九年级数学上册专题12 点、直线与圆的位置关系（热考题型）-原卷版

/专题12点、直线与圆的位置关系【思维导图】◎考点题型1点和圆的位置关系位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部QUOTE𝑑>𝑟⇔d>r⇔点QUOTE𝑃P在QUOTE⊙𝑂⊙O的外部.点在圆上点在圆周上QUOTE𝑑=𝑟⇔d=r⇔点QUOTE𝑃P在QUOTE⊙𝑂⊙O的圆周上.点在圆内点在圆的内部QUOTE𝑑<𝑟⇔d<r⇔点QUOTE𝑃P在QUOTE⊙𝑂⊙O的内部.例．（2022·河北邯郸·九年级期末）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若，则点P与⊙O的位置关系是（

）A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆上或圆外变式1．（2021·江苏淮安·九年级期中）的半径为，点到圆心的距离，则点与的位置关系为（

）A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定变式2．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，4为半径作圆，点P的坐标是（5，5），则点P与⊙O的位置关系是（

）A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或在⊙O外变式3．（2021·江苏常州·九年级期中）数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a，⊙B半径为4．若点A在⊙B内部，则a的取值范围是（）A．a＜2或a＞10 B．2＜a＜10 C．a＞2 D．a＜10◎考点题型2三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）外接圆圆心和三角形位置关系：1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.例．（2022·江苏·九年级）如图，在平面直角坐标系中，，，．则△ABC的外心坐标为（

）A． B． C． D．变式1．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（

）A． B． C． D．变式2．（2022·全国·九年级）如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图：（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C；（2）以C为圆心，以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC．则下列说法中不正确的是（）A．∠ABD＝90° B．sin2A+cos2D＝1C．DB＝AB D．点C是△ABD的外心变式3．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）如图，△ABC和△DBC中，点D在△ABC内，AB＝AC＝BC＝2，DB＝DC，且∠D＝90°，则△ABC的内心和△DBC的外心之间的距离为（

）A． B．1 C． D．◎考点题型3三点定圆的方法经过点QUOTE𝐴A的圆：以点QUOTE𝐴A以外的任意一点QUOTE𝑂O为圆心，以QUOTE𝑂𝐴OA的长为半径，即可作出过点QUOTE𝐴A的圆，这样的圆有无数个．经过两点QUOTE𝐴、𝐵A、B的圆：以线段QUOTE𝑨𝑩AB中垂线上任意一点QUOTE𝑶O作为圆心，以QUOTE𝑂𝐴OA的长为半径，即可作出过点QUOTE𝐴、𝐵A、B的圆，这样的圆也有无数个．3）经过三点时：情况一：过三点的圆：若这三点QUOTE𝑨、𝑩、𝑪A、B、C共线时，过三点的圆不存在；情况二：若QUOTE𝐴、𝐵、𝐶A、B、C三点不共线时，圆心是线段QUOTE𝑨𝑩AB与QUOTE𝑩𝑪BC的中垂线的交点，而这个交点QUOTE𝑂O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．三点定圆的画法：1）连接线段AB,BC。2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．例．（2022·江苏镇江·九年级期末）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（

）A．① B．② C．③ D．都不能变式1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(0，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．(－1，2) B．(1，－1) C．(－1，1) D．(2，1)变式2．（2021·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为(

)A．0 B．1 C．2 D．0或1变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个◎考点题型4直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交例．（2022·江苏·九年级专题练习）P、Q是直线l上的两个不同的点，且OP＝5，⊙O的半径为5，下列叙述正确的是（）A．点P在⊙O外B．点Q在⊙O外C．直线l与⊙O一定相切D．若OQ＝5，则直线l与⊙O相交变式1（2021·上海金山·九年级期末）如图，已知中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么⊙的半径的取值范围是（

）A． B． C． D．变式2．（2022·广西钦州·九年级期末）若直线与半径为的⊙O相交，则圆心O到直线的距离可能为（

）A．3 B．4 C．4.5 D．5变式3．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移()A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm◎考点题型5切线的判定定理判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．例．（2019·山东·九年级单元测试）下列四个命题中正确的是(

)①与圆有公共点的直线是该圆的切线;②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线;③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线;④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线.A．①② B．②③ C．③④ D．①④变式1．（2019·全国·九年级课时练习）如果L是⊙O的切线,要判定AB⊥L,还需要添加的条件是(

)A．AB经过圆心O B．AB是直径C．AB是直径,B是切点 D．AB是直线,B是切点变式2．（2021·全国·九年级课时练习）如图，内接于，过A点作直线，当（

）时，直线与相切．A． B． C． D．变式3．（2021·全国·九年级课时练习）如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（

）时，直线是的切线．A． B． C． D．◎考点题型6切线的性质定理性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．例．（2022·河北保定·九年级期末）如图，是的切线，是切点，若，则（

）A． B． C． D．都不对变式1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA.若∠P=36°，且PA与⊙O相切，则此时∠B等于（

）A．27° B．32° C．36° D．54°变式2．（2021·福建南平·九年级阶段练习）如图，点为上一点，点为延长线上一点，切于点，连接．若，则的度数为（）A． B． C． D．变式3．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线．若，则∠ACB的大小为（

）A． B． C． D．◎考点题型7切线长定理切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．例．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，P为⊙外的一点，PA，PB分别切⊙于点A，B，CD切⊙于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若，则的周长为（

）A．5 B．7 C．8 D．10变式1．（2022·浙江·金华市第九中学九年级阶段练习）如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE．若∠P＝α，则∠EDF的度数为（

）A．90°﹣α B．α C．2α D．90°﹣α变式2．（2021·全国·九年级课时练习）如图，已知、是的两条切线，、为切点，连接交于，交于，连接、，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（

）A．1，2 B．2，2C．2，6 D．1，6变式3．（2022·山东德州·九年级期末）如图，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到点D，使BD＝OB，连接AD，若∠DAC＝78°，则∠ADO等于（

）A．70° B．64° C．62° D．51°◎考点题型8三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心和外心的区别：外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：例．（2021·全国·九年级课时练习）若的外接圆半径为R，内切圆半径为，则其内切圆的面积与的面积比为（

）A． B． C． D．变式1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（）A．3 B．4C． D．变式2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，中，，是内心，则等于（A．120° B．130° C．150° D．160°变式3．（2019·湖北武汉·三模）在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，AC=3，BC=4，分别用r、r1、r2、表示△ABC，△ACD，△BCD内切圆的半径，则()A．r+r1+r2= B．r+r1+r2=C．r﹣r1﹣r2=﹣ D．r﹣r1﹣r2=﹣◎考点题型9圆内接四边形圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．例．（2022·广西梧州·九年级期末）若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝1：2，则∠C＝（

）A．120° B．130° C．140° D．150°变式1．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOB=40°，BC∥OA，则∠ADC的度数为(

)A．60° B．65° C．70° D．75°变式2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（）A． B．2 C．2 D．4变式3．（2021·全国·九年级专题练习）若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（

）A． B．3 C． D．◎考点题型10圆和圆的位置关系设的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．两圆外离外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．两圆外切相交两个圆有两个公共点．两圆相交内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．两圆内切内含两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．两圆内含【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．【圆和圆的位置关系小结】例．（2021·全国·九年级单元测试）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3和4cm，且O1O2=8cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（

）A．外离 B．相交 C．相切 D．内含变式1．（2022·上海·一模）已知点，，如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，那么⊙A与⊙B的位置关系（

）A．内切 B．外