函数、导数习题

PAGEPAGE6函数与导数的核心知识点一、考查内容主要为以下几个方面：函数的定义域、值域（极值、最值）、函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）、函数的图象、零点问题（函数与方程）、恒成立问题（函数与不等式、函数最值）、函数与方程（不等式）间的转化问题、导数的几何意义以及函数的应用．研究函数问题的思想方法——数形结合画函数图象需掌握的三种类型：1．基本初等函数及由基本初等函数经过平移、对称等变换得到的函数的图象；2．可利用导数研究函数的单调性，勾画出草图的函数图象；3．对于某些抽象函数，可根据所给函数的性质，勾画出反映该函数性质的草图（或示意图）的函数图象．练习：1．直线y＝EQ\F(1,2)x＋b是曲线y＝lnx（x＞0）的一条切线，则实数b＝__________．解：y′=（lnx）′=，=得x=2，

∴切点为（2，ln2），代入直线方程y=x+b，∴ln2=×2+b，∴b=ln2-1．故答案为：ln2-12．f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]总有f(x)≥0成立，则a＝．解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）=ax3-3x+1≥0可化为：a≥-设g（x）=-，则g′（x）=，所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，因此g（x）max=g（）=4，从而a≥4；当x＜0即x∈[-1，0）时，f（x）=ax3-3x+1≥0可化为：a≤-，g（x）=-在区间[-1，0）上单调递增，因此g（x）min=g（-1）=4，从而a≤4，综上a=4．答案为：43．设函数f(x)=x(ex＋ae-x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝________．解：g（x）=ex+ae-x为奇函数由g（0）=0，得a=-1．故答案是-14．将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝eq\f((梯形的周长)2,梯形的面积)，则S的最小值是__________．先设剪成的小正三角形的边长为x表示出S的解析式，然后求S的最小值，

方法一：对函数S进行求导，令导函数等于0求出x的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值；

方法二：令3-x=t，代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值．解答：解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S==.(0＜x＜1)

∴f（x）在R上单调递减

∵函数在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则f（a）=b，f（b）=a

即a1+|a|=b，b1+|b|=a

解得a=0，b=0

∵a＜b

使M=N成立的实数对

（a，b）有0对

故选A例3．已知a，b是实数，函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝x2＋bx，f′(x)和g′(x)是f(x)，g(x)的导函数，若f′(x)g′(x)≥0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致．（1）设a＞0，若函数f(x)和g(x)在区间[－1，＋∞)上单调性一致,求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a－b|的最大值．例4．已知关于x的方程x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3＝0有唯一解，则实数a的值为．解：考察函数f（x）=x2+2alog2(x2+2)+a2-3，可得它在R上为偶函数，因此图象关于y轴对称．因为f（x）=0

有唯一解，因此这个解一定是x=0，即

f（0）=0，即（a-1）（a+3）=0．解得a=1或a=-3．当a=1时，f（x）=x2+2log2(x2+2)-2≥0+2log22-2=0，当且仅当x=0时取等号，因此关于x的方程x2+2alog2(x2+2)+a2-3=0有唯一解x=0．当a=-3时，f（x）=x2-6log2(x2+2)+6，因为f（）=30-6×5+6=6＞0，f（）=14-6×4+6=-4＜0，因此f（x）=0至少有三个根，不满足题意，故把a=-3舍去．所以，若方程有唯一解，则a=1．故答案为1．例5．若不等式∣ax3－lnx∣≥1对任意x∈(0，1]都成立，则实数a的取值范围是．解：显然x=1时，有|a|≥1，a≤-1或a≥1．

令g（x）=ax3-lnx，g′(x)=3ax2-=当a≤-1时，对任意x∈（0，1]，g′(x)=＜0，g（x）在（0，1]上递减，g（x）min=g（1）=a≤-1，此时g（x）∈[a，+∞），|g（x）|的最小值为0，不适合题意．②当a≥1时，对任意x∈（0，1]，g′(x)==0，∴x=函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增∴|g（x）|的最小值为g()=+ln(3a)≥1，解得：a≥∴实数a取值范围是[，+∞)例6、设，证明：(Ⅰ)当x﹥1时，﹤（）(Ⅱ)当时，例六通过以上内容的分析，我们不难发现，在函数与导数的复习过程中，牢牢抓住函数的图象，抓住函数与方程（零点）、函数与不等式间的关