2020-2021学年高一数学挑战满分期末冲刺卷8平面向量三角恒等变换解三角形（解析版）

专题08

平面向量、三角恒等变换、解三角形压轴题（共39题）

一、单选题

1.（2021•江苏高一课时练习）设。为△ABC所在平面内一点，满足2砺_7砺—3诙=。，则AABC的面积

与ABOC的面积的比值为（）

,，8〃12

A.6B.-C.—D.4

37

【答案】D

【解析】

先设皈=2OAOB；=-7OB,反;=3OC，于是得到点。是仆AWG的重心，则

5.密乌=鼠再结合三角形面积公式即可求出AABC的面积与ABOC的面积，进而得到答案.

不妨设两=2弧前=-7砺可=3反，如图所示,

根据题意则函+函+西=0,

即点。是^A\B\C\的重心，所以有=SAOAG=Saog=k,

SQBC_OBOC_iSMAB_OAOB1OAOC_\

S3GOB「℃I21'%仍O\OBX14'S.QAG。%。。16'

那么SQBC=4SQAB=AkSQC=Jk,

q-Q—S-

—°AOAB丁°^OBC-14621J21

故4A8C的面积与^BOC的面积的比值为斗一=4.

-k

21

故选：D

【点睛】

关键点点睛：根据重心的性质可得s△。4用=S4OAG=SAOBG=k,再由三角形面积公式可得

SORCOB0C11

甘一=HRnr=缶,即S.OBC=须%,同理可得其他三角形面积，再利用S.ABC=S^+S^-S^

UDOABOAColiC

»&OB1G\'zi21

即可求解，属于难题.

71

2.（2021•江苏高一课时练习）梯形A3CD中A8平行于CO，A8=2,CO=1,ND4B=—,P为腰AO所在

4

直线上任意一点，则日而+2定|的最小值是（）

A.4gB.472C.4D.3限

【答案】B

【解析】

利用建系的方法，假设AO=r,AP=m,分别计算而,无以及3方+2定，然后令％=丝〃？，最

2

后根据二次函数的性质可得结果.

依据题意，建立如图所示平面直角坐标系

设AD=t,AP=m,

71

由ND4B=—,

4

所以P停肛李例1(2,0)

则方/2-迎也-也/京/也-也加+L也.也〃;

（22）（2222J

所以3P月+2尸e=（8+"一迪九"—还加

I22J

令k=@—当m，贝iJ3而+2]=（8+Z,Z）

所以R而+2PC\=J(8+4+22=也如+16后+64=j2(t+4『+32

当左=T时，有|3而+2斤|=40

Imin

故选：B

【点睛】

木题考查利用建系的方法解决向量的问题，本题关键在于采用建系，用坐标表示向量，几何问题代数化，便于计

算，属难题.

3.（2021.江苏扬州市扬州中学高一月考）在AABC中，。*"分别为4,8,。的对边，。为AABC的外心,

且有AB+BC=^^AC，sinC(cosA-73)+cosCsinA=0,若加=%而+)/，x,yeR,贝i]

x—y=

A.-2B.2C.73D.-73

【答案】A

【解析】

由AB+8C=2叵AC，利用正弦定理得到c+a=2叵Z?，再由sinC(cosA-6)+cosCsinA=0,运

33

用三角函数的和角公式和正弦定理得到小=6c,进而得到。=。，然后利用余弦定理，求得角B,A,C,再由

x亍=方丽+），衣的两边点乘瓶,衣，运用平面向量数量积的定义和性质，得到x,y的方程组求解.

因为AB+BC=^AC，

3

2\/3

所以C+Q=----b，

3

又因为sinC(cosA-百)+cosCsinA=0,

所以sinCcosA+cosCsinA=\/3sinC，

所以sin(C+A)=gsinC,

所以sin5=GsinC，

即。=V3c，

所以4=C,

a2+c2-b2c24-c2-3c2_1

所以cos3

2?~~2

所以3=120,A=C=3(r,

如图所示：

1c

由正弦定理得:R=AO=------=c，

2sinC

因为Xd=x而+y/,

则宓丽二%质+丁相前，

所以■1=xc2+yV3c2，

22

即2x+3y=1,

则荷.恁=%而•恁+y正2,

33

所以一/=—xcr+yhc1,

22*

即x+2y=1,

x=-l,y=1,

x-y=-2.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，平面向量的数量积的定义和性质，还考查了运算求

解的能力，属于难题.

7

4.(2021•江苏南通市•启东中学高一月考)已知AABC的内角A,8,C的对边分别为a,"c,且cosA=—.M为

8

△AHC内部的一点，且石丽+〃砺+c而。=6,若赤=》而+以正，则％+》的最大值为()

4551

A.-B.-C.-D.—

5462

【答案】A

【解析】

把已知等式中近百，碇向量用血,〃，丽表示后可求得x，y,由余弦定理得仇C的关系，求出，一的最

b+c

值，再由不等式性质得结论.

aMA+bMB+cMC=Q<

；•aAM^hMB+cMC=h(,AB-AM)+c(AC-AM),

：.AM=---AB+---AC,又赤=+

Q+O+CQ+0+C

7b+c1

bcx+y=-----------=-----------

・・x=----;----,y=;-----，a+0+ca，

Q+/7+Ca+h+C-----------Hl

b+c

715

由余弦定理得a2=b~+c2-2bccosA=b2+c2——he=(/?+c)2-----be,

44

由bcK出+，')](当且仅当b=c时取等号)，得之s+c)2_"x+。匚,

44416

（i1x+v<----=-4

•••——>-,1一1,5,即x+y的最大值是一.

b+c47+15

4

故选：A.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值.解题关键是由平面向量基本定理把国》用

a,b,c表不出来.

5.（2020•江苏省扬州市教育局高一期末）在平行四边形ABCO中，AB=近,AD=2,NA=135。，E,F

分别是AB,上的点，且荏=丸丽，AF=^iAD,（其中e（0,l））,且44+〃=1.若线段所的中

点为加，则当|扬q取最小值时，:的值为（）

A.36B.37C.38D.39

【答案】B

【解析】

利用结合向量线性运算、数量积运算，以及4/1+〃=1,求得当儿〃为何值时|而4取得最

小值，进而求得W的值.

A

依题意可知AB•AD=|AB|-|AD|•cos135°=-2,

;=_].=L37u

c41一41时，②取得最小值，此时"=1—44=二，所以巴=37.

2341%

故选：B

【点睛】

木小题主要考查平面向量线性运算、数量积运算，模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

6.（2019•江苏南通市•海安高级中学高一期中）已知点O是AABC内一点，满足砺+2而=mOC，=亍，

3AXBC/

则实数m为（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】D

【解析】

1___2__._m______SUD

将已知向量关系变为：-QA+-08=-0C,可得到一。。=0。且AB,。共线；由==•和

3333SwcCD

反,而反向共线，可构造关于，〃的方程，求解得到结果.

由砺+2丽=川花得：+=

设生反=而，则1砺+,砺方,AB,。三点共线

333

如下图所示：

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到

向量模长之间的关系.

7.（2019•江苏南通市•高一期末）在A4BC中，角A,B,。所对的边分别为a,b，c,a2+/?2=2019c2，

2tanA-tanB

则tanC(tanA+tanB)的值为

A.2017B.2018C.2019D.2020

【答案】B

【解析】

化简式子得到2sm4"6cosC,利用正弦定理余弦定理原式等于±±二£二，代入数据得到答案.

sin2Cc2

2sinAsinB

2tanA-tanB_cosAcosB_2sinAsinB_2sinAsinBcosC

sinC2

tanC(tanA+tanB)-sinC(siriA+sin§)一+-sinC

cosCcosAcosBcosC

利用正弦定理和余弦定理得到：

2sinAsin6cosclaba2+h2-c2a2+b2-c2八〜八

----------5---=1------=---；------=2018

sin-Cc2labc'

故选B

【点睛】

本题考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.

8.(2020•南京市江宁高级中学高一月考)已知2sin6—cos6=l,则"+1的值为()

sinO-cosO+l

A.-B.0C.2D.0或2

5

【答案】D

【解析】

nn

由2sin6-cose=l,通过二倍角公式，得到cos—=0或2sin—=c­

222

(.o，丫.20..60

原式化简为八朝泸八啕=」sin-一4-cos—2,+cos2———sm-

w再分别求解.

sinO-cosO+l(.Q0\(.0.60

sin—+cos-cos"——sin2-

I22)[22

因为2sin6-cose=l

所以2sin6=cos6+l

ggg

所以4sin—cos—=2cos2—

222

解得cos—=0或2sin—=cos—

222

9

当cos—=0时

2

sin6+cos6+1

=0

sinO-cosO+l

当2sin—=cos—时

22

sin，+cos，+l

=2

sinB-cosB+l

故选：D

【点睛】

本题主要考查了二倍角公式及其应用，不觉考查了变形运算求解的能力，属于中档题.

9.(2020•南京市江宁高级中学高一月考)在锐角AABC中，角A8,C的对边分别为a,b,c,MBC的面积为S,

2vI

若sin(A+C)=-^~，则tanC+；；-「、的最小值为()

b--c2tan(B-C)

A.72B.2C.1D.2加

【答案】A

【解析】

2s

sin(A+C)=-3~r结合面积公式，可得出〃由余弦定理得出Q—2CCOS8=C,再用正弦定理

b~-c

化边为角，得出5=2C,把所求式子用角C表示，并求出角C范围，最后用基本不等式求最值.

2s29

因为sin(A+C)=r——？，即sin8=—----r

b~-cb>-c

所1以sin5=,因为sinBwO,

b-c

所以〃2=/+qc，由余弦定理匕2=/-2accosB，

可得a-2ccosB=c,

再由正弦定理得sinA-2sinCeosB=sinC,

因为sinA-2sinCeosB=sin(B+C)-2sinCeosB=sin(B-C),

所以sin(B-C)=sinC,所以8—C=。或5—。+。=%,

得3=2C或3=万（舍去）.因为AABC是锐角三角形,

°<C<f

TTjrjr

所以《0<2C<一,得一<C<一,即tanCG,D-

264

71

0<TT-3C<-

2

]

所以tanC+=tanC+--------->丘,

2tan(B-C)2tanC

当且仅当tanC=Y2,取等号.

2

故选:A

【点睛】

本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查基本不等式求最值，属于较难题.

10.（2020•江苏南通市•高一期末）已知锐角三角形AABC的内角A,B,C的对边分别为匕，C.且

b=2asinB则cosB+sinC的取值范围为（）

A.（0而B.Q,屈。.隹|）D-

【答案】C

【解析】

利用正弦定理化简已知条件，由此求得sinB进而求得5的大小.根据三角恒等变换化简cos8+sinC,由此求

得取值范围.

依题意b=2asin8,

由正弦定理得sinB=2sinAsinB,

1R

所以sinA=—，cosA=—

22

7T

由于三角形ABC是锐角三角形，所以A=—.

4nTT

A+B>—

2兀c71

n—<B<—

32

0<B<-

2

=cos8+Leos8+且sinB^~cosB+—sin6

所以cosB+sinC=cosB+sin

2222

Sin(8+3

由于空<8+工<型，所以sin(8+H]e

33613八22)

所以6sin(B+g]e坐，g-

I3)I22j

故选：C

【点睛】

本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数值域的求法，两角差的正弦公式，属于中档题.

11.（2019•江苏徐州市•高一期中）在AABC中，角A、B、。所对的边分别为。、b、c,若AA8C为锐角三

角形，且满足。2一/二.。，则一1--------1—的取值范围是

tanAtanB

D.。收）

【答案】A

【解析】

根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A、8关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围.

因为-a2=ac，

所以-2accosB-ac/.c—2acosB-a.\smC-2sinAcosB=sinA,

sin(A+8)—2sinAcos8=sinAsin(B-A)=sinA/.B-A=A,B=2A

1_1111-tan2A1+tan2A141、

因此二一------------=-(ztanA+-------),

tanAtanBtanAtan2AtanA2tanA2tanA2tanA

因为A48C为锐角三角形,

jrjr717rTT、/3

所以0<A<—,0<B=2A<—,0<C=7i-B-A=n-3A<——<A<一,L<tanA<l

222643

因为y=2（x+L）在（@,1）上单调递减，所以」-----?一e（l,空），选A.

2x3tanAtanB3

【点睛】

本题考查余弦定理、正弦定理、二倍角正切公式以及函数单调性，考查综合分析求解能力，属较难题.

12.（2021♦江苏）在A48C中，B=Zc=近,AC=2屈,AC的中点为。，若长度为3的线段尸。（P

412

在。的左侧）在直线8C上移动，则AP+DQ的最小值为

AV30+2V10D回+3质

22

C而+4厢D回+5厢

'2'

【答案】B

【解析】

先根据正弦定理求得BC,AB,以3。所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据对称性和两点间的距离公式,

求得所求的最小值.

2屈_BC_AB

由正弦定理可得二方=方=亚，BC=6,AB=3近+瓜

224

以BC所在直线为X轴，则A（0,3+V3）,P3,0）,Q（。+3,0）,0（上乎，言"）

则AP+£>Q表示x轴上的点p与A和（一过卢,把手）的距离和，

利用对称性，（—告叵，柠8）关于x轴的对称点为后（一三叵，一言叵），

可得AP+DQ的最小值为AE二闻+3何

2

【点睛】

本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查距离和的最小值的求法，考查坐标法，属于中档题.

二、多选题

13.(2020•苏州市相城区陆慕高级中学高一月考)在AABC中，角A,民C所对边分别为a,4c.已知

S+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,下列结论正确的是

UUUUUU

A.a:〃：c'=7:5:3B.AC-/4B<0

C.-=-=-D.若6+c=8,则ZUBC面积是”走

7534

【答案】ABD

【解析】

设匕+C=4Z,C+Q=5Z,Q+Z?=6R(A>0),求出。力,c的值，可得A；由正弦定理，

sinA:sinB:sinC=6/:Z?:c=7:5:3,可判定C,由余弦定理cosA=-g,AC-AB=becosA<0，可判

定B；由Z?+c=8,结合A结论，可计算Ac,50阮=；bcsinA,可判定。

753

设〃+c=4A,c+a=5攵,a+b=6k（左>0）,则a=—k,b=—k,c=一k,故

222

a:b:c=7:5:3>即A选项正确；

9

\242+4-9

24

b+C~-Q-4

一

又cosA=一5_3=一耳，故ACSA5=Z?ccosA<0，8选项正确;

2bc

2-2-

由正弦定理，sinA:sinB:sinC=a:Z?:c=7:5:3,。选项错误；

若Z?+c=8,则％=2,故〃=5,c=3,A=120",所以卜人人.二1Z?csinA="&,。选项正确

ZVtoC24

故选：ABD

【点睛】

本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题

14.（2021・江苏高一课时练习）设点用是AABC所在平面内一点，则下列说法正确的是

——1一1一

A.若AM=—AB+—AC,则点〃是边8C的中点

22

B.H防=2通—ZC若，则点M在边8C的延长线上

C.若丽=一的一加，则点A/是人43c的重心

D.若AM=xAB+yAC，且x+y=+,则AWBC的面积是的面积的万

【答案】ACD

【解析】

判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点M的位置（D中若能判断M位置也是一定得出面积比值）.

A中：AM=-AB+-AC,^>AM=-AB+-AC^-AM--AB=-AC--AMB|J：

22222222

BM=A/C，则点M是边BC的中点

B.4瓶=24分一最;，04瓦—4月=4月一衣;.・.8贬=。方则点加在边。3的延长线上,所以B错误.

C.

A

设8c中点D,则AM=-BM-CM>AM=-BM-CM=MB+MC=2MD，由重心性质可知C成立.

D.AM=xAB+yAC且x+y=/n2AM-2xAB+2yAC,2x+2y=1设A。=2AM

____.____1

所以4。=2》45+2丫40,2%+2丫=1,可知3,C,。三点共线，所以△MBC的面积是AA3c面积的万

故选择ACD

【点睛】

通过向量加减运算，进行化简去判断点M的位置，难度较大.

15.（2021•江苏苏州市・南京师大苏州实验学校高一月考）设A，4，A3,A4是两两不同的四个点，若

%=/iA4，且;+'=2,则称4，A,调和分割4，4.现已知平面上两点C,D调

A〃

和分割A,8,则下列说法正确的是（）

A.点C可能是线段AB的中点

B.点。不可能是线段AB的中点

C.点C,。可能同时在线段A8上

D.点C,。不可能同时在线段A3的延长线上

【答案】BD

【解析】

由题意设A（0,0）,3（1,0）,C（c,0）,结合己知条件得,+工=2,根据选项考查［+'=2的解,

cdcd

用排除法选择答案即可.

由已知不妨设A（0,0）,8（1,0）,C（c,0）,D（d,0）,

由C,D调和分割A,8可知，(c,0)=4(l,0),(t/,0)=//(1,0),.\A=c,R=d

11cli

代入：+—=2得一+二二2(*)

几〃cd

对于AB,若C是线段AB的中点，则。=,，代入(*)得，〃不存在，故C不可能是线段AB的中点，同理。不

2

可能是线段AB的中点，故A错误，B正确；

对于C,若C,。同时在线段4B上，则0<c〈l,OWdWl代入(*)得，c=d=l,

此时C和。点重合，与己知矛盾，故C错误；

对于D,若C,。同时在线段AB的延长线上时，则c〉l,d>l,则1+,<2,这与』+，=2矛盾，所以C,

cdcd

D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确；

故选：BD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查新定义的应用问题，正确理解新定义的含义是解题的关键，考查学生的逻辑推理与特殊与

一般思想，属于较难题.

16.(2021•江苏苏州市•高一期中)奔驰定理：已知。是AABC内的一点，ABOC，△40C，AAQB的面积

分别为SA，SB，Sc，则邑•砺+SB•砺+S0•反=。."奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为

这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(MercedesZ?e/z)的/og。很相似，故形象地称其为'‘奔驰定理若O是锐角

△ABC内的一点，A,8,C是AABC的三个内角，且点。满足。屋0月=04元=比.西，贝U()

A.。为△ABC的垂心B.ZAOB=7i—C

C.|Q4|:|oB|:|oc|=sinA:sinB:sinCD.tanAOA+tan+tanCOC=0

【答案】ABD

【解析】

利用数量积的运算律可整理得到OB_LC4,同理Q4_LBC,OCA.AB,知A正确;

推导得到/AOE=ZC，由此可证得B正确;

由数量积的定义和B的结论可求得0A=4Ho@cosC,同理得0匣，元，OAOC'作比可得到结

果，知C错误；

利用三角形面积公式和B的结论表示出SA=；|砺八砺卜inC,同理得到S4,5c,作比后代入C中推导的结论

可得：Sp:&=tanA:tanB:tanC,由此证得D正确.

对于A,•.•砺.砺=丽.无，...砺•（市•-反）=砺=0,即OB_LCA,

同理可证得：OA±BC,0CLAB,二。是AABC的垂心，A正确；

对于B,延长。4,。8交6C,AC于。,E两点，

TTTT

由A可知：AD1BC,BELAC>:.ZC+ZCAD=-,ZAOE+ZCAD=-f

22

ZAOE=ZC,又ZAOE+ZAOB=7r,：,ZAOB=7j：-AAOE=7i—C,B正确；

对于C,由B可得：OA-OB=|OA|•|(?B|COSZAOB=•|ofi|COSC,

同理可得：0氏℃=一|0,・1℃卜05A,OA-C?C=-|OA|-|OC|COSB,

/.-|OA|-|OB|cosC=-|OB|•|oc|cosA=-|OA|-|OC|COSB,

?.|OA|:|OB|:|oc|=cosA:cosB:cosC,C错误;

对于D,由B可得：Sc=||O4||0B|sinZA05=||0A||dB|sinC,

同理可得：=即用网sinA,SB=||O4||(?c|sinB,

_sinAsin8sinC

"BL网:网同，

上〜口cccsinAsinBsinC,「「

由C可得：SA:Sfi:Sr=------:-------:-------=tanA:tanB:tanC,

'cosAcosBcosC

又SA•砺+Sp・砺+S0・云=0，，tanA•丽+tanB•丽+tanC•无=。，D正确.

故选：ABD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查平面向量在三角形中的应用，涉及到垂心的向量表示、向量数量积的定义等知识；解题关

键是能够通过数量积的定义和运算律，将所证内容进行转化，得到三角形面积或向量模长与角的正余弦值之间的

关系.

三、填空题

17.（2021•江苏淮安市•高一月考）给定两个长度为1的平面向量函和赤，它们的夹角为120".如图所示，点

c在以o为圆心的圆弧而上变动.若oc=x丽+yO及其中％yeR，则％+y的最大值是.

【答案】2

x--y=OAOC

2-

~—x+y=OBOC

2

x+y=2(OA+OB)OC=2OD-OC=2cos<OD,OC>

所以最大值为2

18.（2019•东台市三仓中学）如图，在四边形4BCD中，。为BQ的中点，且而=33，己知福.而=9,

CBCD=-7>则或)=

【答案】6

【解析】

根据。为8。的中点，即可得出血uglAQ+A/i),而根据而=34即可得出

AC^-AO=-(AB+AD\,进而可得出而=!丽一2A方，CD=--AB+-AD,从而求出

33V>3333

CBCD^-^AB+AD+ABAD,而根据福•而=9,屈•丽=—7即可得出褶+彳万?=54,

这样根据而2=而？+通2一2通•正即可得出BD.

•.•。为BD的中点；

AO=1(XB+AD)；

又衣=33；

...丘贝=2(而+呵

：.CB=AB-AC=AB--(AB+Ab}=-AB--AD,CD=AD-AC=--AB+-AD；

3、,3333

：.CBCD=--AB2--AD~+-ABAD；

999

又A屏AZ5=9,CBCZ)=-7；

22

.•,-7=--(AB+ADj+5;

——>22

/.AB+AD=54；

：.BD^(AD-AB)2=AD'+AB-2ABAD^54-\S^36^

BD=6.

故答案为6.

【点睛】

考查向量减法和数乘的几何意义，以及向量数量积的运算，向量加法的平行四边形法则.向量的两个作用：①载

体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可

解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

19.(2021.吴江市高级中学高一月考)如图，在AA6c中，AD=-AB,AE=-ACCD与BE交于点P,

23f

_________.UUlUUU1

AB=2,AC=4,APBC=2>则AB.AC的值为.

D,

B

【答案】2

【解析】

—.2—►1—•

利用C、P、。三点共线以及3、尸、E三点共线，可以推出=+再根据福,前=2结

合向量的运算法则求解即可.

令丽=〃?而,CP=nCD>BE=-AB+^AC,CD=-AC+^AB,

AP=AB+BP=AB+mBE=AB+m(-AB+^Ac],

=(1-m)AB+^AC,

AP^AC+CP^AC+nCD^AC+n-AC+-AB,

=^AB+(l-n)AC,

所以〈2，解得〈

m1

—=1-71n

13

―-2―•1—•

所以AP=-A3+—AC,

555

又因为AB=2，AC=4,

所以福•恁=2・

故答案为：2.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理及平面向量的数量积，还考查了运算求解的能力，属于难题.

20.（2021•江苏高一单元测试）对于平面直角坐标系内的任意两点尸（为，y）,定义它们之间的一种

“距离=|马一引+|%一乂卜已知不同三点A,B,。满足llAdl+llCB||=||AB||,给出下列四个结论:

①A,B,。三点可能共线.

②A,B,C三点可能构成锐角三角形.

③A,B,C三点可能构成直角三角形.

④A，B,C三点可能构成钝角三角形.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

【解析】

设。（毛,%）,利用新定义分别表示出、、，

A（%,y）,B（X2，y2）,IIACllIICBllIIABll

利用IIACIMIC®I=IIABII结合绝对值三角不等式可得出（玉—%）（w-毛）之0且（%一%）（%-%）»°，所

以Gt而=一不?・。月40，即可得90<NACB<180，可得正确答案.

设

A&,y）,B（X2，y2）,C（x3,y3）,

由题意可得：114。11=匕-引+|%—。|，

IICBll=|%2—七|+|%—，

||居||=月-石|+仅2-芳|，

由IIACII+IICBll=llABll可得:

|七一%|+|%一。|+卜2一司+|%一%|=同一％|+|%一0|，

由绝对值三角不等式可得：

—x,|+|x2—X,|>|^2—X||,

|%-凹|+|%一%|之|%一对,

当且仅当（％3_玉）（/一毛）20且—x）（%一%）20时等号成立，

所以衣•丽=（七一%）（々-F）+（%一%）（%-%”0，

/人「DCA-CB

所以无•国=一而•函＜0所以=同词<0

所以90YNACBM180°，

所以A,B,C三点可能共线，可能构成直角三角形，可能构成钝角三角形，

所以①③④正确，

下面各举一例：

A（0,0）,B（2,0）,C（l,0）时A,B,。三点共线;

A（0,0）,8（1,1）,。（1,0）时AAbC是直角三角形；

4（0,0）,3（2,1）,C（l,0）时AAbC是钝角三角形；

故答案为：①③④

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是利用绝对值三角不等式可以得出IIAC1I+IIcell-HASH

成立的条件为（七一%）（w—玉）之。且（%—X）（%一%）»°，再转化为

CACB=-ACCB<0>属于难题.

21.（2021•江苏南通市•启东中学高一月考）在锐角AA6c中，a2-b2=bc＞则一1-----L+2sinA的取值

tanBtanA

7171

由已知结合余弦定理与正弦定理可得A=23,再由锐角三角形可求出一＜A＜一,化简整理

32

--------+2sin4=」二+2sinA,利用换元法结合对勾函数性质可求得结果.

tanBtanAsinA

•：cr-b2=bc^利用余弦定理可得：b1+c~-2/?ccosA-b1=be>

即c2—2bccosA=be.\c-2bcosA=b

由正弦定理可得：sinC-2sinBcosA=sinB,sin(A4-B)-2sinBcosA=sinB,

即sinAcosB-sinBcosA=sinB,即sin(A-B)=sinB

又AABC为锐角三角形，，A—5=B，即A=2B

jt

0<2B<-

27107171.71

：.—<B<—,—<A<—

TT6432

0<)—38<一

2

Q—............匚+2sinA=$血(」一')+2sinA=、"乂」'一')+2sinA=—+2sinA

tan5tanAsinBsinAsinBsinAsinA

「兀AnG

又二■<Av二",——<sinA<1

322

J31J3

令/=sinA<t<\,则f(t)=-+2t<t<1

I2J，12)

由对勾函数性质知，/（。=，在

1+2fe上单调递增,

又12)623>/(l)=-+2xl=3.+2sinAe--,3

'/------IolllZ1IJ

【点睛】

易错点睛：本题考查利用正弦定理余弦定理求范围，解本题时要注意的事项：求角A的范围时，是在AABC为

锐角三角形的前提下，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.

22.（2020•江苏淮安市•淮阴中学高一期中）已知。，6,c分别为AABC的内角4,B,C的对边，且满足

sinA+V3sinC=3sinB.。=3百，当角B最大时△ABC的面积为.

【答案】972

【解析】

已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，利用余弦定理表示出cos8,把得出关系式整理后代入，利用基本不

等式求出cosB的最小值，即可求出边长，进而求得三角形的面积.

已知等式利用正弦定理化简得：a+y/3c=3b,

由余弦定理。2-a2+C1-laccosB,

(4Z+5/3^?)"/+《2Cl~3c~4~