2020-2021学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高一（下）期末

数学试卷

一、选择题（每小题5分，共60分）

1.（5分）一平面截一球得到直径是的圆面，球心到这个平面的距离是4a”，则该球的

体积是（）

兀兀兀回兀

A1003R2083r5003N416A3

a・—o—cm—z—cm—z—cm-----三cm

00OO

2.（5分）设有两条直线〃?，〃和三个平面a,0,丫，给出下面四个命题：①。00=机，n//

P；②a_L0,m<ta=m〃a；③a〃供©a±p,a_Ly=0〃Y其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

acr

3.（5分）若｛”“｝为等比数列，as*an=3,43+a>=4,则——=（）

a15

A.3B.AC.3或D.-3或

333

4.（5分）在△ABC中，A=60°,则「_a[b+c._的值为（）

sinA+sinB+sinC

人等B多

5.（5分）如图是一个正方体的表面展开图,则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的

是（）

C.高D.考

6.（5分）如图正方体ABC。-AiBiCi。中,M是正方形ABCO的中心，则直线4。与直

线BiM所成角大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.（5分）在AABC中，A,B,C所对的边分别为a,h,c,的52c上且，则△ABC的

22a

形状是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

8.（5分）在正方体ABC£>-4BICIOI中，与棱A41异面的棱有（）

A.8条B.6条C.4条D.2条

9.（5分）直三棱柱ABC-AiBiCi中，AB=AC=AA\,ZBAC=60°,则ACi与面BCCiBi

成角的正弦值为（）

A.区B.返C.逅D.返

4433

10.（5分）表面积为3247T的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是14（）

A.567B.576C.240D.49ir

11.（5分）等比数列｛即｝中，句=2,4=2,数列b=-7-----2-----的前〃项和为

n（a1tH-1）（an-D

T,„则710的值为（）

A2046B4094c1022D_510

"2047-4095-1023'~5U

12.（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，面积

最大的面的面积为（)

D.4

13.（5分）如图，正方形0/5。的边长为1c，"，它是水平放置的一个平面图形的直观

14.（5分）已知圆锥的表面积为anr,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面

半径为&,nbsp\m.

15.（5分）/\48（7中，/4^=135°,AC=V§,且△A8C的面积为加.

16.（5分）在正方体ABCO-AiBCiQ中，点P是侧面81cle8内（不包含边界）的一个

动点，且APLQiB,点，在棱。。上运动，则二面角”-AC-P的余弦值的取值范围

三、解答题（17题10分，其余每小题10分，共70分）

17.（10分）如图，在直四棱柱A8C£>-481。。中，底面ABCO为菱形，E为。0中点.

（1）求证：8。|〃平面4CE；

（2）求证：BD\LAC.

5

18.(12分)如图，已知在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD是正方形，E为PC的中点,

M为AB的中点

(1)求证：平面NME〃平面B4O：

(2)求异面直线ME与南所成角.

19.(12分)已知数列｛斯｝的前〃项和为8,且m=3,2%+3=加1.

(1)证明数列｛而｝为等比数列；

(2)设益=log3如，求数列［^—｝的前〃项和方.

20.(12分)如图，边长为2的正方形ACOE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点

为M,且AC=BC,

(1)求证：平面E8C；

(2)求直线EC与平面A8E所成线面角的正切值.

21.（12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,喘=Q+b,sinA-sinC），向

量n=（c,sinA-sinB）,且力

(1)求角B的大小;

(2)设8c的中点为。，且A£>=F，求a+2c的最大值.

22.(12分)如图，在三棱锥A-8a)中，平面AB。_L平面BCD,。为BO的中点.

(1)证明：OALCD-,

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，OE=2E4,求三棱锥A-

BCD的体积.

2020-2021学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高一（下）期末

数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共60分）

1.（5分）一平面截一球得到直径是6c5的圆面，球心到这个平面的距离是4cm,则该球的

体积是（）

416K

A100K3R208兀3r500打3nV33

人・—--cmD・—--cm—~—cm口・-----三----cm

OOOo

【解答】解：一平面截一球得到直径是6。"的圆面，就是小圆的直径为6,

又球心到这个平面的距离是5cm,

所以球的半径是：5C7〃

33

所以球的体积是：IJTX5=50°兀

57cm

故选：C.

2.（5分）设有两条直线"?，〃和三个平面a,p,丫，给出下面四个命题：®anp=/M,n//

P：②a_LB，今,”〃a；③a〃0；④a_LB，a_Ly=0〃Y其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：对于①，若〃ua或〃u0,故①错误；

对于②，设aCp=a,则"_L0,

又加_L0,所以〃?〃"，故②正确；

对于③，：a〃例.♦.%与。没有公共点，故③正确；

对于④，若则平面B与平面丫可能平行，故④错误.

故选：B.

3.（5分）若｛斯｝为等比数列,。5*。11=3,“3+03=4,则_^旦=（）

a15

A.3B.AC.3或4D.-3或-工

333

【解答】解：•••｛”“｝为等比数列。5・。11=3,

«13-3 ①

a3+a\3-4 -, ',②

由①②得。3=3,413=5或。3=1，413=4

」°=」或7,

・・q

3

名-=」或3,

a155

故选：C.

4.（5分）在aABC中，A=60°,6=1、回，则1_a+b+c___的值为（）

sinA+sinB+sinC

【解答】解：*.*S^ABC=-^fecsinA==yf2

225

Ac=4

根据余弦定理有：a[=b1+c1-7/?ccosA=l+16-2X2X4XA=13

5

所以，ci—713

根据正弦定理f=[b='，则：

sinAsinBsinC

_____a+b+c______a_2^39

sinA+sinB+sinCsinA3

故选:A.

5.（5分）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的

是（）

【解答】解：根据正方体的表面展开图，复原成正方体.

故选：c.

6.（5分）如图正方体ABC。-AiBiCiA中，M是正方形ABC。的中心，则直线4。与直

线81M所成角大小为（）

C.60°D.90°

【解答】解：如图，将4。平移到BiC,连接MC7c是直线4。与直线BiM所成角

设棱长为5,则BIC=2、/7，MC=®,BIM=M

COSNMBIC=四,

2

：.ZMB\C=30°,

7.C所对的边分别为a,b,c,cos2c上也，则△ABC的

C0S22a

形状是（)

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【解答】解：•..cos2c_a+b=l+cos+,

26a2

・•・可得a+〃=a+〃cosC,可得：cosC=—,

a

522

・,・由余弦定理可得：cosC=«+b-整理可得：〃2=必+/,

4aba

...△A8C为直角三角形.

故选：A.

8.（5分）在正方体ABC£>-Ai8Ci£>i中，与棱A41异面的棱有（）

A.8条D.2条

【解答】解:

正方体ABCD-AiBiCsDi中,

与棱A4异面的棱有：BC,CD,CiD\,B1C5.

故选：C.

9.（5分）直三棱柱ABC-481Ci中，AB=AC=A4i,ZBAC=60°,则ACi与面BCC1B1

成角的正弦值为（）

A.逅B.返。•乎。・亨

44

【解答】解：直三棱柱ABC-A1B1C3中，

：.BB\LAD,又：AB=AC；

：.AD±BC,BCCBB2=B；

.•.AC_L平面BCC1B1；连接C7。，由（1）AOJ_平面8CG81；

则AACiD即为直线ACi与面BCCiBi所成角；设AB=AC=AA\=],

在直角△AC5。中，4。=返7=圾，sinZACiD=-^_=2ZE；

2AC84

即直线AC8与面BCBC1所成角的正弦值为通.

4

故选：A.

10.（5分）表面积为3247r的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是14（）

A.567B.576C.240D.49n

【解答】解：设球的半径为r,则4m2=324TT,解得r=4,

设正四棱柱的底面边长为，，，则正四棱柱的体对角线为序次，

解得4=2,

，正四棱柱的表面积为S=2X86+4X8X14=576,

故选:B.

11.（5分）等比数列｛〃”｝中，ai=2,q=2,数列b=-；-------三------‘J的前”项和为

n（an-l）

T”，则710的值为（）

A.B4094c1022口

2047'4095'1023'亩

【解答】解:由题意,可知如=2・2"-3=2","6N*,

n（attl.1-3）（an-l）

2n

（4n+1-l）（4n-l）

=1.1

7n-l泗-1

.*•710=85+62+・+60

=_1_-_3_+_J_-J+.+2.J

41-122-624-l23-l210-l211-1

31

21-62U-6

=2046

2047,

故选:A.

12.（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，面积

最大的面的面积为（）

D.4

【解答】解：由三视图可得在长方体中，多面体为三棱锥，AC=2,

则可得BC=2娓,AB=2y[^/7,

SAXBC=SC・AC=^・2V§.2=2\^'SABCD=^DB・CD=1'・4・7=4'SAACD=^AC・CD

=y-4'2=1,SA>IBD=/BD・AD=+4・2泥=4近，

由以上可得，三角形ABZ）的面积最大，

故选：B.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.（5分）如图，正方形045。的边长为la”，它是水平放置的一个平面图形的直观图

2A/2-.

【解答】解：由于原几何图形的面积：直观图的面积=2&：8

又二•正方形O\A\B^C\的边长为

：•S04A\B}C5—i

原图形的面积S=2A/7

故答案为：2&

14.（5分）已知圆锥的表面积为am2,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面

半径为Ja m.

【解答】解：设圆锥的底面半径为r,母线为/,即/=2r,

・'・S我面积=冗/+冗”=7U，2=。,

3号

故答案为：

,AC=V3且4的。的面积为^/打尊_.

15.（5分）△ABC中，ZBAC=135°（

【解答】解：AABC中，NBAC=135°,ACf/^^,

可得名48乂。$皿/&4。=工«・返=加，

237

解得AB=4f

设AB边上的图为h,

则2X4/?=77，

2

可得人=逅，

2

故答案为：YG.

2

16.（5分）在正方体ABC。-481cl。中，点P是侧面81cle8内（不包含边界）的一个

动点，且APLQiB,点〃在棱上运动，则二面角”-AC-P的余弦值的取值范围

是「昱,

3-3

c,

连接ACABi，B\C,BD,DjDYAC,

又DDiCBD=D,D\DB,得ACJ_B£）6，

同理可证ABi_LBDi，而AB5cAe=A,_L平面ABC,

:点P是侧面为C1CB内（不包含边界）的一个动点，且APLO1B,

；.产在线段88c上（不含端点），则平面%C与平面BiAC重合，

点”在棱上运动，设ACCBD=03。，HO,

由4CJ_平面可得BiOJ_AC,H0J_AC3为二面角H-AC-P的平面角.

当“与£>1重合时，/。。历最小，此时85/。1。8|=853/0818=28$5/。8|8-1,

设正方体的棱长为4,则COSN£>IOBI=7COS2/OBIB-6=2X（/产_]=_|；

当“与。重合时，此时/OOBi最大，cos/OOB8=-cos/8O8i=「&=八巨.

M3

二二面角H-AC-P的余弦值的取值范围是[-返，.1].

32

故答案为：[-返，Z].

33

三、解答题（17题10分，其余每小题10分，共70分）

17.（10分）如图，在直四棱柱A8CD-A181C1Q中，底面A8C。为菱形，E为DDi中点、.

（1）求证：BDi〃平面ACE；

（2）求证：BDilAC.

5

【解答】证明：(1)设AC与8。交于点。，接0E,

'♦,底面ABCD是菱形，

.♦.0为。B中点，

又因为E是。。的中点，

：.OE//D\BB,

「OEu面AEC,8。5c平面AEC

平面ACE.

(2)•.•底面ABCD是菱形,

：.AC-LBD,

底面A8CD,

.'.DD4LAC,S.DBQDDi=D,

平面BDBiDe.

•.,BQu平面BDBiDg,

：.ACVBD\.

18.(12分)如图，已知在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是正方形，E为PC的中点,

M为A8的中点

(1)求证：平面NME〃平面PAD-,

(2)求异面直线ME与以所成角.

p

【解答】解：（1）证明：连AC交BD于N,则N为AC的中点,

因为E为尸C的中点，所以NE为的中位线，

又因为NEu面EBD且弘0面EBD,所以雨〃面EBD,

因为B4u平面%£）,NEC平面雨£>,

又由"为AB的中点，可得NM//A。，

因为4£>u平面以。，MNC平面以。，

又因为MMNEu平面NME,

所以平面NEM//平面PAD,

（2）取PD的中点G,连AG,可得EG//CD,且EG卷CD，

由AM//CO,且AM=^CD，所以AM//EG且AM=EG,

所以四边形AMEG为平行四边形，所以AG〃ME,

则/BIG为异面直线雨与ME所成的角，

又由△以。为等边三角形，

所以NPAG4/PAD=30°•

0

19.（12分）已知数列｛斯｝的前“项和为S”且ai=3,2s"+3=4+1.

（1）证明数列｛斯｝为等比数列；

（2）设bn=log3a,i,求数列［——---）的前〃项和Tn.

^n^n4-l

【解答】（1）证明：由〃i=3,4S〃+3=a〃+i，得6s72-1+3=。〃（"22）,

两式相减可得2斯=〃八+1-(〃25),得斯+1=3〃〃(〃23),

又〃2=2〃7+3=9,满足47=30,所以｛念｝是首项为4,公比为3的等比数列.

(2)由11

知an=3L♦.・%=1。86211=1。833=以令.=则小

MnMn4-l

1141

bQd7n(n+l)nn+1

所以刀尸C7+C2+…Cn=1--+A-_1+…+旦-----=_U

223nn+1n+1n+1

20.(12分)如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，4。与CE的交点

为M,且AC=BC,

(1)求证：AMJ_平面EBC；

(2)求直线EC与平面ABE所成线面角的正切值.

【解答】(1)证明：•.♦ACOE是正方形，

•.,正方形ACCE所在平面与平面ABC垂直，ACLBC,

平面ACDE,

：AMu平面ACOE,：.AM±BC,

■:ECCBC=C,平面EBC.

(2)解：由题意，以CA为x轴，CO为z轴，

建立空间直角坐标系，

•.•边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直,

AO与CE的交点为例，AC1BC,

：.A(2,7,0),2,5),

E(2,0,8),0,0),

AB=(-2,2,0),AE.3,2),

设平面ABE的法向量三=(x,»

二•百=-2x+5y=0,取e,得ii,8),

,n*AE=2z=2

CE=(2,0,6),

设直线EC与平面ABE所成线面角为。,

sin0=|cos<五，茁>|=|晟曷,

.*.0=30°,；.tane=返.

3

直线EC与平面ABE所成线面角的正切值为返.

7

21.(12分)在△回€1中，角A,B,C的对边分别为a,b,c'=Q+b,sinA-sinC>向

量n=(c,sinA-sinB),且力

(1)求角B的大小；

(2)设BC的中点为O,且求a+2c的最大值.

【解答】解：(1)因为昌力7，所以(a+b)(sinA-sinB)-c(sinA-sinC)=0.

由正弦定理可得(〃+〃)(a-b)-c(a-c)=0,即〃-臣=讹.

Q22

由余弦定理可知c0sB=a+c=ac」

8ac2ac5

TT

因为3E(0,n)

D3

(2)设NBA£>=。，则在△BA。中，由B=^8£(0,得-)•

由正弦定理及ADRi有［综-=——聋------

sinB.,2兀a、.兀

sink-y)sirry

所以BD=4sinB,AB=2sinC^-0)=«cos8+sin8，

5

所以aYBDEsinB,c=AB=s/3cos0+sin8,

兀

从而a+2c=3j§cos0+6sin0=5>/3sin（8

由8