(完整版)双曲线练习题

(完整版)双曲线练习题圆锥曲线与方程——双曲线练习题一、选择题1.已知方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的图像是双曲线，那么$a$的取值范围是（）A.$a>b>0$B.$a<b>0$C.$a>0,b>0$D.$a>0,b<0$2.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，$P$是双曲线上一点，满足$|PF_2|=|F_1F_2|$，直线$PF_1$与圆$x^2+y^2=a^2$相切，则双曲线的离心率为（）A.$\frac{5}{3}$B.$3$C.$3\sqrt{3}$D.$4\sqrt{3}$3.过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的右焦点作直线交双曲线于两点，若$a=2,b=3$，则这样的直线有（）A.$1$条B.$2$条C.$3$条D.$4$条4.等轴双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1$与抛物线$y^2=16x$的准线交于$A,B$两点，$AB=4\sqrt{3}$，则双曲线$C$的实轴长等于（）A.$2$B.$2\sqrt{3}$C.$4$D.$8$5.已知双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{m}=1$的一条渐近线的方程为$y=\frac{5}{x}$，则双曲线的焦点到直线的距离为（）A.$2$B.$3$C.$4$D.$5$6.若直线过点$(3,0)$与双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$只有一个公共点，则这样的直线有（）A.$1$条B.$2$条C.$3$条D.$4$条7.方程$\frac{x^2}{k-2}-\frac{y^2}{k+3}=1(k\in\mathbb{R})$表示双曲线的充要条件是（）A.$k>2$或$k<-3$B.$k<-3$C.$k>2$D.$-3<k<2$二、填空题8.过原点的直线，如果它与双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$相交，则直线的斜率的取值范围是$\left(-\frac{b}{a},\frac{b}{a}\right)$.9.设为双曲线$\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1$，过双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$.10.以$F_1F_2$为直径的圆恰好过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，设其右顶点为$P$，则双曲线的离心率等于$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$.三、解答题12.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在轴上，虚轴长为$12$，离心率为$\frac{5}{4}$；（2）顶点间的距离为$6$，渐近线方程为$y=\frac{5}{4}x$.解：（1）设双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，则由题意得：$$\begin{cases}2c=12\\\frac{c}{a}=\frac{5}{4}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=3\\b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{3^2-6^2}=3\sqrt{3}\end{cases}$$所以双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$.（2）设双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，则由题意得：$$\begin{cases}2a=6\\b=\frac{5}{4}a\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=3\\b=\frac{15}{4}\end{cases}$$所以双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{\frac{225}{16}}=1$，即$16x^2-9y^2=225$.13.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的右焦点为$F(c,0)$.（1）若双曲线的一条渐近线方程为$y=x$且$c=2$，求双曲线的方程；（2）若双曲线的一条渐近线方程为$y=-x$，求双曲线的方程.解：（1）由于渐近线方程为$y=x$，所以$\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2})=1$，即$\frac{b^2}{a^2}=1$，又因为右焦点为$F(c,0)$，所以$c^2=a^2+b^2$，代入得：$$\begin{cases}b^2=a^2\\c=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=\sqrt{2}\\b=\sqrt{2}\end{cases}$$所以双曲线的方程为$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$.（2）由于渐近线方程为$y=-x$，所以$\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2})=1$，即$\frac{b^2}{a^2}=-1$，又因为右焦点为$F(c,0)$，所以$c^2=a^2-b^2$，代入得：$$\begin{cases}b^2=-a^2\\c=\sqrt{a^2-b^2}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=\sqrt{2}\\b=-\sqrt{2}\\c=2\end{cases}$$所以双曲线的方程为$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}=1$.2.已知双曲线的离心率为c，以原点O为圆心、c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为-3，求双曲线的离心率。解析：设双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，则圆的方程为$(x-c)^2+y^2=c^2$。由于圆与双曲线在第一象限相交，因此有$a>c>0$。将圆的方程代入双曲线的方程，得到$(\frac{c}{a})^2y^2-2c^2\frac{x}{a}y+c^2(x^2-a^2)=0$。由于过A作圆的切线斜率为-3，因此该切线方程为$y=-3(x-c)+c$。代入上面的方程，可以求得$b^2=\frac{c^2}{3}$，进而求得离心率$c=\sqrt{a^2+b^2}/a=\sqrt{4/3}$。14.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为e，原点到过点A(a,0)、B(0,b)、C(a,b)的直线的距离分别为h1、h2、h3，求双曲线的方程。解析：由离心率的定义可得$\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$。设双曲线的焦点为F，根据焦点到直线的距离公式可得$h1=\frac{a}{e}$，$h2=\frac{b}{e}$，$h3=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{e}$。由于双曲线是关于x轴和y轴对称的，因此只需考虑第一象限的部分，即$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，且$a>0,b>0$。将该方程代入直线的距离公式，可得$\frac{a^2}{e^2}-\frac{h_1^2b^2}{a^2}=h_1^2$，$\frac{b^2}{e^2}-\frac{h_2^2a^2}{b^2}=h_2^2$，$\frac{a^2+b^2}{e^2}-\frac{2h_3^2ab}{a^2+b^2}=h_3^2$。解以上方程组，可得$a=\sqrt{\frac{h_1^2h_2^2}{h_1^2+h_2^2}}$，$b=\sqrt{\frac{h_1^2h_2^2}{h_1^2+h_2^2}(e^2-1)}$，进而求得双曲线的方程为$\frac{x^2}{h_1^2-h_2^2(e^2-1)}-\frac{y^2}{h_1^2(e^2-1)-h_2^2}=1$。3.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的焦点为F1、F2，离心率为e，原点到过点A(a,0)、B(0,b)、C(a,b)的直线的距离分别为h1、h2、h3，求双曲线的方程。解析：由双曲线的定义可得$\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$。设双曲线的中心为O，根据中心到直线的距离公式可得$h1=\frac{a}{e}$，$h2=\frac{b}{e}$，$h3=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{e}$。由于双曲线是关于x轴和y轴对称的，因此只需考虑第一象限的部分，即$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，且$a>0,b>0$。设双曲线的焦点坐标为$(\pmc,0)$，则有$a^2=c^2+b^2$，$e=c/a$。代入双曲线的方程，可得$\frac{x^2}{c^2-b^2}-\frac{y^2}{c^2}=1$。由于$h1=\frac{a}{e}=c$，$h2=\frac{b}{e}=b\sqrt{e^2-1}$，因此可得$c=h1$，$b=h2/\sqrt{e^2-1}$。代入双曲线的方程，可得$\frac{x^2}{h_1^2-h_2^2}-\frac{y^2}{h_1^2}=1$。6.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的右顶点为(3,0)，求过点(3,0)且与双曲线的渐近线平行的直线的条数。解析：由于双曲线的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$，因此与渐近线平行的直线必须垂直于x轴。又由于双曲线是关于x轴和y轴对称的，因此只需考虑第一象限的部分，即$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，且$a>0,b>0$。设过点(3,0)且与双曲线的渐近线平行的直线方程为$y=kx$，则代入双曲线的方程可得$k^2=\frac{b^2}{a^2-9}$。由于$k>0$，因此有$a^2>9$。又因为$b^2=a^2-9$，因此有$b>0$。综上可得，与双曲线的渐近线平行的直线共有3条。1.若双曲线的一条渐近线方程为$y=x$，则可以得到$a=b$，解得$a=b=\sqrt{2}$。因为$c=a^2+b^2=2$，所以双曲线的方程为$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$。2.设点$A$的坐标为$(m,n)$，则直线$AO$的斜率满足$k=\frac{n}{m-3}$。因为以点$O$为圆心，$c$为半径的圆方程为$x^2+y^2=c^2$，所以将式子$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$代入圆方程，得到$3n^2+n^2=c^2$，解得$n=\frac{c}{\sqrt{10}}$，即$m=3n$。将$m$和$n$的值代入双曲线方程，得到$\frac{c^2}{2}-\frac{10}{3}=1$，化简得到$c^2=44$。因为$c^2=a^2+b^2$，所以$b^2=c^2-a^2=14$，又因为离心率$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{2}$，所以所求双曲线的离心率为$2$。3.首先将$y=kx+5$代入$x^2-3y^2=23$，化简得到$(13k^2)x^2+30kx+7=0$。设$C(x_1,y_1)$，$D(x_2,y_2)$，$CD$的中点是$E$，则$x_E=\frac{x_1+x_2}{2}$，$y_E=\frac{y_1+y_2}{2}$。因为$CD$垂直于$BE$，所以$BE$的斜率为$-\frac{1}{k}$。又因为$BE$经过点$E$，所以可以列出方程$\frac{y_E-5}{x_E}=-\frac{1}{k}$，代入$x_E$和$y_E$的值，解得$k=\frac{15}{13}$。将$k$的值代入$(13k^2)x^2+30kx+7=0$，解得$x_1=\frac{15\sq