人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习

人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习本教案旨在帮助学生掌握高中数学中重要的等式性质与不等式性质，这是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用。同时，等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫。教学目标包括掌握等式性质与不等式性质及其推论，能够运用其解决简单的问题，进一步掌握比较法比较实数的大小，以及通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。教学重点是掌握不等式性质及其应用，难点则是不等式性质的应用。为此，我们采用以学生为主体的诱思探究式教学，精讲多练的教学方法，借助多媒体等教学工具，引导学生独立思考、小组讨论，充分发挥学生的主动性和创造性。在教学过程中，我们通过情景导入，引导学生观察和思考现实生活中的相等关系和不等关系；通过预习课本，引入新课，让学生自主思考和探究不等式的基本性质、比较多项式大小的方法以及重要不等式等内容；通过典例分析和举一反三，帮助学生更好地应用不等式性质解决实际问题。最后，我们希望通过本教案的教学，能够培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析和数学建模等方面的素养，提高学生的数学思维水平和解决实际问题的能力。已知2<a<3，-2<b<-1，要求2a+b的取值范围。首先，可以将2a+b拆开，得到2a+b<6-2=4，即2a+b的上界为4。然后，将2a+b拆开，得到2a+b>2×2+(-1)=3，即2a+b的下界为3。因此，2a+b的取值范围为3<2a+b<4。“基本不等式”是必修1的重要内容。它是在学习不等关系和不等式性质，掌握不等式性质的基础上对不等式的进一步研究。同时，它也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用。利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。教学目标：【知识与技能】1.推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。2.掌握基本不等式ab≤(a+b)/2的应用，解决一些简单的实际问题。【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式。【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。教学重难点：【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab≤(a+b)/2的过程。【教学难点】掌握基本不等式ab≤(a+b)/2的证明；会应用此不等式求某些函数的最值；能够从不等式的性质推导出基本不等式ab≤(a+b)/2。教学过程：1.课题导入我们通过完全平方公式得出了一类重要不等式：a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立。特别地，如果a>0，b>0，我们用√𝑎,√𝑏分别代替上式中的a，b，可得√𝑎𝑏≤(𝑎+𝑏)/2，当且仅当a=b时，等号成立。通常称不等式（1）为基本不等式。其中，正数a，b的算术平均数，√𝑎𝑏叫做正数a，b的几何平均数。基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。我们可以通过考察a2+b2=2ab的特殊情形获得基本不等式，也可以通过不等式的性质推导出基本不等式。2.讲授新课1）类比弦图几何图形的面积关系认识基本不等式ab≤(a+b)/2。特别地，如果a＞0,b＞0,我们用分别代替a、b，可得a+b≥2ab，即a+b/2≥√ab，从而得到ab≤(a+b)/2。2）从不等式的性质推导基本不等式ab≤(a+b)/2。我们要证明a+b/2≥ab，只要证明a+b≥2ab即可。要证明(2)，只需要证明a+b>=2√ab。而要证明(3)，只需要证明-2<=a-b<=2。显然，(4)成立当且仅当a=b。在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。我们可以利用几何图形得出基本不等式ab≤(a+b)/2的几何解释。易证△ACD∽△DCB，那么CD^2=CA·CB，即CD=ab。这个圆的半径为(a+b)/2，显然，它大于或等于CD，即(a+b)/2>=ab，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立。因此，基本不等式ab≤(a+b)/2的几何意义是“半径不小于半弦”。在数学中，我们称(a+b)/2为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数。基本不等式还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。例1已知x>0，求x+1/x的最小值。我们可以利用基本不等式，得到x+1/x>=2，当且仅当x=1时，等号成立。因此，所求的最小值为2。例2已知x，y都是正数，证明：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2√P；（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S^2/4。因为x，y都是正数，所以(x+y)/2>=√xy。当x=y时，(x+y)/2=√xy，即x+y=2√P。因此，(1)成立。同理可得，当x=y时，xy的最大值为S^2/4，即(2)成立。当且仅当x=y时，上式等号成立，因此当x=y时，和x+y有最小值2√𝑃.又因为和x+y等于定值S时，√𝑥𝑦≤2,𝑆，所以𝑥𝑦≤𝑆2/4。当且仅当x=y时，上式等号成立，因此当x=y时，积xy有最大值𝑆2/4。例3（1）：要围成一个面积为100m2的矩形菜园，边长为10m时所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m。（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，边长为9m时菜园的面积最大，最大面积是81m2。问题转化为：（1）矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短；（2）矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大。例4：要建造一个容积为4800m3，深为3m的长方体形无盖贮水池，池底的边长为x，池壁每平方米的造价为120元，池底每平方米的造价为150元。设池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为z。根据题意，有z=150×4800+120（2×3x+2×3y）/3=240000+720（x+y）。由容积为4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600。所以z≥240000+720×2√𝑥𝑦。当x=y=40时，上式等号成立，此时z=297600，即当池底的边长为40m时，水池的总造价最低，最低总造价为297600元。根据贮水池的设计要求，我们可以得出当池底设计成边长为40米的正方形时，总造价最低，最低总造价为297600元。在本节课中，我们学习了重要的不等式a2+b2≥2ab，以及两个正数a、b的算术平均数（a+b/2）和几何平均数（√ab）及它们之间的关系（a+b/2≥√ab）。这些不等式不仅是不等式变形的基本工具，还是求函数最值的重要工具。下一节课我们将学习它们的应用。我们还可以使用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤a2+b2/2，ab≤(a+b/2)2。在本节课中，我们也学习了二次函数、一元二次方程和一元二次不等式。这三个“二次”问题是高中数学的重要内容，它们之间具有丰富的内涵和密切的联系。我们的目标是帮助学生理解它们之间的区别和联系，并掌握函数、方程和不等式的思想和方法。通过探索和练习，我们希望学生能够运用二次函数及其图像、性质解决实际问题，并进一步培养学生的综合解题能力。1、已知关于x的一元二次不等式k(x-2)(x-3)≥0恒成立，求k的取值范围.2、若ax2+bx+c>0恒成立，且a>0，求b与c之间的关系.【答案】（1）k≤0或k≥1（2）b2<4ac【解析】（1）由于不等式恒成立，即二次函数图像在区间[2,3]上全部在x轴上方或者全部在x轴下方，因此二次函数的两根都在区间[2,3]之外，即x<2或x>3，所以（x-2)(x-3)的符号必须与k的符号相同，即k≤0或k≥1.（2）因为ax2+bx+c>0恒成立，所以二次函数的图像在x轴上方，即∆<0，即b2-4ac<0，解得b2<4ac，故b与c之间满足b2<4ac的关系.1.已知不等式$x^2-x-a>0$的解集为$\{x|x>3\text{或}x<-2\}$，则实数$a=$$\underline{\hspace{1cm}}$。答案：6解析：由题意可知$-2$，$3$为方程$x^2-x-a=0$的两根，则$-2\times3=-a$，即$a=6$。故答案为：6。2.对任意实数$x$，不等式$(a-3)x^2-2(a-3)x-6<0$恒成立，则实数$a$的取值范围是$\underline{\hspace{1cm}}$。答案：$-3<a<3$解析：①当$a-3=0$，即$a=3$时，不等式为$-6<0$，恒成立，则$a=3$满足题意。②当$a-3\neq0$，即$a\neq3$时，不等式恒成立则需：$$2\Delta=4(a-3)-4(a-3)\times(-6)<0$$解得：$-3<a<3$。综上所述：$-3<a<3$。例3一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水生产的摩托车数量$x$（单位：辆）与创造的价值$y$（单位：元）之间有如下的关系：$y=-2x^2+220x$。若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？答案：在51~59辆之间，最大收益为6600元。解析：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产$x$辆摩托车，根据题意，得$-2x^2+220x>6000$。移项整理，得$x^2-110x+3000<0$。对于方程$x^2-110x+3000=0$，$\Delta=100>0$，方程有两个实数根$x_1=50$，$x_2=60$。画出二次函数$y=x^2-110x+3000$的图像，结合图象得不等式$x^2-110x+3000<0$的解集为$\{x|50<x<60\}$，从而原不等式的解集为$\{x|50<x<60\}$。因为$x$只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。解题方法（一元二次不等式实际应用问题）：（1）根据题意列出相应的一元二次函数；（2）由题意列出相应一元二次不等式；（3）求出解集；（4）结合实际情况写出最终结果。跟踪训练三1.用可围成32m墙的砖头，沿一面旧墙（旧墙足够长）围成猪舍四间（面积大小相等的长方形）。应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？答案：当长方形一边（垂直于旧墙）为16m，另一边为4m时猪舍面积最大，最大值为256$m^2$。解析：设长方形的一边（垂直于旧墙）长为$x$m，则另一边长为$\dfrac{32-5x}{4}$m，总面积为$S=x\times\dfrac{32-5x}{4}=\dfrac{1}{4}(32x-5x^2)$。求导得$S'(x)=8-\dfrac{5}{2}x$，令$S'(x)=0$，解得$x=16$。由于$S''(16)=-5<0$，所以当$x=16$时，$S(x)$取得最大值。此时，$S_{\max}=S(16)=256$$m^2$。因此，当长方形一边（垂直于旧墙）为16m，另一边为4m时猪舍面积最大，最大值为256$m^2$。给定函数$g=(x-2)m+x^2-4x+4$，可以看作是以$m$为自变量的一次函数。题目要求在$-1\leqm\leq1$的范围内，$g$的值恒大于零。因此有以下不等式成立：$(x-2)\times(-1)+x^2-4x+4>0$，即$(x-2)+x-4x+4>0$。解得$x<1$或$x>3$。因此，当$x<1$或$x>3$时，对于任意$-1\leqm\leq1$，函数$y=x^2+(m-4)x+4-2m$的值恒大于零。对于恒成立不等式求参数范围问题，常见的解法有以下两种：1.变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元。2.转化法求参数范围：已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值的集合为$B=\{y|m\leqy\leqn\}$，则有以下结论：-若不等式$y\geqk$恒成立，则$y_{\min}\geqk$，即$m\geqk$；-若不等式$y\leqk$恒成立，则$y_{\max}\leqk