新高考数学复习考点知识归类与题型专题讲解训练-专题7.5-数列的综合应用

新高考数学复习考点知识归类与题型专题讲解训练专题7.5数列的综合应用【考纲要求】1.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式及其应用.2.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.3.会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题.【知识清单】知识点1．等差数列和等比数列比较等差数列等比数列定义＝常数＝常数通项公式判定方法(1)定义法；(2)中项公式法：⇔为等差数列；(3)通项公式法：(为常数,)⇔为等差数列；(4)前n项和公式法：(为常数,)⇔为等差数列；(5)为等比数列，且，那么数列(，且)为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：()⇔为等比数列(3)通项公式法：(均是不为0的常数，)⇔为等比数列(4)为等差数列⇔(总有意义)为等比数列性质(1)若，，，，且，则(2)(3)SKIPIF1<0，…仍成等差数列(1)若，，，，且，则(2)(3)等比数列依次每项和()，即SKIPIF1<0，…仍成等比数列前n项和时，；当时，或.知识点2．数列求和1.等差数列的前和的求和公式：.2．等比数列前项和公式一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.3.数列前项和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差数列中，；③等比数列中，.【考点梳理】考点一等差数列与等比数列的综合问题【典例1】（2020·江苏省高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．【典例2】（浙江省杭州市第二中学2020届高三）已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（）A． B． C． D．【总结提升】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．【变式探究】1.（2017·全国高考真题（文））已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，且a1（1）若a3+b（2）若T3=13，求2.（2019·天津高考模拟（理））已知数列满足（为实数，且），，，，且，，成等差数列．（Ⅰ）求的值和的通项公式；（Ⅱ）设，，求数列的前项和．【易错提醒】1.利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：(1)裂项过程中易忽视常数，如容易误裂为，漏掉前面的系数；(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．2.应用错位相减法求和时需注意：（1）给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；（2）在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.考点二数列与函数的综合【典例3】（2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考）已知数列满足：，．则下列说法正确的是（）A． B．C． D．【典例4】（2014·四川高考真题（理））设等差数列{an}的公差为d，点(an,（1）若a1=-2，点(a8,4b7)在函数（2）若a1=1，函数f(x)的图象在点(a2,b2)【总结提升】数列与函数的综合问题主要有以下两类：①知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．【变式探究】1.（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，（1）令，求证：数列是等比数列；（2）令，当取得最大值时，求的值.2.（2017·上海高考真题）根据预测，某地第n(n∈N*)其中an=5n4+15,累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn=-4(n-46)考点三数列与不等式的综合【典例5】（2019年浙江卷）设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记证明：【典例6】（2020届浙江省台州五校高三上学期联考）已知函数f(（Ⅰ）求方程f(（Ⅱ）如果数列{an}满足a1=1，an+1=f(（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设数列{an}的前n项的和为S【总结提升】1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有：(1)eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1))).(2)eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k).(3)2(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＜eq\f(1,\r(n))＜2(eq\r(n)－eq\r(n－1))．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．【变式探究】1.（2020·山东高三下学期开学）已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：．2．（2019·福建高考模拟（理））已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的前项和；（2）设，数列的前项和为，求证.考点四数列与充要条件

【典例7】（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知等比数列的前项和为，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例8】（2020·浙江高三）等差数列{an}的公差为d，a1≠0，Sn为数列{an}的前n项和，则“d＝0”是“Z”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【规律方法】充要关系的几种判断方法(1)定义法：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分而不必要条件；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要而不充分条件；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要条件；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件【变式探