2021-2022学年河南省漯河第五高级中学高二（上）期中数学试卷（文科）（附答案详解）

2021-2022学年河南省溪河第五高级中学高二（上）期中数学试

卷（文科）

1.在数列｛an｝中，an+i=2an,cii=3,则&6=()

A.24B.48C.96D.192

2.己知△ABC中，BC=4,AC=473,NA=30。，贝(J/B=()

A.30°B,30°或150°C.60°D,60°或120°

3.已知tin=1+g+^+[+…+/'则CI3=()

1

a=

36-

A.c

111

a=1+++

32-4-6-

4.已知命题p：AABC中，如果sin4=g,那么A=/命题q：△ABC中，如果cosA=那

么4=小则下列命题是真命题的是（）

A.pAqB.pV(%)C.(~p)AQD.(")/\(「q)

5.《几何原本》第二卷中的几何代数法（儿何方法研究代数问题）成

了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定

理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明.现有如图所示的

图形，点尸在半圆。上，点C在直径4B上，且OF14B.设AC=a,BC=

b（a>0,b>0）,则该图形可以完成的无字证明为（）

A.B.a2+b2>2ab

C.D.竽N痫

a+b

31

若2

-+->m

6.已知%>0,y>0,%4-3y=1,Xy+2m+4恒成“，则实数6的取值范围是（）

A.（m\—2<m<4]B,{m|-4<m<2}

C.（m\m<-4或n>2}D.{m\m<一2或九>4}

7.若△ABC满足Q2=匕2+—be,sinB=2sinC,则△48。为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.锐角三角形或直角三角形

8.命题“Vxe{x|l<x<2},2x2-a>0”为真命题的一个必要不充分条件是()

A.a<1B.a<2C.a<3D.a<4

9.已知命题“存在x€{x|-2<x<3},使得等式2x-m=0成立”是假命题，则实数m的

取值范围是()

A.(-00,-4]U(6,+°0)B.(-oo,-4)U(6,+oo)

C.(-8,-4)U[6,4-oo)D.(-°°,—4]U[6,+oo)

10.如图所示，隔河可以看到对岸两目标4B,但不能到达，现在岸边取相距4/an的C,。两

点,测得乙4cB=75。，ABCD=45°,乙40c=30。，乙4。8=45。(4,B,C,。在同一平面内),

则两目标4,B间的距离为km.()

---------------居B

'、、、、,，'、

、、、、、/\

4kmD

11.设44BC的内角4,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=2,c=l,A=2B,则a=()

A.V6B.2C.V3D.V2

12.设等差数列｛a』也｝的前n项和分别是5、%.若黑=黑，则母的值为()

1n3几十/03

A.-A-B.IC.1D.2

118

x4-y>2

13.已知实数x,y满足卜—yNO,则z=2x+y的最小值为.

x<2

14.已知命题p：3%G[0,3],%2-2%-3—a>0；q：VxE/?,2x2+2ax+a>0,若命题p为

假，命题q为真，则实数a的取值范围是

15.已知x>1,则正处的最小值为___.

X-1

16.下列五个命题：

①命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a=0,则ab力0”：

②若命题p：3xE/?,x2+x+1<0,则"：VxCR,x2+x+1>0；

③若命题"”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；

④命题"若0<a<1,则loga(a+1)<loga(l+；)”是真命题；

⑤命题"集合｛幻/一2x+1=0,xeR｝有2个子集”是假命题.

其中正确命题的序号是.(把所有正确的命题序号都填上)

17.已知等比数列｛a列中,由=1,且2a2是和4al的等差中项.数列出』满足瓦=l,b7=13,

且％n+2+bn=2匕耳+1.

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)求数列｛an+%｝的前n项和7；.

18.在AABC中，内角4,B,C对应的边分别为a,b,c,且2acosB+2bcos4=ac.

(1)求a的值；

(2)若力=等求△4BC周长的取值范围.

19.已知命题p：存在实数X6R,使M一公+140成立.

(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围：

(2)命题q：任意实数xe[1,2],使/一2ax+1W0恒成立，若“pVq”是真命题，求实数a的

取值范围.

20.己知数列｛a"满足%+1=an+l(nGN*),且a?=2.

(1)若数列｛b｝满足d=1>bn+1=bn+2an-1,求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛6-3。"｝的前n项和%.

21.如图，在A4BC中，内角4、B、C的对边分别为a、b、c.已知b=3,c=6,sin2C=sinB,

且力。为BC边上的中线，4E为ZB4C的角平分线.

(1)求线段BC的长；

(2)求AaDE的面积.

22.已知正项等差数列｛册｝的前n项和为Sn,S3=9,若的+1,a2+l,a3+3构成等比数列.

(1)求数列｛aj的通项公式;

(2)设数列A-｝的前n项和为％求证：Tn>!.

anan+lJ

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：在数列｛On｝中,由a“+i=2。"，的=3,

得数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，

则=%q5=3X25=96.

故选：C.

由已知直接利用等比数列的通项公式求解.

本题考查等比数列的通项公式，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：由于△ABC中，BC=4,AC=4V3,44=30。，

利用正弦定理：号=上，

stnAsinB

整理得sinB=浮

由于AC>BC,

所以B=60°或120°.

故选：D.

直接利用正弦定理的应用求出结果.

本题考查的知识要点：正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：因为<2工=l+：+J+J+…+

“2342n

所以的=l+J+J+；+[+，・

323456

故选：D.

由己知数列的通项公式，直接写出的，即可得解.

本题主要考查数列的简单表示法，数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：命题p：A4BC中，如果sim4=；,那么4屋或4=半，故A为假命题,

命题q：AABC中，如果cos4=：,那么力=g,故8为真命题，

根据复合命题定义，"Aq为真命题，

故选：C.

根据三角函数知识可判断p、q的真假，再利用复合命题定义可解.

本题考查复合命题的定义，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：由图形可知，OF==g(a+b),OC=(a+/?)-6=(a-b),

在RtAOCF中，由勾股定理可得，

故选:A.

由图形可知OF=g(a+b),OC=1(a-b),在RMOCF中，由勾股定理可求CF,结合CF2OF即

可得出.

本题考查了圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档

题.

6.【答案】B

【解析】解：因为x>0,y>0,x+3y=l,

所以。+工=©+3(x+3y)=6+^+->2隹•三+6=12,

%y、xy八J」Xyxy

当且仅当§=即久=3y=3时取等号，

xy乙

所以C+9m讥=12,

4y

因为°+->m2+2m+4恒成立，

xy

则Tn?+2m+4V12,即tn?+2m-8V0,解得一4<m<2,

所以实数Hi的取值范围是{m|-4<THV2}.

故选：B.

利用基本不等式以及“1”的代换求出©+；)min=12,从而将问题转化为爪2+2m+4<12,求

解m的范围即可.

本题考查了不等式恒成立问题，利用基本不等式求解最值的应用，“1”的代换的理解与应用，一

元二次不等式的解法，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题.

7.【答案】B

【解析】解：由正弦定理和sinB=2sinC,得b=2c,

代入a?=b2+c2—be,有a?—4c2+c2—2c2~3c2,即a=V3c>

所以a2+c2=/>2,即△ABC为直角三角形.

故选：B.

利用正弦定理将sinB=2sinC中角化边，再代入a?=b2+c2-be,可分别得到b=2c,a=遍c,

然后由勾股定理，得解.

本题考查解三角形的应用，熟练掌握正弦定理是解题的关犍，考查运算求解能力，属于基础题.

8.【答案】CD

【解析】解：若Vxe{x|lWxW2},2x2-a>0,

2

则a<(2x)TOin=2,

故a<2的一个必要不充分条件可以是a<3或a<4,

故选：CO.

求出命题"Vxe{x[l<x<2},2x2-a>0”为真命题时的a的范围，结合充分必要条件的定义

判断即可.

本题考查了充分必要条件，考查函数恒成立问题，是基础题.

9.【答案】D

【解析】

【分析】

根据条件，可得”任意xe{x|-2<x<3},都有等式2x-m#0成立”是真命题，然后求出m的

取值范围即可.

本题考查了命题与它的否定命题应用问题，是基础题.

【解答】

解：命题“存在xe{x|-2<x<3},使得等式2x-m=0成立”是假命题，

所以它的否定命题“任意》6W—2Vx<3},都有等式2支一小。0成立”是真命题，

即?n42x,所以?n<-4或m>6,

即实数m的取值范围是(一8,-4]U[6,+oo).

故选：D.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了计算求解能力和转化思

想，属于中档题.

在△4CD中由正弦定理可求4。的值，在△BC。中由正弦定理可求8。的值，再在△4B0中由余弦定

理可求4B的值.

【解答】

解：由已知，A4C0中，AADC=30°,Z.ACD=120°,可得=30。，

由正弦定理,得缶=缶,

所以空电鬻=军=4次；

sinZ.CAD1

2

△BCD中，/.CDB=75°,乙BCD=45°,可得/CBD=60°,

由正弦定理,得缶=缶，

业播=壕=华

sin乙CBD733

T

△4BD中，由余弦定理，得

AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cos^ADB=48+y-2x4V3x^Xy=y,

解得：AB=^f，

则两目标A,8间的距离为警上机.

故选：B.

11.【答案】A

【解析】解：在△4BC中，且b=2,c=1,4=28,

利用正弦定理：高=焉,整理得五』b

stnB'

化简得：Q=4COSB,

由余弦定理a=4x21萨，解得a=石(负值舍去).

故选：A.

直接利用正弦定理和倍角公式的应用求出a=4cosB,进一步利用余弦定理的应用求出a的值.

本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力,

属于中档题.

12.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，属于中档题.

先由题设条件求得土与7；的表达式，再求得即与丛的表达式，即可求得结果.

【解答】

解：由题设可令Sn=22*,G=2n(3n+7),

又当n22时，即=Sn-Sn_i=2(2n-1)4,bn=Tn-=2(3n+2)A,

a6—224,b3=224,

二守=1,

b3

故选：c.

13.【答案】3

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立仁解得4(1,1),

由z=2x+y,得y=—2x+z,由图可知，

当直线y=-2x+z过4时，直线在y轴上的截距最小，z有最

小值为3.

故答案为：3.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式,

数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.

14.【答案】(0,2]

【解析】解：因为命题p为假，

所以一p：Vx€[0,3],/—2x—3—a<0>为真命题，

所以a>—2%—3在xe[0,3]上恒成立，

设/(x)=X2-2X-3=(X-1)2-4,则/(X)在[0,1)上单调递减，在(1,3]上单调递增，

所以=/(3)=0,所以a>0，

因为命题q：Vxe/?,2x2+2ax4-a>0,为真，

所以4=(2a)2一4•2•a40,解得0<a<2,

综上，a的取值范围为(0,2].

故答案为：(0,2].

由"为真命题，将问题转化为a>7-2x-3在xe[0,3]上恒成立，再求得函数/'(x)=x2-2x~

3在[0,3]上的最大值，可得a的取值范围：对于命题q,结合一元二次不等式与二次函数的关系，

利用判别式进行判断，即可.

本题考查命题的真假判断与应用，熟练掌握存在命题的否定形式，不等式的恒成立问题是解题的

关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

15.【答案】2V3

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题.

先利用分解法分离正业=(xT),3-1然后结合基本不等式可求.

x-1X-1=X+%-1

【解答】

解：由%>1,得久一1>0,

则2-2：+4=仪-1彳+3__3^>/(x-1)=2V3-

x-lX—1=X1+X—12Y'x—1

当且仅当X—1==，即x=l+百时取等号，此时正空取得最小值2b.

X-1X—1

故答案为：28.

16.【答案】②③

【解析】解：①命题“若a=0,则就=0"的否命题是“若a*0,则ab*0"，则①错误，

②若命题p：3xGR,x2+x+1<0,510-p：VxG/?,x2+x+1>0,故②正确，

③若命题”与命题p或q都是真命题，贝如是假命题，命题q一定是真命题，故③正确，

④命题“若0<a<1,则logja+1)<logjl+》”，因为y=log/单调递减，又a<；，则a+

1<1,则loga(a+1)>loga(l+；)，则④错误，

⑤命题"集合｛x|%2-2x+1=0,xeR｝=｛1｝有1个元素,则集合有2个子集是真命题，故⑤错误,

故答案为：(2)(3).

利用否命题、以及命题的否定定义可判断①②③，利用对数函数性质可判断④，利用集合知识

可判断⑤，从而可解.

本题考查否命题、以及命题的否定定义、对数函数性质和集合知识，属于中档题.

17.【答案】解:(1)等比数列｛an｝中，%=1,设公比为q,

由于2a2是。3和4al的等差中项，可得4a2=a3+4%,

整理得4q=q2+4,解得q=2,

所以an=2"T；

(2)数列｛九｝满足瓦=1,g=13,

且bn+2+bn=2bn+1,即垢+2-bn+1=bn+1-bn,

所以数列｛%｝为等差数列，

所以公差d=^=2,故%=2n-l,

所以数列｛%i+%｝的刖九项和"=(%+瓦)+(@2+力2)+…+(。71+%)

=(a]+…+Qn)+(瓦+尻+…+b九)=+"1，｝~~=2"+?12—1•

【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，分组法求和，主要考查学

生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

(1)设公比为q,直接利用等差中项建立方程，求出公比q,再求出数列的通项公式；

(2)由%+2+bn=2bn+i，可知数列｛%｝为等差数列，再利用分组法求出数列｛an+5｝的前ri项和

18.【答案】解：(1)因为2aco解+2bcosA=ac,

由正弦定理得2si?14cos8+2sinBcosA=asinC,

即2sin(4+B)=asinC,

所以2sinC=asinC,

因为s讥C>0,

所以a=2；

(2)因为A=y,

由余弦定理得a?=4=b2+c2+be=(b+cy)2-be>(b+c)2-(-y-)2>

当且仅当b=c时取等号，

解得b+cW苧

因为b+c>a=2,

所以4<a+b+c<2+竽

故^ABC周长Q+b+c的取值范围(4,竽+2].

【解析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，即可求解a；

(2)由已知结合余弦定理及三角形两边之和大于第三边可求三角形周长范围.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，还考查了三角形三边关系的应用，属于中档

题.

19.【答案】解：(1)因为命题p为真命题，

所以4=a2-4>0,解得a<一2或a>2,

所以实数a的取值范围为(一8,-2]U[2,+8).

(2)由(1)知，当命题p为其命题时，aG(—00,—2]U[2,4-co),

当命题q为真命题时，原命题等价于a>嘤在x6[1,2]上恒成立,

设/⑶=嘤=|+/在xe[1,2]上单调递增，

所以f(x)n1ax=f(2)=半，所以a泞，

若“pvq”是真命题，则其对立事件为“p八q”是假命题，

当命题p为假命题时，-2<a<2；当命题q为假命题时，a<工，

所以-2<a〈下

5

所以若“pvq”是真命题,4-

故实数a的取值范围为(—8,-2]U[1,+oo).

【解析】(1)由命题p为真，知220,解之即可；

(2)当命题q为真命题时，原命题等价于a>要在xG[1,2]上恒成立，再求得/(x)=要在xG

[1,2]上的最大值，即可得a的取值范围，然后结合(1)中所得，进一步确定a的取值范围，最后根据

“pvq”是真命题的对立事件为“p/\q”是假命题，得解.

本题考查命题的真假判断与应用，熟练掌握复合命题的真假判断，不等式的恒成立问题是解题的

关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)数列｛an｝满足即+1=an+l(neN*),且g=2.

・•.数列｛册｝是首项为1的等差数列，・•・Qi=-1=2—1=1,

an=1+(n-1)x1=n,

,・・数列｛bn｝满足瓦=1,bn+1=bn+2an-1,

bn+1=%+2九—1,:.bn+1-bn=2n-lf

・•・bn=b]+.b]+83-b2H-----\-bn—bj1T

=1+2—1+4—1+…++2(n—1)—1

=2(1+2+…4-n-1)+2-n

=n2—2n4-2,

2

，数列｛bn｝的通项公式⑥=n-2n4-2.

ann

(2)van-3=n-3,

工数列｛/i-3。“｝的前n项和:

23n

Sn=lx3+2x3+3x3+…+nx3,①

234nn+1

3Sn=1X3+2X3+3x3+…+(n-l)x3+nx3,②

①一②，得：-2Sn=3+32+33+34+-+3n-nx3n+1=-nx3n+1=-1(1-3n)-

nx3n+i,

•・0=竽、3川+/

【解析】(1)推导出与=ri,bn+1-bn=2n-1,利用累加法能求出数列｛与｝的通项公式.

23n

(2)由0n•3,=n•3",得数列｛an•3心｝的前n项和%=1X3+2X3+3X3+-+nx3,利

用错位相减法能求出数列｛斯-3颔｝的前n项和1.

本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、累加法、错位相减法等基础知识，

考查运算求解能力，是中档题.

21.【答案】解