不确定性结构的可靠度分析

不确定性结构的可靠度分析摘要：结构可靠度已经在一些结构设计和评价的领域得到应用，而基于目前的理论，依旧不能对结构的主观不确定性进行准确恰当的进行评估。本文引入不确定性理论来对结构的主观不确定性进行评估，开发一种特定方程用于测量结构中的并联系统，并给出两个数值实例，即一个空间桁架结构和一个连续梁结构。关键词：不确定性理论；不确定测度；结构可靠度1、引言可靠度通常是用来分析结构模型的不确定因素对分析结果的影响。结构的设计应该使初始建设成本和预期破坏损失之和达到最小，这个思想很早就已经提出，但那时没有可用的结构失效概率计算方法。1947年，弗赖登塔尔奠定了结构可靠度理论的基础。1969年,康奈尔定义了一个结构可靠度指标，即结构功能的平均值和标准差的比值，并将可靠指标作为结构的统一标准进行安全评估。他建立了结构的“二阶矩模型”安全度”。从那之后，结构可靠度理论步入实用阶段。Hasofer和Lind在1974年提出了一种可靠度指标的新的定义。它被定义为在一个标准正态空间内，原点到极限状态面的最短距离，并将原点到曲线的垂足设置为检查点。它解决了这样的问题，即不同形式的等效函数将会导致不同的可靠指标。对概率因素的考虑主要集中于自然灾害和结构可靠度分析的风险分析上。此外，有许多文献都对非概率结构可靠度进行了研究。对于非概率模型数据要求相对较低。为了解决准确定义概率模型的数据缺乏，对于可靠度计算而言，非概率可靠度方法是一个更好的选择。有时工程师或设计师只是受主观约束所限，这意味着，为了确定事物的真实状态以及数据关系，可用的信息是不够的。一些研究人员提出将其当作模糊变量。但在许多非概率情况下，模糊变量不太适合。到目前为止，依然没有一个合适的方法来评估其效果。工程师们倾向于手动调整数据或者相信有经验的专家。基于常态,二元性，次可加性和乘积公理的不确定性理论，在2007年由Liu创立，并在2010年由Liu优化。它是模型管理不确定因素数学的一个分支。这个理论是专门为了应对主观不确定性而创立的。不确定性理论已经成为处理不完整信息下的各种问题的一种强大数学工具，例如不确定性控制，不确定性微分方程，以及不确定性编程,等。作为扩展，Liu对冗余系统的不确定性可靠寿命分析进行了研究，并且Zeng,Wen和Kang提出了一种产品可靠度指标。本文是研究不确定性理论框架内的一些结构可靠度问题，并对一些不确定性结构分析的可能应用进行讨论。基于这个的目的，本文组织如下。第二部分回顾了关于不确定性理论的一些基本概念和性质。在第三部分，对于不确定性理论下的结构分析中可能应用的例子进行了讨论。在论文的结尾，给出了对于本文的一个简短总结。2、不确定性理论在本节中，提出了一些不确定性理论的基本概，如不确定性测量，不确定变量，不确定性分布，不确定预期值以及不确定性可靠度。2.1不确定性测量定义2.1。（Liu）设r为非空集合。「的子集合的一个集合L是一个b-无穷代数。o-无穷代数L中的每一个元素A称为一个事件。如果关于L的函数M服从：M{厂}=1;对于每一个事件A有M{A}+M{Ac}二1；对于事件{A}的每一个可算序列，有M{UA}<2LM{A}iiiTi=1由此，m是一个不确定测度，(rL,M)是一个不确定空间。既然我们有了不确定变量和不确定测度的定义，我们必须考虑乘积测度和不确定算法。2009年，Liu提出了乘法公理。设厂为非空集，由此M成为不确定测度。K=l,2,…n。kk由此，乘积不确定测度M是一种基于b-代数LxLx...xL乘积的不确定测度，满足：12nM{UUA}=艺M{A}i=1'.ii=1°i=1为了描述不确定现象，Liu给出了不确定变量的定义。定义2.2。(Liu)—个不确定变量是从一个不确定空间(厂，L，M)到实数集的一个可测量函数E。对于任何波莱尔实数集，集合TOC\o"1-5"\h\z1(B)={Yer|^()eB}⑴是一个事件。定义2.3。(Liu)不确定变量EE，…,E是独立的，只要满足：12mM{®{©eB}}=AM{©eB}(2)t=1°ii=1°i对于任何波莱尔实数集合族B,B，…,B12m2007年，为了描述不确定变量，Liu提出了不确定性分布的概念。之后在2009年Peng&Iwamura提出了不确定性分布的充分必要条件。定义2.4。一个不确定变量©的不确定性分布①通过下式定义：3)①(x)=M{©<x}对任意实数x3)，包含相互独立的不确定性分布定理2.1。定义©,©,...,©为独立的不确定变量如果函数f(X,x,...,x)对于x,x,...,x是严格意义上的增函数，对于x,x,...,x是，包含相互独立的不确定性分布TOC\o"1-5"\h\z12n12mm+1m+2n严格意义上的减函数，则：©=f(©,...,©,©...,©)1mm+1n是一个含有不确定性逆分布的不确定变量：屮-1(a)=f(屮-1(a),...,屮-1(a),屮-1(1-a),...,屮-1(1—a))

1mm+1n定义2.5。定义©为一个不确定的变量。则©的的期望值为：E(©)=M{©>y}dYM{©<Y}dY00可知两个积分中至少有一个是有限积分。定理2.2。定义E为一个包含不确定性分布①的不确定变量。如果期望值存在，则:①dxx5)E(g)=卜(1—0(x))dx①dxx5)0一82.2确定可靠性分析在2010年，Liu通过不确定性理论，提出了将不确定性可靠度分析作为一种工具来处理系统可靠性。可靠性指数被定义为系统工作的不确定测度。定义2.6。假设一个系统包含不确定性变量g,gg，且仅当R(g,gg)>0时12n12n成立。则可靠度指数即为:可靠度=M{R(g,g,...,g)>0}12n定理2.3。假设g,gg是分别包含不确定分布①,①，…,①的独立不确定性变量,12n12n且R(x,x,...,x)对于x,x,...,x是严格意义上的增函数，对于x,x,...,x是严格意TOC\o"1-5"\h\z12n12=/9m99、小m+1m+2n义上的减函数，如果当且仅当R(g,g,...,g)>0时能成立，则可靠度指数为：可靠度=a2"a是下面所列方程的根：R(Q-1(l—a),...,屮-1(l—a),屮一1(a),...,屮—1(a))二0⑹1mm+1n2.3不确定性结构的可靠度分析结构可靠度指数被定义为阻力大于负载的不确定测度。根据结构可靠度指数的意义可知，指数由电阻和负载决定。对于每一根杆，如果有一根失效，那么我们就说结构失效了。现在，一些基本结构可靠度指数的定理给出如下。假设一个结构包含不确定变量g,g,...,g，当且仅当R(g,g,...,g)>0时能够运12n12n行，其中R是结构的功能函数，g1,g2，…,gn是结构的基本变量，包括不同负载的影响、材料参数、几何参数等。定理2.4。结构如图1所示。对象的重力是一个不确定变量，分布为屮。每根杆的抗性分别为P,P,...,P，各自分布分别为①，①,...,①。结构的抗力为V。则可靠度指数为：TOC\o"1-5"\h\z12n12na二aAaA...Aa(7)12n其中a,a,...,a分别是下列方程的根：12n①-1(a)二屮-1(l—a),①-1(a)二屮-1(l—a),①-1(a)二屮-1(l—a),(8)111222nnn证明。结构的抵抗力卩为BABA...AB，每根杆的荷载为V。所以结构的功能函数可12n以表示为：R(B,B,...,B,v)二BABA...AB—v12n12n当且仅当R>0时成立。则可到度指数a是下面方程的根：①-1(l—a)A①-1(l—a)A...A①-1(l—a)二屮-1(a)12n令a为下面方程的根：i①-i(l—a)二屮-i(a)i=1,2,3,…,niii则结构的可靠度指标一定是这些杆其中之一的可靠度指数。这意味着存在i,1<i<n，满足，可知①-i(l—a)二屮—i(a)。根据可靠度的ii性质，D-1和屮-1都是增函数。可靠度指数a是每杆可靠度指数中的最小值，即a=aAaA...Aa12n显然，只用上面的一系列理论来进行分析是不够的。我们必须接触另一种类型的结构，即平行结构。平行结构不同于其他平行系统。它在已存在结构和其他领域的分析中，可能有更多的应用。定理2.5。结构如图2所示。所有杆系均可以在塑性阶段下工作。物体的重力是一个不确定变量v,其分布为屮。每根杆的抗性为P,P，…，P，分布分别为屮,屮，…,屮12n12n结构的抗性为卩。系统的可靠度指数a为下面方程的根：工①—i(a)—屮—i(1—a)=0(9)ii=1证明。材料在塑料棒的阶段，意味着其应变和应力不再是线性的。它将导致每根杆的应力分布，无法通过应力分析以及每根杆的可靠度来获得。当一根杆达到荷载极限，应力不变而应变不断增加。因此，这种结构的极限状态，意味着所有的杆同时达到极限状态。杆的抗力为p,P,...,P，所以系统的总抵抗力为p+P+...+P。可以推断出这个系统的功能函12n12n数R(p,p,...,p,v)为：12nR=工P—v<0ii=1当且仅当R>0时，系统能够运行。根据(6),系统的可靠度指数a可被表示为下面方程的根：工①—1(a)—¥—1(1—a)=0ii=13、数值实例结构设计是基于结构的极限状态。所谓的结构极限状态的定义是：如果整个结构或结构的一部分超过某一特定状态，结构不符合特定功能设计规则的要求，那么这个特定状态称为极限状态。在结构设计中，应考虑所有相应的极限状态，以确保结构足够的安全性、耐久性和适用性。对于一个特定结构系统，特定结构力学工具足以分析结构的应力状态。但事实上，即使在特定结构风格的情况下，结构的应力或者抗力并非相像那般为定量。需要考虑和评估其不确定性。例3.1。结构如图3所示。所有的连接均为铰接。方形网格的边长是5米，高2.5米。每根杆的刚度EA=105kN。系统的外力是不确定力v,方向垂直向下，分布为°。杆的抗力为P,P,...,P，分布分别为屮,屮,...,屮。结构的抗力为卩。为了方便讨论，假设分129129布屮为线性不确定分布L(a,b)，i=1,2,...,9；并且①是一个线性不确定分布L(a,b)iii00这种样式的结构作为一个单独的元素，广泛应用于网格结构和网壳结构。设杆i的内力为T,利用结构力学知识可推导出：iT=—0.3537V,二T二0.433v,可表示为T=t・v,i=1,2,…,9。每根杆的失效模式为0—T<0,且每根杆的可靠度为下iiii面方程的根：屮-i（l—a）二t•①-i（a）

iiii根据定理2.4，可知：a=aAaA...AaTOC\o"1-5"\h\zl29然后根据线性分布的计算规则，a=a=a=al234b—0.354a=0vi0a1=0.900,（b一a）+0.354（b一a）1100a=a=a=a5678b—0.433a=0v60a1=0.833,（b一a）+0.433（b一a）6600b—aa—0v-9一0a1—0.875.9（b一a）+（b一a）9900因此，图3.1中所示结构的可靠度指数为：TOC\o"1-5"\h\za=aAaA...Aa二0.833l29例3.2。结构如图4所示。节点1、3、5为铰接，联合7为固结。表中给出了每根杆的长度，L=2m。外力q是垂直向下的不确定力v,分布为(节点处玩具为M,M，…,M.l27由于节点1可自由转动，M=0。极限抗力的其他分布分别为屮,屮,...,屮。为方便讨l237论，假定分布屮(i=2,3,…,7)为线性不确定分布L(a,b),i=2,3,…,7；O是线性不确定iii分布L(a,b)。00基于结构力学，推断出连续梁在同一方向加载下，只能在每个跨度单独破坏，而不是整体破坏。因此这个连续梁在每个跨度只有3种不同极限状态。这个例子展示了串联和并联系统组合的工作方式。在每个跨度上，极限状态可视作为一个并联系统，整体视作一个串联系统。在第一跨，根据虚功原理，可知：ql\=M—+2M—30.5l20.5l1010)则：R二2M+4M—ql2>0.132同样，在第二跨和第三跨，R二4M+8M+2M—ql2>0.23458168R=-M+—M+-M—ql2>0.395969711)12)然后，根据定理2.4和2.5，跨的可靠度为AaAa,汎,a,a分别是下面方程123123的根：4屮-i(l—a)+2屮-i(l—a)—①-i(a)二0,2131113)4屮-i(l—a)+8屮-i(l—a)+2屮-i(l—a)—①-i(a)二0,3242522-l6--屮-l(l—a)+—屮-l(l—a)+-屮-l(l—a)—①-l(a)二0953963973314)15)根据不确定变量的运行规律，可知：6b—4a—20a=2l6(b一a)+4(b一a)2200=0.857l,4b+8b+4b一4aa=345024(b一a)+8(b一a)+4(b一a)+4(b一a)33445500=