命题 全国优质课一等奖

第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题[目标导航]课标要求1.理解命题的概念,能判断给定语句是否为命题.2.掌握命题的构成,能把命题改写成“若p,则q”的形式.3.能判断一些简单命题的真假.素养达成通过对命题的概念、结构、真假的学习,逐步提升学生的数学抽象、逻辑推理等数学核心素养.新知导学课堂探究新知导学·素养养成判断真假真假条件结论思考1:数学中的定义、公理、定理、推论是命题吗?是真命题吗?答案:是命题,并且是真命题.思考2:将含有大前提的命题改写成“若p,则q”的形式,大前提如何处理?答案:保持不变.名师点津(1)判断命题的真假,一定要全面分析命题中相关条件与结论,用相关的定义、公理、定理、性质等进行判断.(2)一个命题要么是真、要么是假,不能既真又假,也不能模棱两可无法判断真假.题型一课堂探究·素养提升命题的概念[例1]判断下列语句中,哪些是命题?并说明理由.解:(1)是陈述句,且能判断真假,是命题.(2)当x∈R时,3x2-2x与1的大小关系不确定,无法判断其真假,不是命题.(3)不是陈述句,不是命题.(2)3x2-2x>1;(3)在平面上作一个半径为4的圆;(4)若sinα=cosα,则α=45°;(5)5100是一个大数;(6)垂直于同一个平面的两条直线一定平行吗?(7)若x∈R,则x2+2>0.解:(4)是陈述句,且能判断真假,是命题.(5)是陈述句,但是“大数”的标准不确定,所以无法判断其真假,不是命题.(6)不是陈述句,不是命题.(7)是陈述句,且能判断真假,是命题.方法技巧判断语句是否是命题的策略(1)命题是可以判断真假的陈述句,因此,一般疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.(2)对于含变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断其真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题.即时训练1-1:下列语句中是命题的有

.(填序号)

①一个分数不是正分数就是负分数;②0是自然数吗?③22022是一个很大的数;④4是集合{2,3,4}的元素;⑤作△ABC≌△A′B′C′.解析:②是一般疑问句,不是命题;③是陈述句,但“很大”无法说明到底多大,不能判断真假,不是命题;⑤是祈使句,不是命题.①④是可以判断真假的陈述句,是命题.答案:①④[备用例1]“红豆生南国,春来发几枝?愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》诗,在这四句诗中,可以作为命题的是(

)(A)红豆生南国 (B)春来发几枝(C)愿君多采撷 (D)此物最相思解析:“红豆生南国”是陈述句,所述事件在唐代是事实,所以本句是命题,且是真命题;“春来发几枝”是一般疑问句,“愿君多采撷”是祈使句,“此物最相思”是感叹句,都不是命题,故选A.题型二命题真假的判断[例2]判断下列命题的真假:(1)已知a,b,c,d∈R,若a≠c,b≠d,则a+b≠c+d;(2)若x∈N,则x3>x2成立;(3)若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根;(4)存在一个三角形没有外接圆.解:(1)假命题.反例:1≠4,5≠2,而1+5=4+2.(2)假命题.反例:当x=0时,x3>x2不成立.(3)真命题.因为m>1,所以Δ=4-4m<0,所以方程x2-2x+m=0无实数根.(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆,即任何三角形都有外接圆.方法技巧命题真假的判断方法(1)分清命题的条件和结论,是对命题进行真假判断的关键;(2)判断一个命题是假命题,只需要举一个反例即可,判断一个命题为真命题,需经过严格的推理论证,在判断时,要有推理依据.数学中的定义、定理、公理和公式都是真命题.即时训练2-1:下列命题中,是真命题的是(

)(A)若a3+b3=0,则a2+b2=0(B)若a>b,则ac>bc(C)若M∩N=M,则N⊆M(D)若M⊆N,则M∩N=M解析:A.取a=1,b=-1,则a2+b2≠0,A不成立;B.c≤0时,不成立;C.M∩N=M,则M⊆N,C不成立;D成立.故选D.[备用例2]下列命题正确的是(

)(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行(C)若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行解析:A中这两条直线可平行、异面、相交,选项A错;B中,经过这三个点的平面与这个平面可相交,选项B不正确;对于C,如图,平面α∩β=b,a∥α,a∥β,过直线a作平面ε∩α=c,过直线a作平面γ∩β=d,因为a∥α,所以a∥c.因为a∥β,所以a∥d,所以d∥c,因为c⊂α,d⊄α,所以d∥α.又因为d⊂β,α∩β=b,所以d∥b,所以a∥b,选项C正确;若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,选项D不正确.故选C.题型三命题的结构形式[例3]把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假,且指出p和q分别指什么.(1)乘积为1的两个实数互为倒数;(2)奇函数的图象关于原点对称;(3)与同一直线平行的两个平面平行.解:(1)“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”,它是真命题.p:两个实数乘积为1;q:这两个实数互为倒数.(2)“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”.它是真命题.p:一个函数为奇函数;q:这个函数的图象关于原点对称.(3)“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行”.它是假命题,这两个平面也可能相交.p:两个平面与同一条直线平行;q:这两个平面平行.方法技巧(1)对命题改写时,一定要找准命题的条件和结论,有些命题的形式比较简洁,条件和结论不明显,写命题的条件和结论时需要适当加以补充,例如命题“对顶角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角”,结论为“这两个角相等”.(2)在对命题改写时,要注意所叙述的条件和结论的完整性,有些命题中,还要注意大前提的写法,例如命题“在△ABC中,若a>b,则A>B”中,大前提“在△ABC中”是必不可少的.即时训练3-1:将命题“平行于同一平面的两条直线平行”改写成“若p,则q”的形式为

,且为

(填“真”或“假”)命题.解析:命题可改写为若两条直线平行于同一平面,则它们互相平行.因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面,所以是假命题.答案:若两条直线平行于同一平面,则它们互相平行假[备用例3]指出下列命题中的条件p和结论q,并判断各命题的真假.(1)若四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分;(2)若a>0,b>0,则a+b>0;(3)两个面积相等的三角形是全等三角形.解:(1)条件p:四边形是平行四边形,结论q:四边形的对角线互相平分.真命题.(2)条件p:a>0,b>0,结论q:a+b>0.真命题.(3)条件p:两个三角形面积相等,结论q:它们是全等三角形.假命题.题型四根据命题真假求参数范围[例4]已知集合A={x|x2<2},若a∈A是真命题,则a的取值范围是(

)方法技巧(1)已知命题的真假求参数的取值范围,应根据题意建立相应的不等式或方程求解.解题时要善于寻找解题思路,运用性质、定理等条件.(2)命题的条件或结论是集合形式的,可将集合化到最简时再求解.即时训练4-1:“若x2-2x-8<0,则p”为真命题,那么p是(

)(A)-2<x<4 (B)-4<x<2(C)x>4或x<-2 (D)x>4或x<2解析:由x2-2x-8<0解得-2<x<4,所以p是“-2<x<4”,故选A.经验分享区一般地,若已知命题是假命题,则命题的“对立面”就是真命题.如:①“方程F(x)=0无解”为假命题,则表明“方程F(x)=0有解”为真命题.②“函数y=logax(a>0,a≠1)是增函数”是假命题.因为函数y=logax(a>0,a≠1)的单调性只有两种情况:增函数或减函数,所以“y=logax(a>0,a≠1)是减函数”就是真命题,即可得出0<a<1.课堂达标解析:①②③是命题,④中x>2无法判断真假,⑤是感叹句,所以④⑤不是命题.1.下列语句是命题的是(

)①三角形的内角和等于180°;②2>3;③偶数是自然数;④x>2;⑤这座山真险啊!(A)①②③ (B)①③④ (C)①②⑤ (D)②③⑤A2.下列命题中,是真命题的是(

)D解析:可以通过举反例的方法说明选项A,B,C为假命题.故选D.解析:①中当m=0时,是一元一次方程;②中当Δ=4+4a<0时,抛物线与x轴无交点;③是正确的;④中空集不是本身的真子集.故选A.3.下列命题中真命题有(

)①mx2+2x-1=0是一元二次方程;②抛物线y=ax2+2x-1与x轴至少有一个交点;③互相包含的两个集合相等;④空集是任何集合的真子集.(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个A答案:④解:(1)若一个多边形是正n边形(n≥