新北师大版九年级动点问题专题练习(含答案)

新北师大版九年级动点问题专题练习(含答案)1、直线y=-x+6与坐标轴分别交于点A(6,0)、B(0,6)两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点运动停止。点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动。（1）A、B两点的坐标已给出。（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，根据三角形面积公式可得S=1/2*t*(6-t)。因此，S与t之间的函数关系式为S=3t-t^2/2。（3）当S=48时，解得t=6秒。点P的坐标为B(0,6)，以点O、P、Q为顶点的平行四边形第四个顶点M的坐标为(6,12)。2.如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动。设点E移动的时间为t（秒）。（1）当B，E，F三点共线时，由于E沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，F沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，因此可得BE=2t，BF=4t。由于B，E，F三点共线，因此BE+EF=BF，代入可得2t+4t=6t=BC=√80，解得t=2秒。（2）设四边形BCFE的面积为S，由于BE=2t，BF=4t，CE=CD+DE=4+t，因此可得S=1/2*BE*CE+1/2*BF*CE=10t+4t^2。因此，S与t之间的函数关系式为S=4t^2+10t，t的取值范围为t≥0。（3）当E、F、C三点共线时，由于BE=2t，BF=4t，CE=CD+DE=4+t，因此可得2t+4t=6t=CE=2AE，解得AE=3t。由于BE=2t，因此可得AB=8-2t。由于B，E，F三点共线，因此可得AB/BE=AC/CF，代入可得(8-2t)/2t=(8-2t+4)/(4t)，解得t=2秒。因此，当t=2秒时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形。（4）当E、F、C三点共线时，由于BE=2t，BF=4t，CE=CD+DE=4+t，因此可得2t+4t=6t=CE=2AF，解得AF=3t。由于BE=2t，因此可得∠BEC=∠BEA+∠AEC=∠BEA+∠AFB=∠BFC。3.正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直。（1）连接BM，可得∠BAM=90°-∠ABM，∠MNC=90°-∠MCN，因此Rt△ABM∽Rt△MCN。（2）设BM=x，由于AM=4-x，MN=x，CN=4，因此可得y=1/2*(4+x)*x+1/2*(4-x)*x=2x^2+4。因此，y与x之间的函数关系式为y=2x^2+4。当M点运动到BC的中点时，四边形ABCN面积最大，此时BM=2，y=12。（3）当M点运动到BC的中点时，由于AM=MN，因此Rt△ABM∽Rt△AMN，代入可得x=1，因此M的坐标为(1,0)。4.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。已知P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t秒，问：（1）当P、Q两点同时到达端点时，四边形PQCD是平行四边形，因此AP=QD，CP=QB，代入可得t=8秒。（2）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形。当P、Q两点同时到达端点时，由于AP=QD，CP=QB，因此四边形PQCD是平行四边形。当P、Q两点同时到达中点时，由于AP=QD，CP=QB，因此四边形PQCD是菱形。（3）当四边形PQCD是直角梯形时，由于AP=QD，CP=QB，因此四边形PQCD的高等于AD，因此可得PQ=√(BC^2-AD^2)=10。由于P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，因此PQ的最大值为10，因此t的取值范围为0≤t≤10/3。（4）当四边形PQCD是等腰梯形时，由于AP=QD，CP=QB，因此PQ=CD=26，代入可得t=26/4=6.5秒。无法改写，删除该段。5.在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=42，∠B=45°。动点M从B点出发，沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动。设运动的时间为t秒。（1）求BC的长度。（2）当MN∥AB时，求t的值。（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形。解：（1）由梯形ABCD可知，AB+CD=BC+AD，代入已知数据，得BC=22。（2）当MN∥AB时，由相似三角形可知，BM/BC=MN/AD，即BM/22=MN/3，解得BM=2t，MN=2t/11。又因为MN∥AB，所以BN=BM-MN=20t/11。由相似三角形可知，BN/AB=CN/CD，即20t/11/42=CN/5，解得CN=100t/231。又因为MN∥AB，所以∠NCM=∠B，又因为AD∥BC，所以∠MNC=∠ABC，所以∠MNC=45°，即△MNC为等腰三角形时，∠MCN=67.5°。由余弦定理可知，MC=√(MN²+NC²-2MN·NC·cos∠MCN)=√(400/231)t。又因为MC=BC-MB=22-2t，所以√(400/231)t=22-2t，解得t≈2.17。6.在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（≤t≤4）。（1）求AB的长度，过点P做PM⊥OA于M，求出P点的坐标（用t表示）。（2）求△OPQ面积S（cm²），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？（4）若点P运动速度不变，改变Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值。解：（1）由勾股定理可知，AB=5。过点P做PM⊥OA于M，由相似三角形可知，PM/OA=OP/AB，即PM=3OP/5。又因为P、Q均匀速运动，所以P的坐标为(3t/5,4t/5)。（2）由海龙公式可知，S=√(p(p-3)(p-4)(p-t))，其中p=(3+4+t)/2=7/2+t/2。化简得S=√(t²-2t+7)。S与t的函数关系式为S=√(t²-2t+7)，当t=1时，S有最大值√6。（3）当△OPQ为直角三角形时，根据勾股定理可知，OP²+OQ²=PQ²，即3²+(4-t)²=t²，解得t=2。（4）由勾股定理可知，OP=OQ，且OP+OQ=AB=5，所以OP=OQ=5/2。又因为△OPQ为正三角形，所以PQ=5/2，即4-t=5/2，解得t=3/2。改变Q的运动速度后，Q的速度为√3cm/秒。由题意可知：ED=t，BC=8，FD=2t-4，FC=2t。因为ED∥BC，所以△FED∽△FBC，即FDFC=EDBC。所以2t-4/2t=8，解得t=4。因此，当t=4时，两点同时停止运动。根据题意，可以得到S=S1△BCE+S2△BCF=2t×t/2+8×4/2+t2=16+t2。（其中，S1和S2分别表示△BCE和△BCF的面积）若EF=EC，则点F只能在CD的延长线上。由EF2=(2t-4)2+t2=5t2-16t+16和EC2=42+t2=t2+16，可得5t2-16t+16=t2+16，解得t=4或t=（舍去）。若EC=FC，则EC2=42+t2=t2+16，FC2=4t2，所以t2+16=4t2，解得t=√3/3。若EF=FC，则EF2=(2t-4)2+t2=5t2-16t+16，FC2=4t2，所以5t2-16t+16=4t2，解得t=16±√83。当t=3或t=16-√83时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形。在Rt△BCF和Rt△CED中，因为∠BCD=∠CDE=90°，所以BC/CF=CE/ED=2。当t的值为4时，Rt△BCF∽Rt△CED，所以∠BFC=∠CED。因为AD∥BC，所以∠BCE=∠CED。如果∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE，即BE=BC。由BE2=t-16t+80，可得t-16t+80=64，解得t=16±√83。当t=16-√83时，∠BEC=∠BFC。（1）在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，AM⊥MN，所以∠AMN=90°，∠CMN+∠AMB=90°。在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，所以∠CMN=∠MAB，所以Rt△ABM∽Rt△MCN。（2）根据Rt△ABM∽Rt△MCN，可以得到CN/CCN=AB/AM=4-x/x。因此，y=S梯形ABCN=1/2(AB+CN)×CCN=1/2(4+x)(4-x)/x=-(x2-4x+11)/2x+4。当x=2时，y取最大值，最大值为10。（3）因为∠B=∠AMN=90°，所以要使△ABM∽△AMN，必须有AM/AB=MN/AN，即AM2=AB×MN。因为AB=4，MN=2x，所以AM2=8x。因此，x2-4x+8=0，解得x=2±√2。因为x<2，所以x=2-√2。当t=时，PN=2，QN=3-t，ON=3-t，∴QN+ON=5-2t，由勾股定理得，PN2=PO2-ON2=9-6t+（t-）2=2-2t+t2，∴t2-8t+13=0，解得t=4±√3，∴当t=4+√3时，QN+ON=5-2（4+√3）<0，不符合题意，舍去；当t=4-√3时，QN+ON=5-2（4-√3）=2√3>0，符合题意，∴当t=4-√3时，S有最大值，最大值为（4-√3）2。根据勾股定理，若直角三角形两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则有a²+b²=c²。因此，若已知两条直角边的长度，可以求出斜边的长度。例如，在一个直角三角形中，已知直角边的长度分别为3和4，则斜边的长度为5。另外，若已知一个直角三角形的斜边长度和一条直角边的长度，则可以求出另一条直角边的长度。例如，在一个直角三角形中，已知斜边的长度为5，一条直角边的长度为3，则另一条直角边的长度为4。对于一个三角形，若三条边的长度分别为a、b、