2020-2021学年省九年级（上）期末数学试卷及答案

2020-2021学年省九年级(上)期末数学试卷

一、选择题(本大题共7小题，共28.0分)

1.一元二次方程*2-3户0的解为()

A.%1—3,%2=3B.%1=3,%2=0

C.%1—3,%2=0D・%1=%2=3

2.下列事件中，是随机事件的是()

A.任意画一个三角形，其内角和是360°

B.任意抛一枚图钉，钉尖着地

C.通常加热到100。时，水沸腾

D.太阳从东方升起

3.二次函数片(尸1)2+2,它的图象顶点坐标是()

A.(-2,1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(1,2)

4.某医药厂两年前生产某种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，

现在生产1t该种药品的成本是3000元.设该种药品生产成本的年平均下降

率为x,则下列所列方程正确的是()

A.5000x2(1—%)=3000B.5000x(1-%)2=3000

C.5000X(1-2%)=3000D.5000x(1-%2)=3000

5.已知反比例函数尸£(4V0)的图象经过点4(7,%),8(2,卜2),C(3,

X

F3),则加P2,必的大小关系是()

A.%Vy3V71B.为<y2V7iC,71<y3<%D.

%vy2V%

6.如图，在6义6的正方形网格中，有6个点，M,N,0,P,0,

/?（除/?外其余5个点均为格点），以0为圆心，的为半径j

作圆，则在。0外的点是（）

A.M

B.N

C.P

D.R

7.若二次函数尸ax^+bv+c的图象与x轴交于力和8两点，顶点为C,且6?-4ac=4,

则N4C8的度数为（）

A.120°B.90°C,60°D,30°

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

8.已知反比例函数的图象过点（2,3）,则该函数的解析式为.

9.有长为3,4,5,6的四根细木条，从中任取三根为边组成三角形，则能构

成直角三角形的概率为.

10.抛物线*>2-4x不经过第象限

11.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，

各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？其

大意是：如图，一座正方形城池，4为北门中点，从点/往正北方向走30步

到8处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到。处正好看

到8处的树木，则正方形城池的边长为步.

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12.在平面直角坐标系中，点户关于原点及点（0,-1）的对称点分别为力，B,

则48的长为.

13.如图，在△48C中，AB-.4R7：3,N劭C的平分线交

BC于点E,过点8作力£的垂线段，垂足为D,则AE-.

ED=.

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

14解方程:V-2尸仁0.

四、解答题（本大题共7小题，共66.0分）

15.已知关于一元二次方程x?+（2府1）/加（府1）=0,试说明不论实数加取何

值，方程总有实数根

16.求证：相似三角形对应高的比等于相似比.（请根据题意画出图形，写出已

知，求证并证明）

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17.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压。(单

位:千帕)随气体体积单位：立方米)的变化而变化，Q随/的变化情

况如表所示.

P1.522.534・・・

I/644838.43224・・・

(1)写出一个符合表格数据的0关于1/的函数解析式

(2)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，依照(1)中的函数解

析式，基于安全考虑，气球的体积至少为多少立方米？

18.如图，△48。中，AB^AC,N劭R50°,P是8c边上一点，

将△48Q绕点力逆时针旋转50°,点"旋转后的对应点为P'.

(1)画出旋转后的三角形；

(2)连接欣'，若/劭々20°,求/%'C的度数；

19.盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋

试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀.重复进行这样的试验得到以

下数据：

摸棋的次数n1002003005008001000

摸到黑棋的次数加245176124201250

摸到黑棋的频率公(精确

n

0.2400.2550.2530.2480.2510.250

到0.001)

(1)根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是;(精确

到0.01)

(2)若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚

棋颜色不同的概率，并说明理由

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20.已知△48C,NAC卬9G,438信4,。是48的中点，户是平面上的一点，且

(2)当△8PC是等腰三角形时，求利的长；

(3)将点8绕点P顺时针旋转90°得到点8',连接力8',求48'的最大

值.

21.已知二次函数*W+b/](a>0,6V0)的图象与x轴只有一个公共点力

(1)当时，求点>4的坐标；

(2)过点力的直线*A+A与二次函数的图象相交于另一点8,当627时,

求点8的横坐标勿的取值范围

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】

解：x(x_3)=0,

x=0或x-3=0,

所以XFO,X2=3.

利用因式分解法解方程.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0,再把左

边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可

能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把

解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

2.【答案】B

【解析】

解：A、任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故本选项错误；

B、任意抛一枚图钉，钉尖着地是随机事件，故本选项正确；

C、通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件，故本选项错误；

D、太阳从东方升起是必然事件，故本选项错误；

故选：B.

根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断.

此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事

件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定

条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能

发生也可能不发生的事件.

3.【答案】D

【解析】

解：•抛物线解析式为y=(x-1)2+2,

...二次函数图象的顶点坐标是(1,2).

故选：D.

因为y=(x-1)2+2是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标.

根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大

(最小)值，增减性等.

4.【答案】B

【解析】

解：设这种药品的年平均下降率为X,

5000(1-x)2=3600.

故选：B.

若这种药品的年平均下降率为x,根据两年前生产1吨某药品的成本是5000元，

随着生产技术的进步，现在生产1吨药品的成本是3600元可列方程.

本题考查增长率问题，发生了两年变化，知道两年前为5000,两年后为3600,

设出下降率即可列出方程.

5.【答案】A

【解析】

解：Vy=-X,k<0,

.•.在每个象限内，y随x的增大而增大，图象在第二、四象限内，

•.•反比例函数(kVO)的图象经过点A(-1,),B(2,y),C(3,y),

Xyi23

.二A点在第二象限，w>0,B、C在第四象限，

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V2<3,

，y2Vy3Vo,

.*.y2<y3<yi,

故选：A.

根据反比例函数的性质得出在每个象限内，y随x的增大而增大，图象在第二、

四象限内，再比较即可.

本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关

键.

6.【答案】C

【解析】

解：:OQ=V<12+22=VZ5,OP=5/22+22=2x/2,0N=2,OR=\/l2+l^2=>/X25,0M=\/12+22=>/5,

.,.在。0外的点是P,

故选：C.

根据点与圆的位置关系即可求解.

本题考查了点与圆的位置关系：设。。的半径为r,点P到圆心的距离0P=d,则

有：点P在圆外od>r；点P在圆上od二r;点P在圆内odVr.

7.【答案】B

【解析】

解：令y-0则ax2+bx+c=0,

—b+2_-6-2

••Xi-X2-H，

b-4ac=4

，AC=\b_（±2升2+（」产*.

\2«'2a"'a'13

由抛物线的对称性可知BC=吗，

（I

.-.AC2+BC2=AB2,

ZACB=90°.

故选：B.

先求得点A、B、C的坐标，然后可求得AB、AC、BC的长，最后，依据勾股定理

的逆定理可证明ABAC为直角三角形.

本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，求得点A、B、C的坐标是解题的关键.

8.【答案】尸2

X

【解析】

解：设反比例函数解析式为y=*,

X

•.•反比例函数图象经过点（2,3）,

k=2X3=6,

反比例函数解析式为y=°,

X

故答案为y=".

X

首先设反比例函数解析式为y=-,再根据反比例函数图象上点的坐标特点可得

X

k=2X3=6,进而可得反比例函数解析式.

此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经

过的点，必能满足解析式.

9.【答案】:

4

【解析】

解：4条线段的全部组合有：3,4,5和3,4,6和3,5,6和4,5,6.能构

成直角三角形的是3,4,5一组，

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.,.P(构成三角三角形)二:,

故答案为：

列举出所有情况，看直角三角形的情况数占总情况数的多少即可.

本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握三角形三边间的关系、

勾股定理逆定理及概率公式的运用.

10.【答案】三

【解析】

解：抛物线y=x?-4x=(x-2)2-4,

可知：抛物线y=x2-4x不经过第三象限.

故答案为：三.

将抛物线的解析式变形为顶点式，即可得出结论.

本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的解析式解答是解题的关键.

11.【答案】300

【解析】

解：设正方形城池的边长为x步，则AE=CE=：x,

VAE/7CD,

，NBEA二NEDC,

，RtABEA^RtAEDC,

.AB_AE

,•EC~CDf।「一而，

••x—300,

即正方形城池的边长为300步.

故答案为300.

设正方形城池的边长为x步，则AE=CE=：x,证明RtZ^BEAsRt/XEDC,利用相似

30]

比得到二；二三，然后利用比例性质求出X即可.

21750

本题考查了相似三角形的应用：构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段

长.

12.【答案】2

【解析】

解：•点P关于原点及点(0,-1)的对称点分别为A,B,

1X2=2,

AAB的长为2.

故答案为：2.

根据关于原点对称的点的坐标特征，以及关于点的对称点的坐标特征，可得AB

的长相差2个单位长度，依此即可求解.

考查了关于原点对称的点的坐标，关于点的对称点，两个点关于原点对称时，

它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点。的对称点是P'(-x,-y).

13.【答案】3：2

【解析】

解：作CF_LAD于点F,如右图所示,

则ZAFC=ZADB,

VAD平分NBAC,

，ZBAD=ZCAF,

.,.△ABD^AACF,

.ABAD_BD

**正=#—港’

VAB：AC=7：3,BD：CF=7:3,

...AD：AF=7：3,

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VZCFE=ZBDE=90°,ZCEF=ZBED,

AACEF^ABED,

•FECF

**DE丽，

VCF:BD=3:7,

•FE3

^~DEI9

Ar•!FFQ

•••*=.备/AF+FE+DE=AD,

解得％=3

干“DE2'

故答案为：3:2.

根据题意作出合适的辅助线，然后利用相似三角形的判定和性质可以求得AE：

ED的比值.

本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问

题需要的条件，利用三角形相似的知识解答.

14.【答案】解：解法一：Va=1,廿-2,c=~1

b2-4ac=4-4X1X(-1)=8>0

.%_-b±V—2-4ac_2±V§_]+^2

■2a~2X1——

•*.=1+y/2,x2=1—V2:

解法二：(尸1)2=2

•'•x—1=+V2

=1+V2,x2=1—V2.

【解析】

先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解

皆可.

命题意图：考查学生解一元二次方程的能力，且方法多样，可灵活选择.本题

考查了解一元二次方程的方法，公式法适用于任何一元二次方程.方程

2

ax?+bx+c=O的解为土(b-4ac^0).

'2Ia,*

15.【答案】解：K1,廿2/1,。二勿(府1),

△=。2-4衿(2/771-1)2-4X1X/77(研1),

=4/77+4/77^1-4/W-4/77,

=1>0,

不论实数加取何值，方程总有实数根.

【解析】

根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=>(),由此即可得出：不论实数

m取何值，方程总有实数根.

本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解

题的关键.

16.【答案】已知：△480s△彳B'C,相似比为k,4?是△48C的高，A'D'

是△/'甘C的高,

求证：加

证明:

,：/\ABC^/\A'B'C,

六N成N8‘，

•:AD是/\ABC的高,A'D'是△/'夕C的高,

：.ZADB^AA'D'B'=90°,

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:,XABD^XBfDf,

ADAB

•--------=---------k

A/D7A，,

【解析】

先根据题意画出图形，写出已知，求证，再证明即可.

本题考查了相似三角形的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的

关键.

17.【答案】吟

【解析】

解：(1)由表格中数据可得PV=96,

则P工厂V；

故答案为：p二:；

V

(2)由P=144时，V二:，

...PW144时，V2；,

当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积至

少为:立方米.

(D设p与v的函数的解析式为p=3利用待定系数法求函数解析式即可；

\

9

(2)由p=144时，V=；,所以可知当气球内的气压>144千帕时，气球将爆炸，

为了安全起见，气球的体积应不小于二立方米.

<5

此题主要考查了反比例函数的应用.解题的关键是根据实际意义列出函数关系

式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式.会

用不等式解决实际问题.

18.【答案】解：(1)旋转后的三角形力在’如图所示:

(2)由旋转可得，N2W=N84R50°,AP^AP,,△48侬,

:.NAPP':NAP'片65°,/AP,O4APB,

•/N劭350°,AB^AC,

：.Z5=65°,

又：/劭丘20°,

:.NAP/95";NAP'C,

：.APP'OAAP'C-ZAP'^95°-65°=30°.

【解析】

(1)将4ABP绕点A逆时针旋转50°,点P旋转后的对应点为P',据此可得

旋转后的三角形；

(2)依据旋转的性质,即可得到NPAP'二NBAC=50°,AP=AP',AABP^AACP*,

再根据等腰三角形的性质，即可得到NB的度数以及NAP'P=65°、NAPB=95°二

ZAP'C,最后依据NPP'C二NAP'C-NAP'P进行计算即可.

此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质的运用，利用图形旋转前后

对应线段以及对应角相等得出NAP'C的度数是解题关键.

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19.【答案】0.25

【解析】

解：(1)根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是0.25,

故答案为:0.25;

(2)由(1)可知，黑棋的个数为4X0.25=1,则白棋子的个数为3,

画树状图如下：

黑白白白

AA/NA

白白白黑白白黑白白黑白白

由表可知，所有等可能结果共有12种情况，

其中这两枚棋颜色不同的有6种结果，

所以这两枚棋颜色不同的概率为

(1)大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解；

(2)画树状图列出所有等可能结果，再找到符合条件的结果数，根据概率公式

求解可得.

本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个

事件发生的频率能估计概率.

20.【答案】解：(1)如图1中，连接CD.

在生△48C中，N4密90。,A3834,

，A%AC?+Bf2=4&

・:AD=^DB,

:.C吟A*2aCDLAB,

在Rt/\CDP中，PC^ylPD2+CD2=3.

(2)如图2中,•:DP<,

.•.点户在以点。为圆心的。。上.

CD^DB,

:.P、。都在线段8c的垂直平分线上，设直线。户交8c于E

：.NPEO90°,BE=CF2,

'：N3/90°,

：.D^-BC=C^2,

在Rt/\PCE中,PC=y/EC2+PE2,

当户在线段勿上时，PFDIDkl,^Vl2+22=V5,

当户在线段口的延长线上时，PaEND匕3,PC=^J32+22=V13.

②当POBC时，：PC<CD+PD=2V2+1<BC,

：.PC^BC,此种情形不存在；

③当PABC时，同理这种情形不存在；

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如图3中

A

(3)如图4中，连接88'.

图4

由旋转可知：PB^PB',4BPB'=90°,

•.4PBB'=45°,

\BB'=42PB,

：AOBC,4ACA90°,

•.48345°,

/ABONPBB',

/ABB'=ZCBP,

.•吗*2

BC4

.BA_BB'

.BCPB

.BABC

*BB'—pB'

’.△ABB's〉CBP,

・••”伉

PC^C分候2立+1,

.•.点户落在C。的延长线与。，的交点处，外的值最大,

:.AB'W或(2V2+1)=4+72.

：.AB'的最大值为4+夜.

【解析】

(1)如图1中，连接CD.解直角