【解析】2023年浙教版数学九年级上册第四章 相似三角形 章末检测（A卷）

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2023年浙教版数学九年级上册第四章相似三角形章末检测（A卷）

一、选择题

1．（2023九上·东阳期末）若2a＝3b，则的值为（）

A．B．C．D．

2．（2023九上·余姚期末）已知线段a=3，b=12，则a，b的比例中项线段等于（）

A．2B．4C．6D．9

3．（2022九上·平阴期中）一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（）cm

A．B．C．D．

4．（2022九上·晋中期末）如图，与相交于点G，且，则＝（）

A．5：3B．1：3C．3：5D．2：3

5．（2022九上·晋江期末）若，相似比为1：2，则与的面积的比为（）

A．1：2B．2：1C．1：4D．4：1

6．（2022九上·咸阳月考）若两个三角形相似，且相似比为1：3，则这两个三角形对应角平分线的比为（）

A．B．1：3C．1：6D．1：9

7．（2022九上·南海月考）如图，点P在的边上，添加如下一个条件后，仍不能得到的是（）

A．B．C．D．

8．（2022九上·义乌期中）如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（）

A．12B．8C．6D．4

9．（2023九上·诸暨期末）如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点，镜子，树底三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，米，米，则树高为（）米

A．4B．5C．6D．7

10．（2022九上·代县期末）在如图所示的人眼成像的示意图中，可能没有蕴含的初中数学知识是（）

A．位似图形B．相似三角形的判定

C．旋转D．平行线的性质

二、填空题（每空4分，共24分）

11．（2023九上·临渭期末）已知点C是线段的黄金分割点，且，，则的长度是

12．如图，已知，若，，，则的长为.

13．（2022九上·郑州开学考）已知△MBC∽△A'B'C'，AD和A'D是对应的角平分线，若AD：AD'=4：3，△ABC的周长为16，则△AB'C的周长是.

14．（2022九上·门头沟期末）如图，在中，点D在上，连接．请添加一个条件，使得，然后再加以证明．

15．（2023九上·宁波期末）如图，小明借助太阳光线测量树高.在早上8时小明测得树的影长为，下午3时又测得该树的影长为，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为.

16．（2023九上·榆林期末）如图，四边形四边形，若，，，则FG的长为．

三、作图题（共2题，共16分）

17．（2022九上·淮北月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．

⑴作出与关于轴对称的；

⑵以原点为位似中心，在第三象限内作一个，使它与的相似比为．

18．（2023九上·杭州期末）如图，△ABC的顶点均为网格中的格点.

（1）选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不为1）.

（2）证明：△ADE∽△ABC.

四、解答题（共7题，共50分）

19．（2022九上·舟山期中）已知，求：

（1）

（2）

20．（2023九上·金台期末）公园中的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为，面积的差为，它们的面积之和为多少？

21．（2023九上·涟水月考）已知△ABC∽△DEF，且DE＝2cm，AB＝4cm，BC＝5cm，CA＝6cm，求△DEF的周长.

22．（2023九上·霍邱期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE//AC、AE//DF，BD：AD=3：2，BF=6，求EF和FC的长．

23．（2022九上·槐荫期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．

24．（2023九上·西安期末）如图，点是菱形对角线上的一点，，求的长.

25．（2022九上·龙岗期末）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为20米，小明的影长为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且，．已知小明的身高为1.8米．

（1）求建筑物OB的高度；

（2）求旗杆的高AB．

答案解析部分

1．【答案】D

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】解：∵2a＝3b，

∴.

故答案为：D.

【分析】根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积将等积式改写成比例式即可.

2．【答案】C

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：设a、b的比例中项为c（c＞0），则c2=ab，

∵a=3，b=12，

∴c2=36，

∴c=6.

故答案为：C.

【分析】设a、b的比例中项为c（c＞0），则c2=ab，进而代值计算即可.

3．【答案】A

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：一本书的宽与长之比为黄金比，

这本书的长，

故答案为：A．

【分析】根据黄金分割的性质求出这本书的长即可。

4．【答案】A

【知识点】平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵，

∴．

故答案为：A．

【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得。

5．【答案】C

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵，相似比为1：2，

∴与的面积的比为1：4.

故答案为：C.

【分析】直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质得出结论.

6．【答案】B

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】两个相似三角形的边长的比为1：3，

两个相似三角形的周长比为1：3.

故答案为：B.

【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形对应角平分线的比等于相似比”可求解.

7．【答案】A

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：根据题意得∶，

A、无法得到，故此选项符合题意；

B、当时，

又∵，

∴，故此选项不符合题意；

C、当时，

又∵，

∴，故此选项不符合题意；

D、当时，

又∵，

∴，故此选项不符合题意．

故答案为：A．

【分析】根据题意得，可根据两角对应相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行逐一判断即可.

8．【答案】A

【知识点】平行线分线段成比例；三角形的重心及应用

【解析】【解答】解：∵G是重心，

∴DG：DA＝1：3，

∵GE∥AC，

∴DE：DC＝DG：DA＝1：3，

∵DE＝2，

∴CD＝6，

∴BC＝2CD＝12，

故答案为：A.

【分析】根据重心定义可得DG：DA＝1：3，根据平行线分线段成比例定理得DE：DC＝DG：DA，进而代入数据即可算出CD，最后根据中点定义可得BC的长.

9．【答案】A

【知识点】相似三角形的应用

【解析】【解答】解：由题意得

∠COF=∠DOF，∠ACO=90°-∠COF，∠BOD=90°-∠DOF，

∴∠ACO=∠BOD，

∵∠OAC=∠OBD=90°，

∴△ACO∽△BDO，

∴即

解之：BD=4.

故答案为：A

【分析】利用已知条件和余角的性质可证得∠ACO=∠BOD，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACO∽△BDO，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BD的长.

10．【答案】C

【知识点】位似变换

【解析】【解答】解：两棵树是相似图形，而且对应点的连线相交一点，对应边互相平行，

这两个图形是位似图形，

本题蕴含的初中数学知识有位似图形，相似三角形的判定，平行线的性质，

故答案为：C．

【分析】根据位似图形的定义即可判断.

11．【答案】

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：∵点C是线段的黄金分制点，且，，

∴.

故答案为：.

【分析】根据黄金分割的特点可得AC=AB，然后将AB=20代入进行计算.

12．【答案】4

【知识点】平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：∵，，

∴，

∵，

∴，即：，

∴；

故答案为：4

【分析】由线段的和差关系可得AE=AC+CE=8，根据平行线分线段成比例的性质可得，代入数据计算即可.

13．【答案】12

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，

∴，

∴C△A'B'C'=16×=12.

故答案为：12.

【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，周长的比等于相似比，列出比例式求解即可.

14．【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一），证明见解析

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：添加，

又∵，

∴，

故答案为：∠ACD=∠B（答案不唯一）．

【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。

15．【答案】4

【知识点】相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：根据题意作图，，，，，

，，

，

，

，

，

，

故答案为：4.

【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠B，结合∠ADB=∠CDA=90°，判断出△ADB∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出AD的长.

16．【答案】6

【知识点】相似多边形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，

∴即

解之：FG=6.

故答案为：6

【分析】利用相似多边形的对应边成比例，可得到，代入计算求出FG的长.

17．【答案】解：⑴如图即为所作；

⑵如图即为所作．

【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换

【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质分别确定点A、B、C关于y轴对称的对应点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；

（2）根据位似变换的性质先计算出A2、B2、C2的坐标，然后描点、连线即可.

18．【答案】（1）解：如图，△ADE就是所求的三角形，答案不唯一，

（2）证明：∵AD=2AB，AE=2AC，

∴，

又∵∠BAC=∠DAE，

∴△△ADE∽△ABC.

【知识点】相似三角形的判定；作图﹣相似变换

【解析】【分析】（1）延长AB至点D使AD=2AB，延长AC至点E，使AE=2AC，再连接ED，△ADE就是所求的三角形；

（2）由作图过程易得，∠BAC=∠DAE，根据两组边成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△ADE∽△ABC.

19．【答案】（1）解：

（2）解：

【知识点】比例的性质

【解析】【分析】（1）将原式转化为，代入计算求出结果.

（2）先将原式转化为，代入计算求出结果.

20．【答案】解：∵两三角形的相似比为，

∴它们的面积比为，

设较小三角形的面积为，则较大三角形的面积为，

则，

解得，

∴面积和为，

答：它们的面积和为.

【知识点】一元一次方程的其他应用；相似三角形的性质

【解析】【分析】根据相似三角形的相似比可得面积比为4：9，设较小三角形的面积为4k，则较大三角形的面积为9k，结合面积的差为30可求出k的值，进而可得面积之和.

21．【答案】解：△ABC的周长=AB+BC+CA=4+5+6=15（cm），

∵△ABC∽△DEF，

∴，

∴△DEF的周长=×15=7.5（cm）.

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【分析】先求出△ABC的周长，再根据相似三角形的周长比等于相似比列式计算，即可解答.

22．【答案】解：，

，即，

，

，

，

，即，

，

．

【知识点】平行线分线段成比例

【解析】【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，即，求出，求出BE的长，再根据，即，求出，最后利用线段的和差求出CF的长即可。

23．【答案】证明：∵四边形是正方形

∴，

∵

∴

∵是的中点

∴

∵，

∴

∵

∴．

【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定

【解析】【分析】先证明，再结合，可得。

24．【答案】解：∵四边形是菱形，

∴.

∴.

∵，

∴，

∴.

∴.

∴，

∵.

∴，

∴.

【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】根据菱形的性质可得BC=CD，由等腰三角形的性质可得∠BDC=∠CBD，∠ODC=∠OCD，则∠OCD=∠DBC，证明△CDO∽△BDC，然后根据相似三角形的性质进行计算.

25．【答案】（1）解：根据题意得：，

∴，

，

∴，

∴，即，

∴米

（2）解：根据题意得：，

∴，

，

∴，

∴，即，

∴米，

由（1）得米，

∴（米），

∴旗杆的高是米．

【知识点】相似三角形的应用

【解析】【分析】（1）证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解；

（2）证明，可得，据此求出AO的长，利用AB=AO-BO即可求解.

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2023年浙教版数学九年级上册第四章相似三角形章末检测（A卷）

一、选择题

1．（2023九上·东阳期末）若2a＝3b，则的值为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】解：∵2a＝3b，

∴.

故答案为：D.

【分析】根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积将等积式改写成比例式即可.

2．（2023九上·余姚期末）已知线段a=3，b=12，则a，b的比例中项线段等于（）

A．2B．4C．6D．9

【答案】C

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：设a、b的比例中项为c（c＞0），则c2=ab，

∵a=3，b=12，

∴c2=36，

∴c=6.

故答案为：C.

【分析】设a、b的比例中项为c（c＞0），则c2=ab，进而代值计算即可.

3．（2022九上·平阴期中）一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（）cm

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：一本书的宽与长之比为黄金比，

这本书的长，

故答案为：A．

【分析】根据黄金分割的性质求出这本书的长即可。

4．（2022九上·晋中期末）如图，与相交于点G，且，则＝（）

A．5：3B．1：3C．3：5D．2：3

【答案】A

【知识点】平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵，

∴．

故答案为：A．

【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得。

5．（2022九上·晋江期末）若，相似比为1：2，则与的面积的比为（）

A．1：2B．2：1C．1：4D．4：1

【答案】C

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵，相似比为1：2，

∴与的面积的比为1：4.

故答案为：C.

【分析】直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质得出结论.

6．（2022九上·咸阳月考）若两个三角形相似，且相似比为1：3，则这两个三角形对应角平分线的比为（）

A．B．1：3C．1：6D．1：9

【答案】B

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】两个相似三角形的边长的比为1：3，

两个相似三角形的周长比为1：3.

故答案为：B.

【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形对应角平分线的比等于相似比”可求解.

7．（2022九上·南海月考）如图，点P在的边上，添加如下一个条件后，仍不能得到的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：根据题意得∶，

A、无法得到，故此选项符合题意；

B、当时，

又∵，

∴，故此选项不符合题意；

C、当时，

又∵，

∴，故此选项不符合题意；

D、当时，

又∵，

∴，故此选项不符合题意．

故答案为：A．

【分析】根据题意得，可根据两角对应相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行逐一判断即可.

8．（2022九上·义乌期中）如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（）

A．12B．8C．6D．4

【答案】A

【知识点】平行线分线段成比例；三角形的重心及应用

【解析】【解答】解：∵G是重心，

∴DG：DA＝1：3，

∵GE∥AC，

∴DE：DC＝DG：DA＝1：3，

∵DE＝2，

∴CD＝6，

∴BC＝2CD＝12，

故答案为：A.

【分析】根据重心定义可得DG：DA＝1：3，根据平行线分线段成比例定理得DE：DC＝DG：DA，进而代入数据即可算出CD，最后根据中点定义可得BC的长.

9．（2023九上·诸暨期末）如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点，镜子，树底三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，米，米，则树高为（）米

A．4B．5C．6D．7

【答案】A

【知识点】相似三角形的应用

【解析】【解答】解：由题意得

∠COF=∠DOF，∠ACO=90°-∠COF，∠BOD=90°-∠DOF，

∴∠ACO=∠BOD，

∵∠OAC=∠OBD=90°，

∴△ACO∽△BDO，

∴即

解之：BD=4.

故答案为：A

【分析】利用已知条件和余角的性质可证得∠ACO=∠BOD，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACO∽△BDO，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BD的长.

10．（2022九上·代县期末）在如图所示的人眼成像的示意图中，可能没有蕴含的初中数学知识是（）

A．位似图形B．相似三角形的判定

C．旋转D．平行线的性质

【答案】C

【知识点】位似变换

【解析】【解答】解：两棵树是相似图形，而且对应点的连线相交一点，对应边互相平行，

这两个图形是位似图形，

本题蕴含的初中数学知识有位似图形，相似三角形的判定，平行线的性质，

故答案为：C．

【分析】根据位似图形的定义即可判断.

二、填空题（每空4分，共24分）

11．（2023九上·临渭期末）已知点C是线段的黄金分割点，且，，则的长度是

【答案】

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：∵点C是线段的黄金分制点，且，，

∴.

故答案为：.

【分析】根据黄金分割的特点可得AC=AB，然后将AB=20代入进行计算.

12．如图，已知，若，，，则的长为.

【答案】4

【知识点】平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：∵，，

∴，

∵，

∴，即：，

∴；

故答案为：4

【分析】由线段的和差关系可得AE=AC+CE=8，根据平行线分线段成比例的性质可得，代入数据计算即可.

13．（2022九上·郑州开学考）已知△MBC∽△A'B'C'，AD和A'D是对应的角平分线，若AD：AD'=4：3，△ABC的周长为16，则△AB'C的周长是.

【答案】12

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，

∴，

∴C△A'B'C'=16×=12.

故答案为：12.

【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，周长的比等于相似比，列出比例式求解即可.

14．（2022九上·门头沟期末）如图，在中，点D在上，连接．请添加一个条件，使得，然后再加以证明．

【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一），证明见解析

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：添加，

又∵，

∴，

故答案为：∠ACD=∠B（答案不唯一）．

【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。

15．（2023九上·宁波期末）如图，小明借助太阳光线测量树高.在早上8时小明测得树的影长为，下午3时又测得该树的影长为，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为.

【答案】4

【知识点】相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：根据题意作图，，，，，

，，

，

，

，

，

，

故答案为：4.

【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠B，结合∠ADB=∠CDA=90°，判断出△ADB∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出AD的长.

16．（2023九上·榆林期末）如图，四边形四边形，若，，，则FG的长为．

【答案】6

【知识点】相似多边形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，

∴即

解之：FG=6.

故答案为：6

【分析】利用相似多边形的对应边成比例，可得到，代入计算求出FG的长.

三、作图题（共2题，共16分）

17．（2022九上·淮北月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．

⑴作出与关于轴对称的；

⑵以原点为位似中心，在第三象限内作一个，使它与的相似比为．

【答案】解：⑴如图即为所作；

⑵如图即为所作．

【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换

【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质分别确定点A、B、C关于y轴对称的对应点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；

（2）根据位似变换的性质先计算出A2、B2、C2的坐标，然后描点、连线即可.

18．（2023九上·杭州期末）如图，△ABC的顶点均为网格中的格点.

（1）选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不为1）.

（2）证明：△ADE∽△ABC.

【答案】（1）解：如图，△ADE就是所求的三角形，答案不唯一，

（2）证明：∵AD=2AB，AE=2AC，

∴，

又∵∠BAC=∠DAE，

∴△△ADE∽△ABC.

【知识点】相似三角形的判定；作图﹣相似变换

【解析】【分析】（1）延长AB至点D使AD=2AB，延长AC至点E，使AE=2AC，再连接ED，△ADE就是所求的三角形；

（2）由作图过程易得，∠BAC=∠DAE，根据两组边成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△ADE∽△ABC.

四、解答题（共7题，共50分）

19．（2022九上·舟山期中）已知，求：

（1）

（2）

【答案】（1）解：

（2）解：

【知识点】比例的性质

【解析】【分析】（1）将原式转化为，代入计算求出结果.

（2）先将原式转化为，代入计算求出结果.

20．（2023九上·金台期末）公园中的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为，面积的差为，它们的面积之和为多少？

【答案】解：∵两三角形的相似比为，

∴它们的面积比为，

设较小三角形的面积为，则较大三角形的面积为，

则，

解得，

∴面积和为，

答：它们的面积和为.

【知识点】一元一次方程的其他应用；相似三角形的性质

【解析】【分析】根据相似三角形的相似比可得面积比为4：9，设较小三角形的面积为4k，则较大三角形的面积为9k，结合面积的差为30可求出k的值，进而可得面积之和.

21．（2023九上·涟水月考）已知△ABC∽△DEF，且DE＝2cm，AB＝4cm，BC＝5cm，CA＝6cm，求△DEF的周长