安徽省合肥市北城中学高三数学理期末试卷含解析

安徽省合肥市北城中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C，所以，故选C.考点：1.集合的运算；2.二次不等式的求解.2.若函数满足，当x∈[0，1]时，，若在区间(-1，1]上，

方程有两个实数解，则实数m的取值范围是

A．0<m≤

B．0<m<

C．<m≤l

D．<m<1参考答案：A3.已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则下列各式结果为定值的是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C由消去y整理得，设，则．过点分别作直线的垂线，垂足分别为，则．对于A，，不为定值，故A不正确．对于B，，不为定值，故B不正确．对于C，，为定值，故C正确．对于D，，不为定值，故D不正确．选C．

4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是

A.

B.

C．

D.参考答案：D略5.函数的图象大致是参考答案：A函数，所以函数图象为A.6.设，，则“”是“”则（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：A7.已知sin（+α）=﹣，α∈(,π)，则tanα=（）A． B．﹣ C．﹣ D．参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．【解答】解：∵sin（）=﹣，sin（）=cosα，∴cosα=﹣，又，∴sinα==，∴tanα==﹣．故选：C．8.已知M=，N=，若对于所有的，均有则的取值范围是(

)Ａ.

Ｂ.（）Ｃ.[]

Ｄ.[]参考答案：C略9.已知函数（其中，，）的图像如图所示，将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则关于函数的下列说法正确的是（

）

①

,②的图像关于直线对称,③④在区间上单调递增A.①② B.②③ C.③④ D.①④参考答案：B【分析】根据图像得到表达式，再利用平移得到表达式，依次判断四个选项的正误，得到答案.【详解】函数（其中，，）根据图像知：将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像故①错误③正确时是对称轴，②正确在区间上先增后减，④错误故答案选B【点睛】本题考查了根据图像求三角函数表达式，三角函数的平移，三角函数的对称抽和单调性，考查知识点较多，意在锻炼学生的综合应用能力.10.设集合，则A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数满足，如果目标函数的最小值为-1，则实数

.

参考答案：12.设复数ｚ满足（i是虚数单位），则的实部是_____参考答案：1本题考查复数的定义与运算，难度较小。.

因为，所以，即，实部是1.13.设，则

．参考答案：14.若复数z满足（i是虚数单位），则z＝_____________;参考答案：略15.已知向量，，且，则实数x=_____参考答案：【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出．【详解】解：因为，，所以；因为；所以；解得：．故答案为．【点睛】本题考查了向量坐标的减法和数量积的运算，解决本题的关键是要将向量垂直的条件进行代数转化．16.＝_______________参考答案：17.已知向量,夹角为,且||=1,||=,则||=_______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2015?青岛一模）已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10=28，S8=92；数列{bn}对任意n∈N*，总有b1?b2?b3…bn﹣1?bn=3n+1成立．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）设出{an}的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的通项公式求通项；再由b1?b2?b3…bn﹣1?bn=3n+1，得b1?b2?b3…bn﹣1=3n﹣2（n≥2），两式相除可得数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）把{an}、{bn}的通项公式代入cn=，化简后利用错位相减法求得数列{cn}的前n项和Tn．解：（Ⅰ）设{an}的首项为a1，公差为d，由a10=28，S8=92，得a10=a1+9d=28，，解得a1=1，d=3，an=1+3（n﹣1）=3n﹣2；又∵b1?b2?b3…bn﹣1?bn=3n+1，∴b1?b2?b3…bn﹣1=3n﹣2（n≥2），两式相除得，当n=1时b1=4适合上式，∴；（Ⅱ）把{an}、{bn}的通项公式代入cn=，得，则，，两式作差得：，∴，即．【点评】：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．19.（本题满分12分）在边长为1的等边三角形ABC中，设,(1)用向量作为基底表示向量（2）求参考答案：（1）==

————————————4分（2）=()=+———6分=+——————————9分=+=-———————————12分20.(本小题满分12分)设函数.(Ⅰ)当时，讨论的单调性；（Ⅱ）当时，设在处取得最小值，求证：.参考答案：(Ⅰ)在单调递减，在单调递增；（Ⅱ）证明见解析.试题分析：(Ⅰ)运用导数知识求解；（Ⅱ）构造函数借助导数的知识分类求解即可.试题解析:（I）当时，………1分因为单调递增，单调递增，所以在单调递增，且，因此当时，；当时，故在单调递减，在单调递增…………5分令，得；令，得故在单调递增，单调递减，故.………………………12分考点：导数及运用．【易错点晴】导数是解决函数问题的重要工具.本题考查的是导数在研究函数的单调性中运用问题,第一问中讨论函数的单调性就是研究函数在定义域内的单调问题,根据导数的值与函数的单调性的关系,直接建立不等式就可求出其单调区间,从而确定函数在该区间的单调性；第二问中证明不等式的问题的求解思路是合理构造出函数出,最后通过求该函数的最大值使得问题获证.21.参考答案：（1）周销售量为2吨，3吨，4吨的频率分别为0.2，0.5，和0.3。（2）可能的值为8，10，12，14，16

810121416P0.040.20.370.30.09则的分布列为

∴（千元）22.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通行车辆限高5m，隧道全长2.5km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆。（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽是多少？（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程

量最小，则应如何设计拱高h和拱宽？（已知：椭圆+=1的面积公式为S=，柱体体积为底面积乘以高。）（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍，试确定M、N的位置以及的值，使总造价最少。

参考答案：解：（1）如下图建立直角坐标系，则点P（10，2），椭圆方程为+=1，将b=h－3=3与点P坐标代入椭圆方程，得a=，l=2a=，隧道的拱宽约为m。5分

（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭圆的面积最小即可。由椭圆方程+=1，得+=1。因为+≥，即ab≥40，…8分所以半椭圆面积S=≥。当S取最小值时，