2=，t1t2=﹣由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|=|t1+t2|=（2）|AB|=|t2﹣t1|==．21.（本小题满分10分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，已知，（1）求的值；

（2）求。参考答案：解：（1）由余弦定理，，得，…………4分．

…………6分（2）∵，且是的内角，∴．

…………8分根据正弦定理，，………10分略22.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，点E是棱PB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥PB（Ⅱ）若PD=2，AB=，求直线AE和平面PDB所成的角．参考答案：考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）判断AC⊥面PBD，再运用直线垂直直线，直线垂直平面问题证明．（II）根据题意得出AC⊥面PBD，运用直线与平面所成的角得出∴∠AEO直线AE和平面PDB所成的角利用直角三角形求解即可．解答： 证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD