电磁场导论恒定磁场

电磁场导论恒定磁场2023/8/30第四章恒定磁场1第1页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场24.1基本方程及其微分形式

当电荷与电流不随时间变化时，产生的电场和磁场都不随时间变化（

D/

t=0、

B/

t=0），电场、磁场方程各自独立。4.1.1安培环路定理的微分形式

当磁力线所在平面上的闭合回路l缩小，其面积

S

0时，可写为rotH=J

H=J则得或

Sl

H=J表明恒定磁场是有旋场，其场源是电流密度J第2页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场34.1.2磁通连续性原理的微分形式

当闭合面S缩小，体积

V

0时，磁通连续性原理可写为divB=0

B=0则得或表明恒定磁场是无散场，磁力线是无头无尾的例4-1

在园柱坐标系中下列矢量中常数K

0，问哪个可能是磁感应强度B？如果是，求相应的电流密度J

。

F1

=K（x

ex+yey）；F2=Kre

解：

B=0是磁场的特有性质，因此根据矢量的散度是否总为0，来判断。第3页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场4

F1决不可能是磁感应强度B；F2可能是磁感应强度B电流为沿z轴方向的常数F1

=K（x

ex+yey）；F2=Kre

根据第4页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场54.1.3B和H的衔接条件在两种电介质分界面上，围绕P点作一个很小的矩形回路由于Δh→0，H1tΔl–H2tΔl=KΔlH1H1tH2tH2Δh→0

K当分界面上没有自由电流时,则H1t=H2t由H1t

H2t=K

得包围P点作一个很小的扁平闭合圆柱面由B1B1nB2nB2Δh→0由于Δh→0,

B1nΔS+B2nΔS=0

B1n=B2n

得第5页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场61）r

R时，满足解：由于电流分布具有轴对称性，可知磁场分布也具有轴对称性，H只有沿圆周的

分量，且只与r有关。不定积分求解，得由于r=0处H

，故C1=0

因此，导体内2）r

R时，满足不定积分求解，得r=R处H1t=H2t,即得故导体外例4-2

已知半径为R的长直圆柱导体中的体电流密度均匀分布为J0ez（A/m2），求磁场强度H。J第6页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场74.2标量磁位

H=J表明恒定磁场是有旋场，但在无电流区域

H=0，可有条件地定义标量磁位。4.2.1标量磁位的定义

在无电流区域

H=0，可定义标量磁位

mH=

m两点间的磁压标量磁位与静电场中相似，但有很大不同：1）电位具有明确的物理意义，但标量磁位没有物理意义。2）电压与积分路径无关，但是两点间的磁压随积分路径而变。第7页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场8对于图示闭合路径，由得•A•BmnI即可见，

mA

’mA，表明积分路径不同标量磁位有不同数值。4.2.2标量磁位的边值问题因此,得

2

m=0标量磁位的拉普拉斯方程均匀媒质

=0第8页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场9不同媒质分界面上的衔接条件

m1=

m2

例4-3

求无限长直电流I周围的磁位

m和场强H设x轴（

=0）为磁位参考点，则解法一：由安培环路定律，得

等磁位面

H第9页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场10通过不定积分求解设x轴上

=0处A点为磁位参考点，则C2=0；因

=2

处B点

m=

I，因此，C1=

I/

2

则解法二：由于等磁位面与H线正交，在圆柱坐标系中

m只与

有关，导线外的无电流区，满足

2

m=0柱坐标下简化为第10页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场11等磁位面方程为

m=常数，即

=K。它是以AB为弦，以

为圆周角的圆弧。K值不同可得一系列以AB为弦的园，其圆心y轴上。解：设两线之连线为磁位

m参考点，由叠加原理例4-4

求双线传输线周围的磁位

m及其等磁位面由H=

m知，B线与等磁位面正交，也是一族偏心园，圆心在x轴上。第11页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场124.3矢量磁位

4.3.1矢量磁位的定义

由B

0，引入一个矢量A，满足B=

AA称为磁场B的矢量磁位，单位：韦伯/米（Wb/m）

由毕-萨定律可导出A的电流积分公式：将代入毕-萨定律

J=0由于J是源点坐标(x’,y’,z’)的函数，而算符

是对场点坐标(x,y,z)求导第12页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场13磁感应强度B是唯一的，但

的存在使得矢量磁位A不是唯一的。矢量场不仅要规定它的旋度，还必须规定它的散度。由于A=

Ax/

x+

Ay/

y+

Az/

z，在恒定磁场中,为了方便规定

A=0，称为库仑规范。因此，根据定义可知而B=

A与

Ax/

x、

Ay/

y、

Az/

z无关,因此，

A可以任意规定。每种规定称为一种规范。第13页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场144.3.2矢量磁位的边值问题

A=(

A)2A

在无电流区域

2A=0拉普拉斯方程

H=JB=

H

B=

J

A=

J

B=0B=

A

A=0

2A=

J

A的泊松方程第14页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场15三式合并，得考虑到各种电流，则为

已知各种电流的分布时，可计算矢量磁位A，再由

A求磁感应强度B。还可以由A直接计算磁通量矢量方程相当于三个标量方程

2Ax

=

Jx

2Ay=

Jy

2Az

=

Jz第15页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场164.3.3矢量磁位的衔接条件

围绕媒质分界面上任一点P取一矩形回路，令

h

0，A1t=A2t

在分界面P点处作一个小圆柱，上下端面为

S，高

h

0，由于

A=0A1n

S

A2n

S=0A1n=A2n因此，矢量磁位在分界面的衔接条件为A1=A2

第16页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场17由H1t

H2t=K和，得对于平行平面磁场A1=A2

第17页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场18解：在求解之前，先分析本题给定的条件，进行必要的简化：例4-7半径为R的长直圆柱导体沿z轴通有电流I，导体内外媒质的磁导率均为

0，求导体内外的矢量磁位A和磁场强度H。1）导体内的电流密度均匀分布J=（I/

R2）ez，具有轴对称性。2）矢量磁位A只有Az分量(与J同方向)，矢量形式泊松方程

2A=

0J，简化为标量形式泊松方程

2Az=

0Jz3）由于Az只与r有关，偏微分方程进一步简化为只含一个变量r的微分方程。

第18页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场19导体内，泊松方程简化为通过不定积分求解，得通解为导体外，拉氏方程简化为通过不定积分求解，得通解为第19页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场20确定积分常数：r=0

处所以C1=0

设r=R处为磁位参考点A1=0，则r=R处即得r=R处,A1=A2=0，即C3lnR+C4=0，得所以第20页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场214-1

已知无限大平面上均匀分布面电流，密度为Kez。试用安培环路定律微分形式，求载流平面外的磁场强度H。作业4-3

真空中在x=

2m处分别有沿z轴正、反方向的线电流6mA。设坐标原点磁位为零，求：y轴上任一点的磁位

m。

4-5

已知电流密度为J=J0rez（r

a），求矢量磁位A（参考点选在r=r0

a处）和磁感应强度B。第21页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场224.3.4磁力线方程与等A面方程磁力线微分方程为B

dl=0

等A面方程为A（x，y，z）=常矢量

等A面微分方程为在平行平面场中，若矢量磁位A=Azez，则在xoy平面内B线的微分方程为即Bxdy

Bydx=0因为故代入上式得即dAz=0

这说明平行平面场中等A线就是B线，长直载流导线的等A面是一族同轴圆柱面。第22页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场23rRxyzIdldA

例4-5题图例4-5设空气中xoy平面上有一个面积很小的任意形状的平面载流回路（磁偶极子），dS的正方向与回路电流I的正方向符合右手螺旋关系，用矢量磁位A分析远离回路的任意场点的磁场。考虑到各种电流，则为

已知各种电流的分布时，可计算矢量磁位A，再由

A求磁感应强度B。还可以由A直接计算磁通量第23页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场24解：根据矢量恒等式并利用

(1/R)=eR/R2，可将(4-22)式改写为

由于磁偶极子的尺度远小于到场点的距离R

r

，eR

er，因而

由于ez

er=sin

e

，且磁偶极子的磁矩m=IS，得

第24页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场25例4-6

空气中有一长度为l、截面积为S的短铜线位于z轴上，电流密度J=Jez。求离铜线较远处的磁感应强度B。由于r≫l，r可提到积分号前，且在横截面上I=JS，故

式中解：可见，等A面为以载流短铜线中心为球心的球面。第25页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场26用球坐标系表示为直角坐标系中可见，B的分布与r2成反比，且与

角有关第26页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场274.4磁场中的镜像法

4.4.1一般媒质的镜像电流

两种媒质的磁导率为

1和

2，在媒质1内有平行于分界面的无限长线电流I。

根据衔接条件B1n=B2n和H1t=H2t可确定镜像电流第27页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场284.4.2铁磁媒质的镜像电流1）设载流导线在空气中（

1=

0）媒质2为铁磁媒质（

2

）H2将处处为零，但不要认为磁感应强度B2也处处为零。

铁磁媒质内的磁感应强度B2与不存在铁磁媒质相比增大了一倍。第28页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场29

空气中的磁感应强度B2与不存在铁磁媒质相比增大了一倍。2）设载流导线在铁磁媒质中（

1

）媒质2为空气（

2=

0）第29页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场304.5电感4.5.1内自感和外自感

在各向同性的线性媒质中，穿过电流回路所限定面积的磁通与回路中的电流成正比式中

L为自感磁链，L为自感系数，简称自感，单位是亨(H)。自感仅与回路的几何形状、尺寸及媒质的分布有关，而与电流及磁链的大小无关。自感有内自感和外自感之分。第30页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场31（1）在导线内部仅与部分电流交链的B线形成的磁通称为内磁通，对应的磁链称为内磁链，用

i表示。（2）完全在导线外部闭合的B线形成的磁通称为外磁通，对应的磁链称为外磁链，用

o表示。自感为内自感与外自感之和对于平行平面场第31页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场32例4-7

求半径为R的长直圆柱形导线的内自感。解：由安培环路定律求得导线内

穿过轴向长度为l，宽度为dr的矩形面积上的元磁通相应的元磁链第32页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场33导线内的自感磁链总量为因此，单位长度的内自感为

可见，圆柱形导体内自感的大小与其半径无关，其中

为导体材料的磁导率，对于铜铝导线

=

0=4

10

7（H/m），相应的内自感很小，一般可忽略不计；对于钢

>>

0，则必须考虑其内自感。第33页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场34例4-8

求双线传输线的自感例4-8题图

解：计算外磁链时，可认为电流集中在几何轴线上。两个电流在两线之间产生的磁场强度方向相同，均为垂直进入纸平面。由叠加原理穿过元面积（ldx）的元磁通d

21=B（ldx），故外磁链因而，外自感第34页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场35一般情况下d»R，故两根导线的内自感所以，双线传输线的自感第35页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场364.5.2互感与聂以曼公式

线性媒质中，回路2相交链的互感磁链

21，与产生它的回路电流I1成正比互感不仅与线圈或导线的几何形状、尺寸及周围媒质和导线材料的磁导率有关，还与两回路的相互位置有关。回路2对回路1的互感可表示为互感具有互易性M12=M21

第36页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场37解：图中标出的矩形线圈电流i2具有很大迷惑性。若根据i2求B2和互感磁链

12计算量将很大。由于互感具有互易性M12=M21，可假设长直导线中通电流I1，便能很简便地求得可得互感

例4-9

求图示直与单匝矩形线圈之间的互感M第37页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场38已知电流分布计算互感可分为三个步骤：（1）先由电流分布求得矢量磁位（2）再计算磁通（3）最后得到互感若两回路的匝数分别为N1和N2，则

聂以曼公式第38页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场39作业I1m1m2m5

04-7题图4-7

空气中有一平行于媒质分界面的长直线电流I=10A，距分界面1m。已知分界面另一侧的媒质磁导率

1

5

0，求图示矩形面积穿过的磁通

。4-9

空气中甲、乙两对双线传输线之间的相对位置如图所示，求两者之间沿纵向单位长度的互感。I1I1甲I2I2乙1m1m1m4-9题图第39页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场404.6磁场能量与磁场力4.6.1外源做功转化为磁场能量

假设：电流和磁场的建立过程都是缓慢进行的，周围均为线性媒质，且没有能量辐射及其他损耗。这样，外源所做的功转变为磁场中储存的能量。（1）在回路l1中通电流i1，增量为di1，自感磁链增量d

11=L1di1，感应电动势e1=

d

11/dt，外源必须施加电压u1=

e1才能克服感应电动势影响，i1u1+–

11在电流i1由0

I1的过程中，外源所作功为因此，在dt时间内，外源作功为第40页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场41（2）在回路l2中通电流i2时，两个回路的外源都作功。I1u’1+–

22

12u2i2+–其中，回路2中的外源在建立电流I2时作功，同理为此外，回路1中的外源为了抵制互感磁链对电流I1的影响，也要作功因此，在电流i2由0

I2的过程中，外源作功之和为第41页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场42（3）两个回路系统，外源做功转化的磁场总能量为回路1的自有能回路2的自有能两回路间的相互作用能上式可整理为(4)对于n个电流回路组成的系统，磁场能量为第42页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场43磁链可通过矢量磁位计算因此，磁场能量的另一个计算式为例4-10

双线传输线导体半径均为R，几何轴间距离为d，通过电流为I。求单位长度储存的磁场能量。解：由叠加原理第43页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场444.6.2磁场能量分布及其密度

利用矢量恒等式

（H

A）=A

（

H）

H

（

A）对于体电流产生的磁场扩大积分区域结果不变

H=J散度定理B=

A第44页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场45当r

时，第一项积分等于零对于各向同性的线性媒质磁场能量体密度为单位J/m3H与r2成反比A与r成反比S与r2成正比第45页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场46例4-11

同轴电缆内外导体半径分别为R1和R2，长度为l，导体的磁导率为

1，媒质的磁导率为

2，通恒定电流I。求同轴电缆储存的磁场能量。解：内导体中内外导体之间长度为l的同轴电缆储存的磁场总能量为第46页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场474.6.3虚位移法求磁场力

载流导体或运动电荷在磁场中所受的力称为磁场力或电磁力。许多仪表就是利用电磁力进行设计的，电力工程设计中也常需要校验导体或绝缘子承受电磁力。运动电荷所受磁场力F=qv

B；

设有n个载流回路所构成的系统，分别与外源相联，通有电流I1,I2,…,In。假设除了第p号回路外，其余都固定不动；而且回路p也仅有一个广义坐标g发生变化。磁场力的计算方法虚位移法计算磁场力载流回路所受磁场力电源提供的能量磁场能量的增量磁场力所作的功第47页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场481）假定各回路电流保持不变，即Ik=常量。外源提供的能量一半为磁场能量的增量，另一半作机械功则，2）假定各回路磁链保持不变，即Ψk=常量，磁场力作功只有靠减少系统内的磁场能量来完成则，第48页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场49例4-12

在均匀外磁场B中，有一个平面线圈面积为S，通电流为I1，其法线方向与外磁场B夹角为α，求线圈所受到的力矩。

α

B

I解：系统相互作用能选取线圈法线与外磁场的夹角α为广义坐标，则对应的广义力为力矩可见，载流回路所受力矩作用趋势是使该回路包围尽可能多的磁通。第49页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场50例4-13

细长螺线管共有N匝，长度为L，截面积为S，通有恒定电流I。现将一根磁导率为μ的铁棒沿轴向插入一部分，另一半留在管外。求铁棒在水平方向所受的力。Lx

0μ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙解：取铁棒插入深度x为广义坐标。由于则位移前后磁场能量变化故铁棒受力

由于μ>>μ0，f>0，电磁力使x增加，铁棒被自动吸入。第50页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场51解：长直导线产生的

例4-14

矩形线圈与长直导线在同一平面上，设导线中通电流I1，线圈中通电流I2，求矩形线圈的各边受力。abcI1I2

0相互作用能求线圈的①②边受力时，取a为广义坐标广义坐标必须独立第51页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场52求线圈的③④边受力时，取X2为广义坐标求线圈的②③和④①边受力时，取c为广义坐标求线圈的①②边受力时，取X1为广义坐标令X1=a，X2=a+b第52页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场534.6.4法拉第对磁场力看法每束磁力线所形成的磁感应管沿其轴向受到纵张力，在垂直方向上受到侧压力。

单位面积上的张力和压力的量值相等，都等于第53页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场54

空气隙中的磁通与铁心中的磁通相等,即

1=

2，B1n=B2n。但由于铁心

>>气隙

0，因而，铁心内H1=B1/

远远小于气隙的H2=B2/

0，故可近似认为H1≈0。因此，衔铁的起重力仅为气隙中的B管沿轴向收缩的吸力例4-15

求图示电磁铁的起重力（设空气隙中的磁场均匀分布）

f

解：由法拉第的看法可知，空气隙中的B管有沿轴向收缩的趋势，因而在气隙铁心表面上表现为吸力。第54页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场55作业Ih4-10题图

R1R24-10

铁心横截面为矩形，磁导率为

，均匀密绕N匝的螺线管通电流I。求其储存的磁场能量。

4-11

双线传输线导体半径均为R，几何轴间距离为d，通过电流为I。试用虚位移法求单位长度所受的磁场力。I

Id4-11题图第55页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场564.7磁路及其计算

工程中常应用铁磁材料，其

远远大于一般材料的

0，因此，常把此类问题简化为磁路问题进行近似计算。4.7.1铁磁材料中的B线媒质分界面上没有电流时由于铁磁媒质的

2>>空气的

1，因此而且常常是

2≈900，

1≈00。这样，铁磁材料内的B线可看为与分界面平行，而且磁通远大于外部。

非铁磁材料铁磁材料第56页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场57

在电气工程和无线电技术中，很多需要较强磁场或较大磁通的设备，载流线圈都是绕在一个闭合或基本闭合的铁心上。空气隙漏磁通主磁通

这样，不仅会使绝大多数B线集中于铁心内部，并沿着铁心走向分布；而且通有较小的电流便能得到较强的磁通。

闭合的铁心或开有狭窄空气隙的铁心是B线的主要通路，通常称其为磁路。

绝大部分B线是通过磁路闭合的，磁路中的磁通称为主磁通。

少量B线经过磁路外空气或非铁磁媒质而闭合，相应的磁通称为漏磁通。第57页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场584.7.2磁路定律

一般情况下，要精确计算铁心中的磁场分布比较困难，因为磁场的分布与线圈和铁心的形状密切相关。

工程上一般根据磁场的基本方程推导出磁路定律，然后利用类似于电路的方法近似地计算主磁通。无分支闭合铁心的磁路（a）

I设线圈电流为I，匝数为N

由由于铁心横截面上通过的磁通相等，得定义磁路的磁动势单位:安匝em=NI第58页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场59emRm（b）

仿照导体电阻的公式单位：1/H定义无分支闭合磁路的磁阻（a）

I仿照全电路欧姆定律U=IR可见，磁路中的

、Rm和em三者之间的关系，与电路中的欧姆定律完全相似。

em=

Rm则得，无分支闭合磁路的欧姆定律第59页，课件共64页，创作于2023年2月2023/8/30第四章恒定磁场60例4-16

右图所示线圈匝数N=300，铁心横截面积S=3

10

3m2，平均长度l=1m