湖南省郴州市第十一中学2022年高二数学文下学期摸底试题含解析

湖南省郴州市第十一中学2022年高二数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A． B． C．6 D．5参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，观察当目标函数过（4，6）时，取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，要求+的最小值，先用乘“1”法进而用基本不等式即可求得最小值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=（）=+（）≥=，当且仅当a=b=，取最小值．故选B．2.若过点P（1，）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]参考答案：D【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据直线的斜率分两种情况，直线l的斜率不存在时求出直线l的方程，即可判断出答案；直线l的斜率存在时，由点斜式设出直线l的方程，根据直线和圆有公共点的条件：圆心到直线的距离小于或等于半径，列出不等式求出斜率k的范围，可得倾斜角的范围．【解答】解：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=1，此时直线l与圆相交，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+=0，∵直线l和圆有公共点，∴圆心到直线的距离小于或等于半径，则≤1，解得k≥，∴直线l的倾斜角的取值范围是[，]，故选：D．3.双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为（）A． B． C．2 D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线的标准方程，则可表示出其渐近线的方程，根据两条直线垂直，推断出其斜率之积为﹣1进而求得b的值，进而根据c=求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：∵两条渐近线互相垂直，∴，∴b2=144，∴c2=288，∴．故选A．4.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机抽取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P==．故选：D【点评】本题主要考查了几何概型，解决此类问题的关键是弄清几何测度，属于基础题．5.若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：A6.分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且，的解集为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A略7.设是定义在上以2为周期的偶函数，已知，，则函数在上()A．是增函数且

B．是增函数且C．是减函数且

D．是减函数且参考答案：D略8.函数的最小值是（

）

A.2

B.1

C.

D.不存在参考答案：C略9.已知集合，集合，并且，则的范围是A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，C与抛物线的准线交于A,B两点，,则C的实轴长为（

）A.2

B.

C.4

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数在点处的切线为y=2x-1，则函数在点处的切线方程为

▲

．参考答案：12.设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则=______；当时，_____________________．（用表示）参考答案：5,

13.函数的最小值为_____________；参考答案：914.已知全集，集合，，则___________.参考答案：略15.为激发学生学习兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合：，，；然后请甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于6的正整数；乙：A是B成立的充分不必要条件；丙：A是C成立的必要不充分条件．若三位同学说的都对，则“”中的数为．参考答案：略16.已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，求的最小值是＿＿＿＿＿＿＿＿参考答案：417.定义：为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}通项公式为an=

．参考答案：6n﹣4【考点】数列的求和．【分析】设数列{an}的前n项和为sn，由已知可得，可求得sn，再利用an=sn﹣sn﹣1求得通项【解答】解：设数列{an}的前n项和为sn，由已知可得，∴，当n≥2时，；当n=1时，a1=s1=2适合上式，∴an=6n﹣4．故答案为：6n﹣4【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，利用an与Sn的关系是解决本题的关键，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设.（1）解不等式；（2）若不等式在上恒成立,求实数k的取值范围.参考答案：（1）（2）试题分析：（1）利用零点分段法将去绝对值，分成三段，令每一段大于2，求解后取并集；（2）由（1）时，，分离常数得，右边函数为增函数，所以，解得.试题解析：（1）,所以当时,,满足原不等式；当时,,原不等式即为,解得满足原不等式；当时不满足原不等式；综上原不等式的解集为.（2）当时,,由于原不等式在上恒成立,,在上恒成立,,设,易知在上为增函数,.考点：不等式选讲19.(本题满分10分)如图，平面平面，为正三角形，四边形为直角梯形，且∠BAD=90°，AB∥DF，，AB=a,DF=。

（I）求证：；（II）求直线和平面所成的角．参考答案：(本题满分10分)（I）连结，则，，，所以，即．又因为，所以平面，得.

5分（II）平面平面，过点向引垂线交于点，连结,则直线和平面所成的角为.因为，，得,所以，即.

10分略20.已知集合．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，，都有，则称S具有性质P．（1）当时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由．（2）若时①若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由；②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.试题分析：（1）当时,,结合新定义的性质P可知集合不具有性质.集合具有性质.（2）当时,,①若集合具有性质,那么对于中的任意两个元素,存在成立,则对于中的任意两个元素成立,所以集合一定具有性质.②已知,设是中最小的元素,则,并且.可得集合中元素最多的理想状态是集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多出一整组（个）,即有组元素在集合中,组元素不在集合中,此时满足.很明显不存在满足上式的,理想状态不存在.接下来,令集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多个,讨论可得集合中元素个数的最大值是.试题解析：（1）当时,,,对于中的任意两个元素,不存在,所以集合不具有性质.,对于中的任意两个元素,存在,所以集合具有性质.（2）当时,,①若集合具有性质,那么对于中的任意两个元素,存在成立,集合{},则对于中的任意两个元素,一定存在成立,所以集合一定具有性质.②已知,设是中最小的元素,则有,并且,并且,以此类推,并且.因为要求集合中元素个数的最大值,不妨从集合中排除不满足条件的元素.令,则有,并且.故集合中的元素被分为两部分,从开始以个数为一组进行分组,第一组的元素在集合中,第二组的元素不在集合中,第三组的元素在集合中,第四组的元素不在集合中,以此类推,一直到集合中没有元素.所以集合中元素最多的理想状态是集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多出一整组（个）,即有组元素在集合中,组元素不在集合中,此时满足.因为是奇数,是偶数,所以为偶数,则有.然而是质数,不存在满足上式的,理想状态不存在.接下来,令集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多个,此时满足,即,此时显然越大,集合中元素越多.取,得,此时集合中元素最多,为.所以,集合中元素个数的最大值是.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.21.设点A为半径是1的圆O上一定点，在圆周上等可能地任取一点B．（1）求弦AB的长超过圆内接正三角形边长的概率；（2）求弦AB的长超过圆半径的概率．参考答案：解：（1）设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，如右图所示，则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3等分，故．

……6分答：弦AB的长超过圆内接正三角形边长的概率为．（2）设“弦AB的长超过圆的半径”为事件N，以圆的半径OA为边长作出两正三角形AOC和AOD，如图所示，则AC=AD=圆的半径OA，所以满足题意的点B只能落在优弧CD上，又，故劣弧CD的长为，即优弧CD的长为所以．答：弦AB的长超过圆的半径的概率是．

……12分22.设集合，，且中的元素满足：

①任意一个元素各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数字之和不等于9．（1）集合中的两位数有多少？集合中的元素最大的是多少？（2）将中的元素从小到大排列，求2015是第几个元素．参考答案：（1）所有的两位数共90个，其中数字相同的有9个，两数字之和为9的有9个，所以中的两位数有90―9―9＝72个；中的元素最大的是98765；

（2）所有的各数位的数字互不相同三位数共9×9×8＝648个，其中含有数字0和9的有4×8＝32个，含有数字1和8，2和7，3和6，4和5的各有4×8＋2×7＝46个，所以中的三位数有648―32―46×4＝432个；另解（1）将10个数字分为5组：（0，9），