2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）专题2.4分类与整合思想中的五种题型（三角函数与解三角形数列不等式解析几何计数原理）（原卷版）

2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）题型一：三角函数与解三角形1．（2022·上海·高三专题练习）已知函数若在区间D上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数a的取值集合是___________.2．（2022·上海市松江二中高三开学考试）某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标与时间（单位：小时）之间的关系的函数模型：，，其中，代表大气中某类随时间变化的典型污染物质的含量，参数代表某个已测定的环境气象指标，且.现环保部门欲将的最大值作为每天的大气环境综合指数予以发布.(1)求的值域；(2)若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过，请求出的表达式，并预测该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由.题型二：数列1．（2022·上海·高三专题练习）若数列的通项公式分别为，，且对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．2．（2020·上海闵行·一模）已知各项为正数的非常数数列满足，有以下两个结论:①若，则数列是递增数列；②数列奇数项是递增数列则（）A．①对②错 B．①错②对 C．①②均错误 D．①②均正确3．（2022·上海·高三专题练习）已知函数各项均不相等的数列满足.令.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列使得；（2）若数列的通项公式为，则对恒成立；（3）若数列是等差数列，则对恒成立，其中真命题的序号是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）4．（2022·上海·高三专题练习）对于数列，如果存在最小的一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是周期为，数列前项的和分别记为，则三者的关系式___________；已知数列的通项公式为，那么满足的正整数=___________.5．（2022·上海师大附中高三阶段练习）已知{}是公差为的等差数列，若存在实数，，，…，满足方程组：，则d的最小值为___________6．（2022·上海杨浦·二模）已知a为实数，数列{}满足：①；②.若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列{}为周期数列.(1)当时，求的值；(2)求证：存在正整数n，使得；(3)设是数列{}的前n项和，是否存在实数a满足：①数列{}为周期数列；②存在正奇数k，使得.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由.7．（2022·上海宝山·一模）已知函数，无穷数列满足，.(1)若，写出数列的通项公式（不必证明）；(2)若，且，，成等比数列，求的值；问是否为等比数列，并说明理由；(3)证明：，，，，成等差数列的充要条件是.8．（2022·上海·高三专题练习）对于数列，若存在，使得对任意都成立，则称数列为“-折叠数列”.（1）若，判断数列是否是“-折叠数列”，如果是，指出的值，如果不是，请说明理由；（2）若，求所有的实数，使得数列是3-折叠数列；（3）给定常数，是否存在数列，使得对所有，都是-折叠数列，且的各项中恰有个不同的值，请说明理由.9．（2022·上海奉贤区致远高级中学高三开学考试）已知无穷数列与无穷数列满足下列条件：①；②.记数列的前项积为.（1）若，求；（2）是否存在，使得成等差数列？若存在，请写出一组;若不存在，请说明理由；（3）若，求的最大值.10．（2022·上海·高三专题练习）已知为正整数，各项均为正整数的数列满足：，记数列的前项和为．（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）若为奇数，求证：“”的充要条件是“为奇数”．11．（2020·上海杨浦·一模）已知无穷数列的前项和为,若对于任意的正整数,均有,则称数列具有性质.（1）判断首项为,公比为的无穷等比数列是否具有性质,并说明理由;（2）已知无穷数列具有性质,且任意相邻四项之和都相等,求证:;（3）已知,数列是等差数列,,若无穷数列具有性质,求的取值范围.12．（2020·上海市大同中学高三阶段练习）如果一个数列从第项起，每一项与它得前一项得差都大于，则称这个数列为“”数列.（1）若数列为“数列”，且，，，求实数的取值范围；（2）是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前项和满足？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“数列”，，，当数列不是“数列”时，试判断数列是否为“数列”，并说明理由.13．（2021·上海虹口·二模）若数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.（1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由；（2）若公比为的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；（3）若首项的无穷等差数列具有“性质”，求公差的值.14．（2022·上海·高三专题练习）已知正整数数列满足：，，.（1）已知，，求和的值；（2）若，求证；（3）求的取值范围.15．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知无穷数列满足：，（，）．对任意正整数，记，．（1）写出，；（2）当时，求证：数列是递增数列，且存在正整数，使得；（3）求集合．16．（2019·上海市建平中学高三阶段练习）设是无穷正项等比数列，公比为.对于正整数集的子集，若，定义；若，定义.（1）若，，，求；（2）设.若､是的非空有限子集且，求证：；（3）若对的任意非空有限子集､，只要，就有，求公比的取值范围.17．（2020·上海普陀·三模）已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合A中元素最小值记为，集合A中元素最大值记为，如数列：时，，，.（1）已知数列：，写出集合及；（2）求证：不存在，（3）求的最大值以及的最小值，并说明理由.18．（2020·上海青浦·一模）若无穷数列和无穷数列满足：存在正常数A，使得对任意的，均有，则称数列与具有关系．（1）设无穷数列和均是等差数列，且，，问：数列与是否具有关系？说明理由；（2）设无穷数列是首项为1，公比为的等比数列，，，证明：数列与具有关系，并求A的最小值；（3）设无穷数列是首项为1，公差为的等差数列，无穷数列是首项为2，公比为的等比数列，试求数列与具有关系的充要条件．19．（2020·上海·模拟预测）对于数列，若存在，使得对任意都成立，则称数列为“折叠数列”.（1）若，，判断数列，是否是“折叠数列”，如果是，指出的值；如果不是，请说明理由；（2）若，求所有的实数，使得数列是折叠数列；（3）给定常数，是否存在数列，使得对所有，都是折叠数列，且的各项中恰有个不同的值，证明你的结论.20．（2020·上海闵行·一模）已知数列满足（1）当时，写出所有可能的值；（2）当时，若且对任意恒成立，求数列的通项公式；（3）记数列的前项和为，若分别构成等差数列，求.题型三：不等式一、解答题1．（2021·上海市嘉定区第二中学高三期中）已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为.(1)若，求实数的值和解集.(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.2．（2020·上海·高三专题练习）解下列不等式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）3．（2020·上海·高三专题练习）解不等式：.4．（2020·上海·高三专题练习）已知，，．求证：（1）；（2）．5．（2016·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知关于的不等式的解集为，其中；（1）若，求实数的取值范围；（2）求不等式的解集；（3）是否存在实数，使得上述不等式的解集中只有有限个整数？若存在，求出使得中整数个数最少的的值；若不存在，请说明理由；6．（2016·上海市晋元高级中学高三期中）关于的不等式，的解集分别为和（1）试求和；（2）若，求实数的取值范围．7．（2021·上海市建平中学高三开学考试）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车道速度是0千米/小时.（1）若车流速度不小于50千米/小时，求车流密度的取值范围；（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.8．（2022·上海·高三专题练习）对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.（1）若数列1，2，，8是数列，求实数的取值范围；（2）设数列，，，，是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列、是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为、，求证：当且时，数列不是数列.9．（2019·上海市建平中学高三阶段练习）设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中称为数组的“元”，称为的下标，如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为，的关系数为.（1）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值；（2）若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值；（3）若数组中的“元”满足，设数组含有四个“元”，且，求与的所有含有三个“元”的子数组的关系数（）的最大值.题型四：解析几何1．（2022·上海·高三专题练习）设集合{直线与直线相交且以交点的横坐标为斜率}．（1）点到中哪条直线距离最小；（2）设，点到中直线距离的最小值设为，求．2．（2021·上海·高三专题练习）双曲线的实轴为，点是双曲线上的一个动点，引，，与的交点为，求点的轨迹方程.3．（2022·上海·高三专题练习）定义：已知椭圆，把圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题：（1）写出协同圆圆的方程；（2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值；（3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.题型五：计数原理1．（2020·上海·复旦附中青浦分校高三阶段练习）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出