2018全国卷3理科数学

2018全国卷3理科数学2018年全国卷3普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x|x-1≥0}，B={x|x^2-4≤0}，则B=（）A.{}B.{1}C.{1,2}D.{-2,2}2.(1+i)(2-i)=（）A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头。若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（图略）。A.B.C.D.4.若sinα=1/5，则cos2α=（）A.7/9B.-7/9C.-8/9D.24/255.(x^2+2)^5的展开式中x^4的系数为（）A.10B.20C.40D.806.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2)^2+y^2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A.[2,6]B.[4,32]C.[2,32]D.[22,32]8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4，P(X=4)<P(X=6)，则p=（）A.0.7B.0.6C.0.4D.0.39.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若△ABC的面积为S，则c=（）A.B.C.D.让我们一起努力，拼出属于我们的辉煌！每一次努力都是最优的亲近，每一滴汗水都是机遇的滋润！C，D是同一个半径为4的球的球面上的四个点，且△ABC是一个等边三角形，其面积为93。则三棱锥D-ABC的体积为10。设A，B的体积最大值为（）A．123B．183C．243D．54311．设F1，F2是双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O是坐标原点。过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。若PF1=6OP，则C的离心率为（）A．5B．2C．3D．212．设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）A．a+b＜abB．ab＜a+b＜1C．a+b＜1＜abD．ab＜a+b＜1二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,λ)。若c∥(2a+b)，则λ=________。14．曲线y=(ax+1)e在点(x1,y1)处的切线的斜率为-2，则a=________。15．函数f(x)=cos(3x+π/6)在[0,π/6]的零点个数为________。16．已知抛物线C：y^2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点。若∠AMB=90°，则k=________。（一）必考题：共60分。17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3。（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为{an}的前n项和。若Sm=63，求m。18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式。为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式。根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：第一种生产方式和第二种生产方式进行比较，根据列联表中的数据，可以得出两种生产方式的效率差异有99%的把握，K值为2，公式为n(ad-bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，P(K²≥k)=0.05,0.01,0.001时的k值分别为3.8416,6.635,10.828。19.给定边长为2的正方形ABCD，与其在同一平面内的还有半圆弧CD。设M是CD上异于C，D的点。首先证明平面AMD垂直于平面BMC，然后求出当三棱锥M-ABC体积最大时，面MAB与面MCD所成二面角的正弦值。20.已知斜率为k的直线与椭圆C：(x²/4)+(y²/9)=1相交于A、B两点，线段AB的中点为M(1,m)(m>0)。证明k<-4/3，然后设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP+FA+FB=2√2。证明FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差。221.已知函数f(x)=2+x+axln(1+x)-2x。首先当a=1时，证明当-1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0。然后求出x=1为f(x)的极大值点。选考题：22.在平面直角坐标系xOy中，给定参数方程x=cosθ，y=sinθ，其中θ为参数。同时给定圆心为O，半径为2且倾斜角为α的圆，与直线y=-2且倾斜角为α的直线相交于A、B两点。求出α的取值范围，并求出AB中点P的轨迹的参数方程。或者：23.给定函数f(x)=2x+1+x^-1。首先画出y=f(x)的图像。然后证明当x>0时，f(x)>3，当0<x<1时，f(x)<3。最后求出f(x)的单调递增区间。当$x\in[0,+\infty)$时，$f(x)\leqax+b$，求$a+b$的最小值。珍惜现在的努力，让成功成为习惯，不要找借口失败。解答：1.选择题答案：C、D、A、B、C、A、D、B、C、B、C、B。2.解题：（1）设数列$\{a_n\}$的公比为$q$，由题意得$a_n=q^n$。又已知$q=4q$，解得$q=-\frac{1}{3}$或$q=2$。因为$x\in[0,+\infty)$，所以$q=2$。因此$a_n=2^n$。（2）若$a_n=\frac{(-2)^{n-1}}{1-(-2)^n}$，则$S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$。由$S_6=63$得$(-2)^6=-64$，解得$m=6$。3.解题：（1）第二种生产方式的效率更高，理由如下：（i）从茎叶图可以看出，第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，而第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟。因此，第二种生产方式的效率更高。（ii）从茎叶图可以看出，第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，而第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟。因此，第二种生产方式的效率更高。（iii）从茎叶图可以看出，第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟，而第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟。因此，第二种生产方式的效率更高。（iv）从茎叶图可以看出，第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；而第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布。又因为两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，所以可以认为第二种生产方式完成生产任务所需的时间比第一种生产方式更少，因此第二种生产方式的效率更高。（2）由茎叶图得$m=79+81=160$。注：文章中存在一些无法理解的错误，已经尽可能地进行了修正。将来的你会感激现在努力的自己，只寻找成功的理由，不给失败找借口！让卓越成为习惯！没有等待美丽，只有通过拼搏获得的辉煌。每一次努力都是最优的选择，每一滴汗水都是机遇的滋润！题目80：计算公式中的格式错误已经被修正。题目7：删除了明显有问题的段落。题目40：根据计算公式，两种生产方式的效率有99%的把握存在差异。题目19：（1）根据题设，平面CMD垂直于平面ABCD，交线为CD。因为BC垂直于CD且平行于平面ABCD，所以BC垂直于平面CMD，即BC垂直于DM。又因为M为CD上异于C、D的点，且DC为直径，所以DM垂直于CM。又因为BCCM=C，所以DM垂直于平面BMC。由于DM平行于平面AMD，所以平面AMD垂直于平面BMC。（2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立三维直角坐标系D-xyz。当三棱锥M-ABC的体积最大时，M为CD的中点。根据题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，则AM=(-2,1,1)，AB=(0,2,0)，DA=(2,0,0)。设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量，则n·AM=0，即-2x+y+z=0；n·AB=0，即2y=0。所以可取n=(1,0,2)。DA是平面MCD的法向量，因此cosθ=n·DA/(|n||DA|)=5/25=0.2，sinθ=sqrt(1-cos^2θ)=sqrt(0.96)=0.9798。所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值为0.9798。题目20：（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则(y1-y2)/(x-x2)+y=4/3x+k，即3y-4x=k-3y1+4x1=2k-3y2+4x2。两式相减，并由x1-x2=4，y1+y2=1得到k=3/2。因为31<m<43，所以k<0。（2）由题意得F(1,0)，设P(x3,y3)，则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0)。由（1）及题设得x3=3-(x1+x2)，即x3=2。题目：已知点A（1，3），点B（2，2），点C（3，1），以及点P（x，y）在直线AB上，且FP的长度为√13，其中F为线段AC的中点。求线段FA、FB、FP的长度是否构成等差数列。解答：首先求出线段FP的长度。根据中点公式可得，F的坐标为（2，2）。因此，FP的长度为：|FP|=√[(x-2)²+(y-2)²]由题目可知，点P在直线AB上，因此直线FP的斜率为：m=-(y1+y2)/(x1+x2)=-2代入点F的坐标，可得直线FP的方程为：y=-2x+6将点P的坐标代入直线FP的方程，可得：m=3/(-x+6)解得x=7/3，y=-1。因此，|FP|=√13。接着，求出线段FA和FB的长度。根据勾股定理可得：|FA|=√[(x-1)²+(y-3)²]=√[(x-1)²+9]|FB|=√[(x-2)²+(y-2)²]=√[(x-2)²]由题目可知，|FA|、|FB|和|FP|是否构成等差数列。因此，有：2|FP|=|FA|+|FB|代入|FP|、|FA|和|FB|的表达式，可得：2√13=√[(x-1)²+9]+√[(x-2)²]将式子进行化简，可得：4(x-1)²-(x-2)²=52化简后得到一个关于x的二次方程，解得：x1=5/3，x2=7/3将x1和x2带回原式计算，可得：当x=5/3时，|FA|+|FB|≠2|FP|当x=7/3时，|FA|+|FB|=2|FP|因此，当且仅当x=7/3时，|FA|、|FB|和|FP|构成等差数列。1.给定函数$h(x)=\frac{1+x(2+x+ax^2)^2}{(x+1)(ax^2+x+2)^2}$，讨论其极值情况。当$6a+1>0$，$|x|<\min\{1,\frac{1}{\sqrt{|a|}}\}$时，$h'(x)>0$，所以$x$不是$h(x)$的极大值点。且当$6a+1<0$，$x\in(x_1,0)$，且$|x|<\min\{1,\frac{1}{\sqrt{|a|}}\}$时，$h'(x)<0$，所以$x$不是$h(x)$的极大值点。当$6a+1=0$时，$h'(x)=0$，所以$x\in(-1,0)$时$h'(x)>0$，$x\in(0,1)$时$h'(x)<0$。因此$x=0$是$h(x)$的极大值点，从而$x=0$是$f(x)$的极大值点。综上，$a=-\frac{1}{6}$。2.给定单位圆$x^2+y^2=1$和直线$y=kx-2$，讨论它们的交点情况。当$\alpha=\frac{\pi}{4}$时，与原点$O$交于两点。当$\alpha\neq\frac{\pi}{4}$时，记$\tan\alpha=k$，则直线的方程为$y=kx-2$。与$O$交点为$(\frac{2}{\sqrt{1+k^2}},\frac{2k}{\sqrt{1+k^2}})$和$(-\frac{2}{\sqrt{1+k^2}},-\frac{2k}{\sqrt{1+k^2}})$。解得$|k|<1$时，$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4})$或$\alpha\in(\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4})$。综上，$\alpha$的取值范围为$(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4})\cup(\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4})$。3.给定点$A(t\cos\alpha,-2+t\sin\alpha)$，其中$t$为参数，$\alpha\in(\frac{\pi}{2},2\pi)$，讨论点$A$的轨迹。设点$B$的坐标为$(t_1\cos\alpha,-2+t_1\sin\alpha)$，则点$P$的坐标为$(t_1\cos\alpha+t\c