广东省中山市中考数学分类26：二次函数

广东省中山市中考数学分类26：二次函数22．（2007•中山）如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG=BC，B、E、C、G在一直线上．（1）若BE=a，求DH的长；（2）当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值．考点：二次函数综合题；正方形的性质。专题：压轴题；动点型。分析：（1）可通过构建直角三角形求解．连接FH，则FH∥BE且FH=BE，FH⊥CD．因此三角形DFH为直角三角形．点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，那么BE=CF=a，DF=DC﹣CF=2a，因此直角三角形DFH中就有了DF和FH的长，根据勾股定理就求出了DH的长．（2）设BE=x，△DHE的面积为y，通过三角形DHE的面积=三角形CDE的面积+梯形CDHG的面积﹣三角形EGH的面积，来得出关于x，y的函数关系式，然后根据函数的性质求出y取最小值时x的值，并求出此时y的值．解答：解：（1）连接FH，则FH∥BE且FH=BE，在Rt△DFH中，DF=3a﹣a=2a，FH=a，∠DFH=90°，所以，DH==a；（2）设BE=x，△DHE的面积为y，依题意y=S△CDE+S梯形CDHG﹣S△EGH=×3a×（3a﹣x）+×（3a+x）×x﹣×3a×x=x2﹣ax+a2y=x2﹣ax+a2=（x﹣a）2+a2当x=a，即BE=BC，E是BC的中点时，y取最小值，△DHE的面积y的最小值为a2．点评：本题主要考查了正方形的性质，二次函数的综合应用等知识点．22.（2008•中山）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．(1)填空：如图9，AC=，BD=；四边形ABCD是梯形.(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图10，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.EEDCHFGBAPyx图1010DDCBAE图922.解：（1），，…………1分等腰；…………2分（2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)所以，一共有9对相似三角形.…………5分KK（3）由题意知，FP∥AE，∴∠1＝∠PFB，又∵∠1＝∠2＝30°，∴∠PFB＝∠2＝30°,∴FP＝BP.…………6分过点P作PK⊥FB于点K，则.∵AF＝t，AB＝8，∴FB＝8－t，.在Rt△BPK中，.……7分∴△FBP的面积，∴S与t之间的函数关系式为：，或.…………………8分t的取值范围为：.…………9分此时BC=CM