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第十二节定积分概念与微积分基本定理、定积分简单应用第1页第2页【知识梳理】1.必会知识教材回忆填一填(1)定积分概念、几何意义与性质:①定积分定义及有关概念:一般地,假如函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点第3页a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b,将区间[a,b]等提成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式

当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上定积分,记作在

中,a与b分别叫第4页做积分下限与积分上限,区间______叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做_________,_______叫做被积式.[a,b]积分变量f(x)dx第5页②定积分几何意义:f(x)几何意义f(x)≥0表达由直线____,____,y=0及曲线y=f(x)所围成曲边梯形面积f(x)<0表达由直线____,____,y=0及曲线y=f(x)所围成曲边梯形面积相反数x=ax=bx=ax=b第6页f(x)几何意义f(x)在[a,b]上有正有负表达位于x轴上方曲边梯形面积减去位于x轴下方曲边梯形面积第7页③定积分性质:(ⅰ)=___________(k为常数).(ⅱ)=__________________.(ⅲ)________=(其中a<c<b).第8页(2)微积分基本定理:一般地,假如f(x)是区间[a,b]上连续函数,并且F′(x)=f(x),那么=__________,这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿-莱布尼茨公式.F(b)-F(a)第9页(3)定积分应用:①定积分与曲边梯形面积关系:第10页设阴影部分面积为S.(ⅰ)S=(ⅱ)S=_________

(ⅲ)S=________________

(ⅳ)S=第11页②定积分与变速直线运动路程及变力做功间关系:(ⅰ)s=_______.(ⅱ)W=________.第12页2.必备结论教材提炼记一记设函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有(1)若f(x)是偶函数,则

(2)若f(x)是奇函数,则

第13页【小题快练】教材改编链接教材练一练1.(选修2-2P55T1(3)改编)=________.

第14页【解析】

答案:

第15页2.(选修2-2P60T6改编)汽车以72km/h速度行驶,由于遇到紧急情况而刹车,汽车以等减速度a=4m/s2刹车,则汽车从开始刹车到停顿走距离为______m.

第16页【解析】先求从刹车到停车所用时间t,当t=0时,v0=72km/h=20m/s,刹车后,汽车减速行驶,速度为v(t)=v0-at=20-4t.令v(t)=0,可得t=5s,第17页因此汽车从刹车到停车,所走过路程为:=50(m).即汽车从开始刹车到停顿,共走了50m.答案:50第18页考题小试感悟考题试一试3.(2023·成都模拟)= (

)第19页【解析】选B.第20页4.(2023·咸阳模拟)如图,阴影部分面积用定积分表示为 (

)A.2xdxB.(2x-1)dxC.(2x+1)dxD.(1-2x)dx第21页【解析】选B.由题意积分区间为[0,1],对应函数为y=2x,y=1,因此阴影部分面积用定积分表达为

(2x-1)dx.第22页5.(2023·马鞍山模拟) (

)A.π B. C. D.0第23页【解析】选C.由定积分几何意义可知,该积分式表达圆x2+y2=1在第一象限部分与坐标轴所围成封闭区域面积,因此

第24页6.(2023·天津高考)曲线y=x2与直线y=x所围成封闭图形面积为______________.

第25页【解析】两曲线交点坐标为(0,0),(1,1),因此它们所围成封闭图形面积答案:

第26页考点1定积分计算【典例1】(1)(2023·南阳模拟)已知,则m值为 (

)A. B. C.- D.-1第27页(2)(2023·廊坊模拟)(ex+2x)dx等于 (

)A.e B.1 C.e-1 D.e+1(3)(2023·济宁模拟) (

)A. B.-1C. D.-第28页【解析】(1)选B.

(2)选A.=(e+1)-(1+0)=e.第29页(3)选C.先设x-1=sint,t∈⇒x=1+sint,则dx=costdt,因此第30页【一题多解】【解析】选C.值就是函数图象与x轴及直线x=0,x=1所围成图形面积.令y=(y≥0),则(x-1)2+y2=1(y≥0),表达以(1,0)为圆心,1为半径半圆,其面积为.第31页而

表达y=(y≥0)面积二分之一,因此

第32页【母题变式】1.若本例(2)条件变为(ex+ax)dx=e,则a值为__________.

2.若本例(2)条件变为(ex+ax)dx=e,求二项式展开式中常数项.第33页【解析】1.=e+-1=e,解得a=2.答案:2第34页2.(ex+ax)dx==e+-1=e,解得a=2.因此展开式中常数项为:

,令r=3得常数项为

第35页【规律办法】计算定积分步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积和或差.(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数定积分.(3)分别用求导公式找到一种对应原函数.第36页(4)利用微积分基本定理求出各个定积分值.(5)计算原始定积分值.第37页【变式训练】1.(2023·新乡模拟)(x-sinx)dx等于 (

)A.-2 B. C.-2 D.π2第38页【解析】选A.=π2+cosπ-cos0=π2-2.第39页2.(2023·临汾模拟)定义=ad-bc,如=1×4-2×3=-2,那么= (

)A.6 B.3 C. D.0第40页【解析】选D.=2xdx-3=0.第41页3.设f(x)=(e为自然对数底数),则f(x)dx值为________.

第42页【解析】由于f(x)=因此答案:

第43页【加固训练】1.(2023·重庆模拟)若a=xdx,则二项式展开式中常数项是 (

)A.20

B.-20

C.-540

D.540第44页【解析】选C.由题意可知a=2,二项式变,Tr+1=

因此r=3,系数为-540.第45页2.(2023·昭通模拟)已知实数a=log23,b=

则a,b,c大小关系是(

)A.a>b>c

B.a>c>bC.c>a>b D.c>b>a第46页【解析】选D.log22<log23<log24=2⇒a∈(1,2),第47页考点2利用定积分计算平面图形面积【典例2】(1)(2023·湛江模拟)曲线y=与直线y=x-1及x=1所围成封闭图形面积为 (

)A.2-ln2 B.2ln2-C.2+ln2 D.2ln2+第48页(2)(2023·济宁模拟)曲线y=x3-3x和直线y=x所围成图形面积是 (

)A.4 B.8 C.9 D.10第49页【解析】(1)选B.由曲线y=与直线y=x-1联立,解得x=-1或x=2,故所求图形面积为S=第50页(2)选B.曲线y=x3-3x与y=x交点坐标为(0,0),(2,2),(-2,-2),根据题意画出图形,曲线y=x3-3x和直线y=x围成图形面积S=2[x-(x3-3x)]dx=2(4x-x3)dx=2×=2×(8-4)=8.第51页【规律办法】1.求曲边图形面积办法与步骤(1)画图,并将图形分割为若干个曲边梯形.(2)对每个曲边梯形确定其存在范围,从而确定积分上、下限.第52页(3)确定被积函数.(4)求出各曲边梯形面积和,即各积分绝对值和.第53页2.根据平面图形面积求参数求解策略先利用定积分求出平面图形面积,再根据条件构建方程(不等式)求解.3.与概率有关综合问题处理思绪先按照概率问题分析需要求解哪些量,然后求解时再借助定积分知识.第54页【变式训练】1.(2023·贵阳模拟)如图,由曲线y=x2-1,直线x=0,x=2和x轴围成封闭图形面积是 (

)第55页第56页【解析】选C.阴影部分面积为[-(x2-1)]dx+(x2-1)dx,而|x2-1|=故选C.第57页2.(2023·淄博模拟)设集合A={(x,y)||x|+|y|≤2},B={(x,y)∈A|y≤x2},从集合A中随机地取出一种元素P(x,y),则P(x,y)∈B概率是 (

)第58页【解析】选B.集合A是一种正方形区域内部及边界,4个顶点是(0,2)(0,-2)(2,0)(-2,0),集合B是抛物线y=x2下方区域,由,可求得两图象在第一象限交点坐标为(1,1),求A中抛物线y=x2下方区域面积,根据对称性,可得面积为4+2x2dx+2×第59页×1×1=5+2×x3=,正方形面积为=8,所以P(x,y)∈B概率是

第60页【加固训练】设曲线y=ex-x及直线y=0所围成封闭图形为区域D,不等式组所确定区域为E,在区域E内随机取一点,则该点落在区域D内概率为(

)第61页【解析】选D.曲线y=ex-x及直线y=0所围成封闭图形面积S阴影=(ex-x)dx==e-e-1;而不等式组所确定区域面积S=2×2=4.因此该点落在区域D内概率P=第62页考点3定积分在物理中应用【典例3】(1)汽车以v=3t+1(单位:m/s)作变速直线运动时,在第1s至第2s间1s内通过位移是 (

)A.4.5m B.5m C.5.5m D.6m第63页(2)设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1且方向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做功为______J(x单位:m;力单位:N).

第64页【解析】(1)选C.s=(3t+1)dt==5.5m.(2)变力F(x)=x2+1使质点M沿x轴正向从x=1运动到x=10所做功为W=F(x)dx=(x2+1)dx==342(J).答案:342第65页【规律办法】定积分在物理中两个应用(1)求变速直线运动路程:假如变速直线运动物体速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所通过路程s=v(t)dt.第66页(2)变力做功:一物体在变力F(x)作用下,沿着与F(x)相同方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做功是W=F(x)dx.第67页【变式训练】1.一物体A以速度v=3t2+2(t单位:s,v单位:m/s),在始终线上运动,在此直线上在物体A出