《2反比例函数的图象和性质》教学

21.5.2反比例函数的图象和性质义务教育教科书（沪科）九年级数学上册复习导入

当容积S=1000

时,时间t与每小时水流量v之间的函数关系是：

（t>0）.问题1某游泳池容积为1000m3,现在需要灌满它，每小时水流量v(m3/h)与时间t(h)之间有怎样的函数关系呢？你能在平面直角坐标系中形象的画出这个图形吗？新知探究1．什么是反比例函数？2．反比例函数的定义中需要注意什么？（1）k是非零常数.（2）xy=k．一般地，表达式形如

y=(k是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数．kx—3．还记得一次函数的图象与性质吗？新知探究函数正比例函数表达式图象形状k>0k<0位置增减性位置增减性y=kx(k是常数，k≠0）

直线（经过原点）一、三象限从左到右上升y随x的增大而增大二、四象限

从左到右下降y随x的增大而减小k

(k是数,k≠0)x≠0y=x反比例函数？新知探究4.如何画函数的图象？

函数图象画法

描点法列表描点连线想一想：

正比例函数y=kx(k≠0)的图象的位置和增减性是由谁决定的？我们是如何探究得到的？反比例函数的图象与性质又如何呢？新知探究反比例函数的图象一问题：如何画反比例函数的图象？

解析：画出函数图象的步骤一般为列表描点连线解（1）列表如下应注意1.自变量x需要取多少值?为什么?2.取值时要注意什么?

xy=x6y=

x616233241.551.261-1-6-2-3-3-1.5-2-4-5-1.2-6-1…………-663-32-21.5-1.51.2-1.21-1……新知探究

（2）根据表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点（x,y）;（3）

如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到反比例函数的图象．123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-4O-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-4O-6-556xyy=x6y=

x6新知探究想一想：你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?图象是对称的图象与坐标轴不相交图象是平滑的曲线新知探究1.列表时，自变量的值可以选取一些互为相反数的值这样既可简化计算,又便于对称性描点;2.列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势;3.连线时，一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性；……注意要点新知探究（1）观察和的图象，它们有什么相同点和不同点?

（2）反比例函数

的图象在哪两个象限,由什么确定？xyxy双曲线

轴对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形．OO新知探究相同点：1.两支曲线构成；

2.与坐标轴不相交；

3.图象自身关于原点成中心对称；

4.图象自身是轴对称图形.不同点：的图象在第一、三象限；

的图象在第二、四象限.新知探究第一、三象限第二、四象限

形状:反比例函数的图象由两支曲线组成，因此称反比例函数的图象为双曲线.

位置：由k决定：

当k>0时,两支曲线分别位于_______________内;

当k<0时,两支曲线分别位于_______________内.新知探究例1：若双曲线y=的两个分支分别在第二、四象限，则k的取值范围是()A.k＞ B.k＜C.k= D.不存在解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有2k-1＜0，解得k＜.故选B.B新知探究例2:如图所示的曲线是函数(m为常数)图象的一支．(1)求常数m的取值范围；(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限的交点为A(2，n)，求点A的坐标及反比例函数的表达式．

解：（1）由题意可得，m－5＞0，解得m＞5.新知探究问题：观察下列的函数图象，填一填.yyyxxxOOO反比例函数的性质二(2)函数图象分别位于哪几个象限？第二、四象限(1)上面三个函数相应的k值分别是________，则k___0.-2,-4,-6＜新知探究

x＜0时，图象在第二象限；x＞0时，图象在第四象限．(4)在每个象限内,曲线从左往右______,所以随着x值的增大，y的值怎样变化？逐渐上升，增大．(3)当x取什么值时，图象在第二象限？当x取什么值时，图象在第四象限？新知探究xyO反比例函数的增减性当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内，y随x的增大而增大.xyO新知探究例3：已知反比例函数y=.（1）如果这个函数图象经过点（-3,5），求k的值.（2）如果这个函数图象在它所处的象限内，函数y随x的增大而减小，求k的范围.解：（1）因为函数图象经过点（-3,5），代入函数表达式，得解得，

k=-7.

（2）根据题意，有2k－1＞0，解不等式，得新知探究例4：已知反比例函数的图象过点(-2，-3)，函数图象上有三点A(),B(5,y2),C(-8,y3),则y1，y2，y3的大小关系为()A.y1>y2>y3B.y1<y2<y3C.y2>y1>y3 D.不能确定C解析：已知反比例函数过点（-2，-3），所以可知k>0,可判断y1>0，y2>0，y3＜0.由概念可知,当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小，所以y2>y1>0>y3.新知探究已知两点（

，），（

，）在函数的图象上，当

＞

＞0时，下列结论正确的是（）

A.＞

＞0B.＜

＜0 C.＞

＞0D.＜

＜0Ｄ变式拓展新知探究反比例函数表达式中k的几何意义三合作探究1.在反比例函数的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写表格：

44S1=S2S1=S2=kS1的值S2的值S1与S2的关系猜想与k的关系P（2,2）Q（4,1）12345-1-3-2-4-51234-1-2-3-4-55xyOQPS1S2新知探究2.若在反比例函数中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：S1的值S2的值S1与S2的关系猜想与k的关系P（-1,4）Q（-2,2）44S1=S2S1=S2=-kyxoPQS1S2新知探究由前面的探究过程，可以猜想:若点P是图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|.新知探究yxOPS我们就k<0的情况给出证明：设点P的坐标为(a,b)AB∵点P(a,b)在函数的图象上，∴，即ab=k∴S矩形AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k；若点P在第二象限，则a<0，b>0若点P在第四象限，则a>0，b<0∴S矩形AOBP=PB·PA=a·（-b）=-ab=-k.BPA综上，S矩形AOBP=|k|.自己尝试证明k>0的情况.新知探究方法归纳

点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形AOBQ=

推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO=Q对于反比例函数，AB|k|反比例函数的面积不变性yxO新知探究

例5：如图,过反比例函数图象上的一点P,作PA⊥x轴于点A.若△POA的面积为6,则k=

.yxOPA﹣12

当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k＜0.归纳随堂小测1.反比例函数y=

的图象大致是（)yA.xyoB.xoD.xyoC.xyoC2.函数的图象，在每一象限内y随x的增大而_____.y=x53.在双曲线的一支上，y随x的增大而减小，则m的取值范围是____.

m-2xy

=m>2增大随堂小测4.如图，在函数的图象上有三点A、B、C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则（）yxOA.SA>SB>SCB.SA