2020-2021学年高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年上海市奉贤中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共20.（）分）

1.（2020・四川省宜宾市・期末考试）函数y=3sin（2x+g）的图象可以看作是把函数y=

3sin2x的图象作下列移动而得到（）

A.向左平移g单位B.向右平移W单位

C.向左平移?单位D.向右平移?单位

OO

2.（2021♦上海市市辖区•期中考试）已知0<a将角a的终边逆时针旋转，所得的

Zo

角的终边交单位圆于P（号,y），则sina的值为（）

A2任百B2代+6Q2通-1D2乃+1

・6666

3.（2021•上海市市辖区•期中考试）设。为△ABC所在平面内一点，满足市+2南+

20C=0«则AABC的面积与ABOC的面积的比值为（）

A.6B.|C.yD.5

4.（2020♦上海市・单元测试）已知e[-%§,x3+sinx-2a=0,4y3+sinycosy+

a=0,则cos（x+2y）的值是（）

A.1B.-1C.0D.j

二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.（2019♦上海市市辖区•模拟题）己知向量荏=（1,2）,AC=（3,5）,则向量近的坐标是

6.（2021•上海市市辖区•期中考试）函数y=sin（7T%+3）的最小正周期是.

7.（2021♦上海市市辖区•期中考试）一个扇形半径是2,圆心角的弧度数是3,则此扇形

的面积是.

8.（2021•上海市市辖区•期中考试）设五=（|,sina）,b=（cosa,》，且五//b>则cos2a=

9.（2021♦上海市市辖区•期中考试）函数y=sinx-怖cosx在[0,2用的单调增区间是

10.（2021•上海市市辖区•期中考试）直角坐标系xOy中，：、，分别是与x、y轴正方向同

向的单位向量.在直角三角形ABC中，若南=2：+]，AC=3l+kj，则k的可能

值个数是.

11.（2021•上海市市辖区•期中考试）已知函数f（x）=sinx（xe[0,兀]）和函数9（X）=

夜tcmx的图象交于A、B、C三点.则△ABC的面积为.

2

12.（2021•广东省揭阳市•模拟题）已知|2|=1,\b\=21五与方的夹角为60。，则为+方在

日方向上的投影为.

13.（2021•上海市市辖区•期中考试涵数y=sin2x+2cosx+1在区间[一|兀,刃上的最小

值是：，则。的最大值为__.

4

14.（2021♦上海市市辖区•期中考试）已知函数f（x）=cosx|sinx|,下列说法正确的是

①/'（X）图象关于x=W对称；

②/■（>）的最小正周期为2兀；

③/Xx）在区间百,争上是严格减函数;

④/（x）图象关于©,0）中心对称.

15.（2021•上海市市辖区•期中考试）a<1时,记｛a,b｝血丸=a,已知f（x）=cosnx•

（sinnx,cosnx）min,x6[0,/].则y=f（x）的图象与x轴围成的图形的面积为

16.(2021•上海市市辖区•期中考试)如图，在锐角△ABC中,

BC=a,AC=b,AB=c,a>b>c,且a、b、c是

常数，。是AABC的外心，0。18。于。，0EJ.4C于

E,OF1AB-^F,设m=而•症，n=OE-OF<I=

OF-0D>则m-.n：I=.

三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）

17.（2021.上海市市辖区•期中考试）化简:

tan(a-/?)+tan/?

⑴l-tan(a-/?)tan/?

2

sin(7r-0)COS(7T+0)一企sin(8+》.

⑵cosq-0)-sin(#。)l-tan(37r+0)

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18.(2021•上海市市辖区•期中考试)设平面上有两个向量五=(cosa.sina),b=

(1)求证：向量五+石与五一3垂直：

(2)当向量百方+E与方—百E的模相等时，求a的大小.

19.(2021•上海市市辖区•期中考试)甲船在距离A港口12海里并在南偏西10。方向的C

处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东20。方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两

船距离为6西海里.乙船的速度为每小时18海里，经过20分钟航行到。处，求此时

甲、乙两船相距多少海里？甲在乙的什么方向？

20.(2021.上海市市辖区.期中考试)函数/(x)=

6cos2等+V3sin(ajx)-3(3>0)在一个周期内的

图象如图所示，A为图象的最高点，8、C为图象与

x轴的交点，且△ABC为正三角形.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若人沏)=华，且丸6(-三,|),求fQo+1)的值;

(3)若y=/2(x)-af(x)+1的最小值为5求a的取值.

21.(2021♦上海市市辖区•期中考试)f(x)=5访2%+5也20+戊)+5也20+/?).其中0、0

是常数.且0<a<p<n-.

(1)若a=p^=pm<f(x)恒成立，求m的取值范围；

(2)若a=，0屋，求关于x的方程n=/(x),x6[0,2兀]所有解的和：

(3)/(%)是否可能为常值函数？如果可能，求出/'(x)为常值函数时，a、£的值；如

果不可能，请说明理由.

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答案和解析

1.【答案】C

【知识点】函数y=Asin®x+<p)的图象与性质

【解析】解：把函数y=3s讥2x的图象向左平移?个单位，可得y=3sin2(x+》=

DO

3sin(2x+§的图象，

故选：C.

由条件根据函数y=Asin(a>x+9)的图象变换规律，可得结论.

本题主要考查函数y=Asin^x+0)的图象变换规律，属于基础题.

2.【答案】D

【知识点】任意角的三角函数

【解析】解：设角a的终边逆时针旋转看后的角为£,

则4=a+g

0

由任意角的三角函数定义可知COS.=-i,

Acos(a+

V311

・•・cosax---smax-=——，

223

又「sin2a+cos2a=1,且0VaV

联立两式可求：sina=®,

6

故选：D.

设角a的终边逆时针旋转着后的角为口，由题意可知/?=a+t，由任意角的三角函数定义

可知COS0=再利用两角和的余弦公式结合同角三角函数间的基本关系求解.

本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了同角三角函数间的基本关系，是基础

题.

3.【答案】D

【知识点】平面向量的基本定理及其应用

【解析】解：根据奔驰定理可得SABOC：SA4℃：S-OB=1：2：2,

所以SABOC=WS^ABC，

所以三角形ABC的面积与三角形80c的面积的比值为5,

故选：D.

根据奔驰定理可得SAB℃：S&AOC：^A0B=1：2：2,进而可以求解.

本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到奔驰定理的应用，属于基础题.

4.【答案】A

【知识点】函数的奇偶性、两角和与差的三角函数公式

【解析】解：设/'(建)=炉+sinu.

由①式得/(X)=2a,由②式得/'(2y)=-2a.

因为/Q)在区间［一W币上是单调奇函数，

fW=~/(2y)=/(-2y).

•••x——2y,即x+2y=0.

cos(x+2y)=1.

故选：A.

设/■(1/)="3+5勿以根据题设等式可知/(乃=2af(2y)=-2a,进而根据函数的奇偶

性，求得f(x)=-/(2y)=/(-2y).进而推断出x+2y=0.进而求得cos(x+2y)=1.

本题主要考查了利用函数思想解决实际问题.考查了学生运用函数的思想，转化和化归

的思想.

5.【答案】(2,3)

【知识点】平面向量的坐标运算

【解析】解：BC=AC-AB=(3,5)-(1,2)=(2,3).

故答案为：(2,3).

根据方=前-荏即可求出向量前的坐标.

考查向量减法的儿何意义，以及向量坐标的减法运算.

6.【答案】2

【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质

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【解析1解：函数y=sin(7T%+3)的最小正周期是?=2,

故答案为：2.

由题意利用正弦函数的单调性，得出结论.

本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题.

7.【答案】6

【知识点】弧长公式与扇形面积公式

【解析】解：由扇形面积公式可知：S=||a|r2=6,

故答案为：6.

利用扇形面积公式求解.

本题主要考查了扇形面积公式，是基础题.

8.【答案】+隹

-2

【知识点】平面向量共线的充要条件、二倍角公式及其应用

【解析】解：因为五=(|,sina),方=(cosa,［),S.a//b<

所以sinacosa—三=0,即sin2a=二，

42

所以cos2a=±V1-sin22a=±拳

故答案为：+些.

-2

由己知利用平面向量共线的坐标表示以及二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求

解.

本题主要考查了平面向量共线的坐标表示以及二倍角公式，同角三角函数基本关系式在

三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

9.【答案】［0,芍和［邛,2网

【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式

［解析］解：y=sinx—\［3cosx=2sin(x—,

令一~+2kn<x—^<2kn+(kGZ),

整理得：一W2/C7T+史(kWZ),

66

当k=0和1时，在［0,2网的单调增区间［0,9］和［¥，2兀］.

o6

故答案为：［0片］和［工？,2扪.

首先把函数的关系式通过三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型

函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要

考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

10.【答案】-6,-1

【知识点】平面向量的坐标运算

【解析】解：•.•荏=2：+宁,AC=3i+kj>

就=正-荏=；+(k-1)J

因为△ABC为直角三角形，

⑴〃=90。时，荏•前=6+k=0nk=-6;

(2)NB=90。时，AB-BC=2+k-l=0=^k=-li

(3))“=90。时，正•而=3+k(k-l)=O=ke0

综上所述，k=一6或一1

故答案为：—6,—1.

利用方=AC-AB=i+(fc-I)),再分三种情况乙4=90。或48=90。或4c=90。加

以讨论，利用向量的数量积等于零，建立关系式，再解方程求得所有可能k的值.

本题考查向量坐标的定义、考查向量的运算法则、考查向量垂直的充要条件.解答的关

键是利用向量垂直的充要条件列出等式，所得到方程的所有解即为可能的左值.

11.【答案】4

【知识点】正切函数的图象与性质、正弦、余弦函数的图象与性质

【解析】解：由函数/(%)=sinx(xE［0,兀］)和函数g(x)=

日tanx的图象交于A、B、C三点，可得4(0,0),B(%0),

令sinx=Ttanx，可得cosx=?，乂=也,'"(，：)，

所以SAABC=1X7rXl=P

故答案为：

画出两个函数的图象，求出三个点的坐标，然后求解三角形面积.

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本题考查三角函数的图象以及三角形的面积的求法，考查转化思想以及计算能力，属于

中档题.

12.【答案】2

【知识点】向量的夹角、向量的投影、向量的数量积

【解析】

【分析】

本题考查了向量数量积的定义、向量的夹角公式和向量投影的概念等知识，属于基础题.

根据|砧=1,|方|=2,乞与石的夹角为60。,算出|方+3|=夕且0+3)•W=2.再设有+石

与五的夹角为0,结合数量积公式和向量投影的定义，算出|Z+B|cos。的值，即可得到

向量日+石在方方向上的投影值.

【解答】

解：•••|五|=1,@=2,五与方的夹角为60。，

a-b=\a\x\b\xcos60°—1

由此可得0+3)2=\a\2+2a-b+\b\2

=1+2+4=7

•••|a+b|=V7"

设五+3与五的夹角为。,

■■(a+bya=\a\2+a-b=2^

(a+bya_2\/7

ACOS0

\a+b\\a\~~7~

可得向量方+方在日方向上的投影为|五十b\cos6=A/7x+=2,

故答案为2.

13.【答案】2

6

【知识点】三角函数的最值

【解析】解：,・,函数y=sin2%+2cosx+1=—cos2%4-2cosx+2=—(cosx-l)24-3

若在区间[-|兀,8]上的最小值为j

则由y=—(cos%—l)2+3=支

解得cosx=

又1xE[—^n,9]

・•・0=-Ji,

6

故答案为：

由已知中函数y=siMx+2cosx+1,由同角三角函数的基本关系，将函数的解析式化

为y=-(cosx-I)2+3的形式，进而根据函数的最小值为：，结合已知中x6[-|乃,即及

余弦函数的图象和性质，即可得到。的最大值.

本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，同角三角函数的基本关系，余弦函数

的图象和性质，其中根据已知条件，结合同角三角函数的基本关系，将函数的解析式化

为二次型函数的形式是解答本题的关键.

14.【答案】②④

【知识点】命题及其关系

匕

八

TT

[解析]TT

解：函数/(%)=cosx|s比川的图像如图所示，

由/•(_%)=/(%),可得/(%)为偶函数，由图像可得①错，②正确；

在区间尊号上为不单调函数，故③错；

/(x)的图像关于G，0)中心对称，故④正确；

故答案为：②④.

画出f(x)的图像，由图像即可判断①②③④的正误.

本题考查了三角函数的图像和性质，考查了函数的对称性，单调性和周期性，注意数形

结合思想的运用.

15.【答案晦

【知识点】定积分在解决实际问题中的应用

【解析】解：因为Xe[0,通.所以nxG[0,5,

cosnx-sinnxx6[0,看]

所以/(%)=cosnx•{sinnx,cosnx}

mincosnx•cosnx%G

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-sin2nx

1nn

-(1+cos2nx)XG(4nz2n]

y=/(%)的图象与x轴围成的图形的面积为分=f^^sm2nxdx+J^|(l4-

4n

nn

cos2nx}dx=高•(—cos2nx)>\^1+(|x+*sin2九%)|留=2

4n

故答案为：£-

oTl

先由xe[0$].确定〃X的范围，然后就能确定｛sinnx,cosgmin取值，将函数f(x)写成

分段形式，利用积分的性质17(x)dx=J：/(x)dx+，7(x)dx,分别对分段进行求取

积分在相加.

本题主要考查积分的几何意义及分段函数积分的求解，难点在复合函数的定积分求解,

属于中档题.

16.【答案】1：1：1

【知识点】向量的数量积

【解析】解：如图，连接OA，OB,OC,太

设N84C=41,/.ABC=Z2,Z.ACB=z3,/\

因为。是△力BC的外心,ODJLBC于。,OE_LAC于F//\E

E,OF1AB^F,/\

所以NDOC=ADOB=zl,AAOE=乙COE=Z2,s^—------------_^Ac

D

Z.BOF=Z.AOF=z3,

所以m=•就=|OD||OF|coszDOF

=(RcosZ.DOC)y(RcosZ.COE)cos(n—乙ACB)

=—R2cos/-lcosZ-2cosZ-3,

同理可得ri=OF-OF=—/?2coszlcosz2cosz3»I=OF•OD=­/?2coszlcosz2cosz3»

所以m：〃：I=1：1：1.

故答案为：1：1：1.

连接04,OB,OC,设=/.ABC=z2,乙4cB=43,利用三角形外接圆的

性质以及数量积的运算可求得TH=0D-OF=—/?2COSZ.1COSN2COSZ3,同理可求得〃,

计算可得结论.

本题主要考查向量的数量积运算，三角形外接圆的性质，考查运算求解能力，属于中档

题.

tan(a-0)+tan0

.【答案】解:=tan[(a—£)+£]=tan0；

17⑴l-tan(a-/?)tan/?

2

(2)原式=sin0H---------—(sinG+cos。)，

sin0-cos0

sin2j

+—HHe一(sin。+cosQ),

sin8-cos81一遍

2

sin?。+cos0—(sine+cos。)，

sin0-cos0cos0-sin0

=sin0+cosd—sind—cos0,

=0.

【知识点】三角函数的化简求值和证明、两角和与差的三角函数公式、三角恒等变换

【解析】(1)结合两角和的正切公式进行化简可求：

(2)结合同角基本关系进行化简即可求解.

本题主要考查了同角基本关系，两角和的正切公式，属于基础题.

18.【答案】解：(1)证明：：苍=(cosa,sina),1=(—［，),

(a+K)-(a-K)=a2-K2=1-1=0-

・•・向量苍+B与日-石垂直；

(2)v|V3a+b|=|a-V3&P

(V3a+K)2=(a-V3b)2>

3+1+2y/3a-b=l+3-2V3a-K.

a-b=——cosa4--sina=sin(a--)=0,

22v3y

・•・a—g=kn,kEZ,

・•・a=^+kn,kGZ.

【知识点】向量垂直的判断与证明、向量的概念及几何表示

【解析】(1)根据条件可求出m+石).0一］)=0，从而得出(五+石),(苍一方)；

(2)根据条件可得出(百方+3)2=0-旧万)2,然后进行数量积的运算可得出e.b=0,

从而可得出sin(a-g)=0,这样即可求出a的值.

本题考查了向量数量积的运算，向量坐标的数量积运算，向量垂直的充要条件，考查了

计算能力，属于基础题.

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19.【答案】解：作出符合题意的图形，AC=12,BC=6V3,

Z.CAB=30°,

△4BC中，由正弦定理得,126V3

sinzXFCsin30°

所以sin/ABC=g

由AC<BC知N4BC为锐角，

所以cosNABC*,

△BCO中，由余弦定理得C0=yjBC2+BD2-2BC-BDcosLB=

2+62-2X6X6V3X^=6日

62+(6烟2-(6何42

由余弦定理得，cos480c=

2x6x6企2

所以NBDC=135°,1180°-135°+20°=65°,

所以甲、乙两船相距6位海里，甲在乙的北偏西65。方向.

【知识点】解三角形的实际应用

【解析】结合实际问题作出图形，然后结合正弦定理及余弦定理即可直接求解.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解实际问题中的应用，属于中档题.

20.【答案】解：(1)函数/(x)=6cos2号+V3sin(o)x)—3=3cosa)x+\[3sina)x—

2V3sin(a)x+》

由于AABC为正三角形，所以三角形的高为2百，所以BC=4.

所以函数/(x)的最小正周期为7=4义2=8,所以3=%

从而得到f(x)=28sin《x+§.

(2)若/(&)=券，则2百5也(/殉+$=#，整理得sinf^Xo+g)=|,

由于%06(-？,勺，所以=％o+?e(—所以COS(W%0+=)=3

所以/(Xo+1)=2V3sin(^x0+?+"=2V3[sin(^x0+^)cos^+cos(^x0+W)sing=

2g白分色当=喳

(3)/(x)=2V5sin(3x+g)的值域为|-2百,2g],

令t=/(x),则te[-2V3,2V3].

所以y=/2(x)-a/(x)+1转化为g(t)=t2-at+1,对称轴为£=

当m>2b,即a>4VW，g(t)7n加=5(473)=12-2遮a+1=；,解得a=舍)；

当三一2业即a4—4b时，=或一4b)=12+2ga+1=｝解得Q=

-警(舍)；

当-2g<|<2A/3,EP—4A/3<a<4g时，g(t)min—g6)=卜_,+1=$解得Q=

±V2.

综上可得a=±V2.

【知识点】函数产4sin®x+(p)的图象与性质、三角恒等变换

【解析】(1)直接利用函数的关系式的恒等变换和函数的图象的应用求出函数的关系式;

(2)利用(1)的结论，进一步利用角的变换求出结果；

(3)求出“%)的值域，令t=/(%),利用二次函数的性质即可求解。的值.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函

数的图象与性质，考查转化思想与分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中档

题.

21.【答案】解:(l)/(x)=sin2%+sin2(x+])+sin2(x+5)=sin2%+2cos2x=1+

cos2x,

所以/(%)N1，

所以m<1.

(2)所以/(%)=sin2x+sin2(x+，)+sin2(x+；)

31Ti27r

=---(co