2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高一（下）期中数学试卷（附答案详解）

2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高一(下)期中

数学试卷

一、单选题(本大题共10小题，共40.0分)

1.已知集合4={x|/=%},B={-1,0,1},则4nB=()

A.{1}B.{0,1}C.{-1,0}D.{-1,0,1)

2.设复数z满足2・(3-。=10。为虚数单位)，则团=()

A.3B.4C.V10D.10

3.若向量五=(2,3),E=(—1,2),则/小=()

A.—4B.—2C.2D.4

4.荏=反是四边形48CC构成平行四边形的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4=30。，B=45。，a=2b，

则b=()

A.V6B.V2C.V3D.2V6

6.若向量五=(1,一2),b=(3,-1).则与B共线的向量是()

A.(-1,1)B.(-3,-4)C.(-4,3)D.(2,-3)

7.在△ABC中，内角A,8,C所对的边分别为a",c,c?=a?+炉—百帅，则C=()

A.60°B.30°C.60°或120°D.120°

9.平面上点P与不共线三点A、B、C满足关系式：PA+PB+PC=AB，则下列结

论正确的是()

A.P在CA上，且方=2mB.P在AB上，且而=2而

C.P在8c上，且丽=2玩D.P点为AABC的重心

10.若钝角△力BC的内角A,8,C满足A+C=2B,且最大边长与最小边长的比值为相，

则机的取值范围是()

A.(1,2)B.(2,+8)C.[3,+8)D.(3,+8)

二、单空题(本大题共7小题，共36.0分)

11.已知cos(1—。)=|,3G(0,^),贝UsinO=；cosO-.

12.已知向量五=(%3),石=(4,6),若五〃石，则实数x的值为；若五1石,则实

数x的值为.

13.在A4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,h,c.若a=V7,b=2,A=60°,则

sinB=,c=.

14.已知向量五=(2,1),b=(-3,1).贝+;向量不在向量方的投影向量

是.

15.已知瓦，宅是单位向量，超=2瓦+可，而=-/+3可，而=4瓦-五，若A,

B,。三点共线，则实数2=.

16.已知向量五=(cos。,sin。)，b=(1,V3).则|23+B|的取值范围是.

17.南宋数学家秦九韶在儆学九章少中提出“三斜求积木”，即以小斜募，并大斜幕,

减中斜暴，余半之，自乘于上：以小斜寤乘大斜基，减上，余四约之，为实：一为

从隅.开平方得积.现设△ABC中，a,Ac分别为角A,B,C所对的边，S为面

积，则“三斜求积木”可用公式S=J；[c2a2-(立亭丽表示.

若a=3,且bcosC—ccosB=巴，则△ABC面积的最大值为______.

3

三、解答题(本大题共5小题，共74.0分)

18.已知向量汇=(1,一1),\b\=V2,且(2万+3)7=4.

(1)求向量4与石的夹角;

(2)求|五+方|的值.

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19.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且a2+非一c?=Bab,则:

(1)求角C；

(2)若a=b=2,求△ABC的面积.

20.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,h,c,且百asinB-bcosA=0.

(1)求角A的大小；

(2)若a=l,求—a的取值范围.

21.在三角形ABC中，AB=2,AC=1,4ACB=枭D

是线段BC上一点，且前=：反，F为线段48上

一点.

(1)若同=x而+y而，求x-y的值；

(2)求而•同的取值范围.

22.已知函数/(%)=/+2%氏一Q|—4x,其中

(1)当Q=1时，方程/(%)=5恰有三个根，求实数人的取值范围；

(2)若关于工的不等式/(%)>-1在区间百2］上恒成立，求实数。的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：■.A={0,1},B={-1,0,1},

二AnB={0,1}.

故选：B.

可求出集合A,然后进行交集的运算即可.

本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：由z•(3-i)=10得z=券=0靠：)=3+i,

贝U|z|=VTo.

故选：c.

根据复数的基本运算法则进行化简即可.

本题主要考查复数模长的计算，比较基础.

3.【答案】D

【解析】解：向量五=(2,3),b=(-1,2).

则五•b=-2+6=6

故选：D.

直接利用向量的数量积求解即可.

本题考查向量的数量积的运算，坐标运算，是基础题.

4.【答案】B

【解析】解：四边形ABC。构成平行四边形=荏=觉，

反之不一定成立，A,B,C,。四点可能共线，

AB=泥是四边形ABCD构成平行四边形的必要不充分条件，

故选：B.

利用平行四边形的判定定理、向量相等的性质即可判断出结论.

本题考查了平行四边形的判定定理、向量相等的性质，考查了推理能力与计算能力，属

于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：因为4=30。，B=45°,a=2百，

由正弦定理得，号=上，

sinAstnB

所以b=竺姓=巴理=2遍.

sinA-

2

故选：D.

由已知结合正弦定理即可直接求解.

本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：向量方=(1,—2),b=(3,—1),

则为+方=(4,一3)，

所以与五+B共线的向量是2(4,—3),其中;leR；

当；1=一1时，共线向量是(一4,3).

故选：C.

根据平面向量的坐标运算与共线定理，判断即可.

本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题.

7.【答案】B

【解析】解：cosC=吆匕=酗=更，

2ab2ab2

■■CG(0,TT),•1.C=30°,

故选：B.

利用余弦定理将方程变形得到a2+加一c2的表达式即可得到.

本题考查余弦定理的应用，考查余弦定理的变形问题，属于低档题.

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8.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性与函数值的特点是关键，属于中档题.

先判断函数的奇偶性，再利用/(兀)的符号确定选项.

【解答】

解：y—f(.x)—xcosx+sinx,

则f(-x)=—xcosx—sinx=—f(x),

・•・/(x)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C,D,

当x=兀时，y=/(7T)=rtcosit+sin;r=-n<0,故排除B,

故选：A.

9.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查向量加法的几何运算，向量共线的判断，属于基础题.

将成+两+正=四中的而移向，再化简整理得出而=2方即可求解.

【解答】解：将方+而+定=布移向得：~PA+PC=AB-^B,即：PA+PC=AB+

JP=AP，再移向得#=2万，而与同共线，P在CA上.

故选：A.

10.【答案】B

【解析】解：设三角形的三边从小到大依次为“，b,c,

因为4+C=2B,贝必l+B+C=3B=180。，故可得B=60。，

根据余弦定理得：cosB=S+J-竺_1,于是£(2=a2+c2-ac,

2ac2

因为△2BC为钝角三角形，故a?+炉一c2<0,于是2a2-ac<0,即5>2,

则m=(>2,即me(2,+8).

故选：B.

由题意首先求得的大小，然后结合余弦定理即可得到m的取值范围.

本题主要考查余弦定理及其应用，属于中等题.

11.【答案】II

【解析】解：因为COS6—。)=|,所以sine=|,

又。e(o,|),

所以cos。—V1—sin20-_4

一5

故答案为：

利用诱导公式以及同角三角函数关系求解即可.

本题考查了三角函数的求值问题，诱导公式以及同角三角函数关系的应用，考查了运算

能力，属于基础题.

12.【答案】23

【解析】解：向量五=(x,3),h=(4,6)，

若云〃3，则6x—3x4=0,解得x=2；

若五JL&，则4x-3x6=0,解得％=(

故答案为：2；

利用共线的坐标运算即可求解x的值；利用向量垂直，数量积为0即可求解x的值.

本题主要考查两个向量共线的性质，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能

力，属于基础题.

13.【答案】亨

3

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理、余弦定理，属于简单题.

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由正弦定理得上=二一，由此能求出sinB,由余弦定理得cos6（r=也上，由此能求

sm60°stnB2x2c

出C.

【解答】

解：•••在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

a=k，b=2,A=60°,

•••由正弦定理得：一、=白，即==二一，

sinAsinBsin600sinB

解得5讥8=草=叵.

V77

由余弦定理得：cos/1=b2+c2-a\即cos6（T=把匕，

2bc2x2c

解得c=3或c=一1（舍），

故答案为：叵；3.

7

14.【答案】遍-3b

【解析】解：•.・向量方=（2,1）,b=（-3,1），

a+b=（-1,2），

■.\a+b\=V（-l）2+22=V5，

二向量五在向量方的投影向量|弓I•cosd•奈=需，b==一沙

故答案为：V5;—］匕・

根据已知条件，运用向量模的计算公式和向量的投影公式，即可求解.

本题考查了向量的线性运算，向量的投影，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.

15.【答案】5

【解析】解：由已知可得前=配+方=（4一1）瓦*+2瓦,

因为A,B,。三点共线，则而=〃前，

即2前+与=可（；1-1）江+2可，所以｛；:,£一1），

解得4=5,

故答案为：5.

由已知求出向量80,然后利用三点共线建立关系式，即可求解.

本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到三点共线的问题，属于基础题.

16.【答案】[0,4]

【解析】解：•・,向量五={cosO,sinO）,b=（1,遮）,

・,・2五+方=（2cos94-1,2s讥8+遍），

=784-4y/3sin04-4cos0=+8sin(0+孑)，

当sin(。+》=-1时，|2方+石|取得最小值0,

当sin(0+》=l时，|2五+石|取得最大值4.

|2五+方|的取值范围是[0,4].

故答案为：[0,4].

根据向量苍=(cos0,sin。)，b=(l,V3)，求出|2五+B|,利用三角函数的图象与性质，

即可求出的|2五++的取值范围.

本题主要考查了向量的模和三角函数的图象与性质，考查了学生对三角函数基础知识的

综合运用，属于基础题.

17.【答案】?

【解析】••­bcosC-ccosB=

二由余弦定理知，b・贮勺—=至,

2ab2ac3

Va=3,

*2*29+/-匕2_空

：・b•9+b-c

6b6c-3

化简得，b=V3c»

...s=曲C2a2_/2+'；-振）2]=_卢产）2=1J-C4+18c2-y=

[誓_（C2_9）2,

当C2=9,即c=3时，s取得最大值些.

4

故答案为：越.

4

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利用余弦定理对已知等式进行化简，可得b=Bc，代入s中，将其转化为关于c的函

数，再根据二次函数的图象与性质，即可得解.

本题主要考查解三角形，还涉及利用二次函数解决最值问题，考查逻辑推理能力和运算

能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)由五=(1,—1)得|为|=V2,v|h|=V2,

且(28+b)•b=2五•b+b=2\a\\b\cos(a,b)+2=4cos(a,b)+2=4,

cos(a,b)=p向量五与石的夹角为60。.

(2)|a+K|=Jfa+b)*2=y/a2+2a-b+b

五|2+2\a\•|b|cos(a,K)+|6|2=V6-

【解析】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角以及向量的模的求法，考查计算能

力.

(1)利用向量的数量积的运算法则化简已知条件，转化求向量五与方的夹角；

(2)通过向量的模的运算法则转化求解|方+9|的值.

19.【答案】解：(1)由余弦定理知，cosC=老火士=缥=立，

2ab2ab2

•・,CE(0,71),

「n

•••C=6-

(2)va=h=2,

1-1-I

ABC的面积S=-absinC=-x2x2x-=l.

【解析1(1)由余弦定理求得cosC的值，即可得解；

(2)由S=gabsiziC,得解.

本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理和正弦的面积公式是解题的关键，考查逻辑推理

能力和运算能力，属于基础题.

20.【答案】解：(1)由正弦定理知，意=高，

vy/SasinB-bcosA=0,

Ay/3sinAsinB一sinBcosA=0,

---sinB^O,.：V3SmA-cosA=0,即「加4=鬻=菖，

vA6(0,7T),

・・・471

6

(2)由正弦定理知，目b

sinB?

1b

・•・前=痂，即b=2sinB,

6

・♦・2A/3/J-a=2V3-2sinB-1=4V3sinB-1，

vBG(0,^),AsinB6(0,1],

6

•，-2^36—a€(—1,4V3-1]•

【解析】(1)利用正弦定理将已知等式中的边化角，再由同角三角函数的商数关系，得

解；

(2)由正弦定理推出b=2sinB,再结合B€(0,法)，知sinB的取值范围，从而得解.

本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理、正弦函数的图象与性质是解

题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

21.【答案】解：⑴•••前=：玩，

.■.AD-AB=^(AC-AD),即|而=而+评，

.-.AD=-AB+-AC,

33

又而=%+y~ACy

21

•••x=-y=

39z3

x—y=-2--1=1

J333

(2)・••在△48C中,AB=2,AC=1,/-ACB=p

・•・Z.CAB=pBC=V3,

-FA=(CA+AFy~FA=CA-~FA-^-AF-

设I而I=%,由题意，%6[0,2],

CF-E4=\CA\\FA\cos^CAB一|行『="一’=一(％一了十卷,

第12页，共14页

又XE[0,2],

・•・一0-：）26[-3,勺,即赤•瓦5的取值范围为[-3,2].

41O1O1O

【解析】(1)由平面向量的线性运算可得而=