人教A版必修二6.4.2向量在平面几何和物理的应用 课堂、课后练习题（含解析）

第第页人教A版必修二6.4.2向量在平面几何和物理的应用课堂、课后练习题（含解析）人教A版必修二6.4.2向量在平面几何和物理的应用课堂练习题

一.向量在平面几何中的向量方法

例1.已知等腰△ABC,AB=AC,点M为边BC的中点,求证AM⊥BC.

例2.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为

二．向量在物理中的应用

例1.如图,一条河的两岸平行,河的宽度=500,一艘船从A处出发到河对岸,已知船的速度=10/,水流速度

=2/,问

⑴行驶航程最短时,所用时间是多少？(精确到0.1min)

⑵行驶时间最短时,所用的时间是多少？

三.两向量的和与差的模的最值

例1.有下列不等式：

①-+②-==+

③-=+④-=+

其中,一定不成立的个数是()

A.0B.1C.2D.3

例2.若=2,=3,则的取值范围是（）

变式：求的取值范围？

例3.若=8,=5,则的取值范围是（）

A．[3，8]B．(3，8)C．[3，13]D．(3，13)

答案：

一.向量在平面几何中的向量方法

例1．

例2.5

二．向量在物理中的应用

例1.(1)行驶的航程最短时,所用的时间是3.1min.

(2)行驶的时间最短时,所用的时间是3min.

三.两向量的和与差的模的最值

例1.选A

例2.[1,5]变式[1,5]

例3.C

课后检测

一．能力提升

1．已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是()

A．A，B，C三点共线B.⊥C．A，B，C是等腰三角形的顶点D．A，B，C是钝角三角形的顶点

2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝()

A．(－1，－2)B．(1，－2)

C．(－1,2)D．(1,2)

3．在四边形ABCD中，若＝－，·＝0，则四边形为()

A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形

4．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()

A．10m/sB．2m/sC．4m/sD．12m/s

5．人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()

A．v1－v2B．v2－v1C．v1＋v2D．|v1|－|v2|

6．点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：

①＋＋＝0；②·＝·＝0；③(＋)·＝(＋)·＝0.

则点O依次为△ABC的()

A．内心、重心、垂心B．重心、内心、垂心C．重心、内心、外心D．外心、垂心、重心

7．已知两个粒子A、B从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4,3)，vb＝(3,4)，则va在vb上的投影为________．

8．已知点A(0,0)，B(，0)，C(0,1)．设AD⊥BC于D，那么有＝λ，其中λ＝________.

9．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．

10.证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.

已知:平行四边形ABCD.

求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.

二.能力提升

11．已知M是△ABC内的一点，且＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值是________．

12.在平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若则＝1，则AB的长为________．

答案：

1.答案：D解析：∵＝(－2,0)，＝(2,4)，∴·＝－4<0，∴∠C是钝角．

2.答案：D解析：由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．

3.答案：B解析：由＝－知四边形ABCD是平行四边形，又·＝0，∴⊥，∴此四边形为矩形．

4.答案：B解析：设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，

v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝＝2(m/s)．

5.答案：C解析：对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，逆风行驶的速度为v1＋v2，故选C.

6.答案：C

解析：①由于＝－(＋)＝－2，其中D为BC的中点，可知O为BC边上中线的三等分点(靠近线段BC)，所以O为△ABC的重心；

②向量，分别表示在AC和AB上取单位向量和，它们的差是向量，当·＝0，即OA⊥B′C′时，则点O在∠BAC的平分线上，同理由·＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心；

③＋是以，为边的平行四边形的一条对角线，而是该四边形的另一条对角线，·(＋)＝0表示这个平行四边形是菱形，即||＝||，同理有||＝||，于是O为△ABC的外心．

7.答案：

解析：由题知va与vb的夹角θ的余弦值为cosθ＝＝.

∴va在vb上的投影为|va|cosθ＝5×＝.

8.答案：

解析：如图||＝，||＝1，||＝2，由于AD⊥BC，且＝λ，所以C、D、B三点共线，所以＝，即λ＝.

9.答案：30

解析：＝－＝(3,6)＝，∵·＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴⊥，∴四边形ABCD为矩形，||＝，||＝，∴S＝||·||＝30.

10.证明:不妨设=a,=b,则

=a+b,=a-b,||2=|a|2,||2=|b|2.

得||2==(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2.①

同理||2=|a|2-2a·b+|b|2.②

+②得||2+||2=2(|a|2+|b|2)=2(||2+||2).

所以,平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.

11．18[解析]∵·＝2，∴bccosA＝2，

∵∠BAC＝30