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文档简介
专题08
平面向量、三角恒等变换、解三角形压轴题(共39题)
一、单选题
1.(2021•江苏高一课时练习)设。为△ABC所在平面内一点,满足2砺_7砺—3诙=。,则AABC的面积
与ABOC的面积的比值为()
,,8〃12
A.6B.-C.—D.4
37
【答案】D
【解析】
先设皈=2OAOB;=-7OB,反;=3OC,于是得到点。是仆AWG的重心,则
5.密乌=鼠再结合三角形面积公式即可求出AABC的面积与ABOC的面积,进而得到答案.
不妨设两=2弧前=-7砺可=3反,如图所示,
根据题意则函+函+西=0,
即点。是^A\B\C\的重心,所以有=SAOAG=Saog=k,
SQBC_OBOC_iSMAB_OAOB1OAOC_\
S3GOB「℃I21'%仍O\OBX14'S.QAG。%。。16'
那么SQBC=4SQAB=AkSQC=Jk,
q-Q—S-
—°AOAB丁°^OBC-14621J21
故4A8C的面积与^BOC的面积的比值为斗一=4.
-k
21
故选:D
【点睛】
关键点点睛:根据重心的性质可得s△。4用=S4OAG=SAOBG=k,再由三角形面积公式可得
SORCOB0C11
甘一=HRnr=缶,即S.OBC=须%,同理可得其他三角形面积,再利用S.ABC=S^+S^-S^
UDOABOAColiC
»&OB1G\'zi21
即可求解,属于难题.
71
2.(2021•江苏高一课时练习)梯形A3CD中A8平行于CO,A8=2,CO=1,ND4B=—,P为腰AO所在
4
直线上任意一点,则日而+2定|的最小值是()
A.4gB.472C.4D.3限
【答案】B
【解析】
利用建系的方法,假设AO=r,AP=m,分别计算而,无以及3方+2定,然后令%=丝〃?,最
2
后根据二次函数的性质可得结果.
依据题意,建立如图所示平面直角坐标系
设AD=t,AP=m,
71
由ND4B=—,
4
所以P停肛李例1(2,0)
则方/2-迎也-也/京/也-也加+L也.也〃;
(22)(2222J
所以3P月+2尸e=(8+"一迪九"—还加
I22J
令k=@—当m,贝iJ3而+2]=(8+Z,Z)
所以R而+2PC\=J(8+4+22=也如+16后+64=j2(t+4『+32
当左=T时,有|3而+2斤|=40
Imin
故选:B
【点睛】
木题考查利用建系的方法解决向量的问题,本题关键在于采用建系,用坐标表示向量,几何问题代数化,便于计
算,属难题.
3.(2021.江苏扬州市扬州中学高一月考)在AABC中,。*"分别为4,8,。的对边,。为AABC的外心,
且有AB+BC=^^AC,sinC(cosA-73)+cosCsinA=0,若加=%而+)/,x,yeR,贝i]
x—y=
A.-2B.2C.73D.-73
【答案】A
【解析】
由AB+8C=2叵AC,利用正弦定理得到c+a=2叵Z?,再由sinC(cosA-6)+cosCsinA=0,运
33
用三角函数的和角公式和正弦定理得到小=6c,进而得到。=。,然后利用余弦定理,求得角B,A,C,再由
x亍=方丽+),衣的两边点乘瓶,衣,运用平面向量数量积的定义和性质,得到x,y的方程组求解.
因为AB+BC=^AC,
3
2\/3
所以C+Q=----b,
3
又因为sinC(cosA-百)+cosCsinA=0,
所以sinCcosA+cosCsinA=\/3sinC,
所以sin(C+A)=gsinC,
所以sin5=GsinC,
即。=V3c,
所以4=C,
a2+c2-b2c24-c2-3c2_1
所以cos3
2?~~2
所以3=120,A=C=3(r,
如图所示:
1c
由正弦定理得:R=AO=------=c,
2sinC
因为Xd=x而+y/,
则宓丽二%质+丁相前,
所以■1=xc2+yV3c2,
22
即2x+3y=1,
则荷.恁=%而•恁+y正2,
33
所以一/=—xcr+yhc1,
22*
即x+2y=1,
x=-l,y=1,
x-y=-2.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查正弦定理,余弦定理,两角和与差的三角函数,平面向量的数量积的定义和性质,还考查了运算求
解的能力,属于难题.
7
4.(2021•江苏南通市•启东中学高一月考)已知AABC的内角A,8,C的对边分别为a,"c,且cosA=—.M为
8
△AHC内部的一点,且石丽+〃砺+c而。=6,若赤=》而+以正,则%+》的最大值为()
4551
A.-B.-C.-D.—
5462
【答案】A
【解析】
把已知等式中近百,碇向量用血,〃,丽表示后可求得x,y,由余弦定理得仇C的关系,求出,一的最
b+c
值,再由不等式性质得结论.
aMA+bMB+cMC=Q<
;•aAM^hMB+cMC=h(,AB-AM)+c(AC-AM),
:.AM=---AB+---AC,又赤=+
Q+O+CQ+0+C
7b+c1
bcx+y=-----------=-----------
・・x=----;----,y=;-----,a+0+ca,
Q+/7+Ca+h+C-----------Hl
b+c
715
由余弦定理得a2=b~+c2-2bccosA=b2+c2——he=(/?+c)2-----be,
44
由bcK出+,')](当且仅当b=c时取等号),得之s+c)2_"x+。匚,
44416
(i1x+v<----=-4
•••——>-,1一1,5,即x+y的最大值是一.
b+c47+15
4
故选:A.
【点睛】
本题考查平面向量基本定理,考查余弦定理及基本不等式求最值.解题关键是由平面向量基本定理把国》用
a,b,c表不出来.
5.(2020•江苏省扬州市教育局高一期末)在平行四边形ABCO中,AB=近,AD=2,NA=135。,E,F
分别是AB,上的点,且荏=丸丽,AF=^iAD,(其中e(0,l)),且44+〃=1.若线段所的中
点为加,则当|扬q取最小值时,:的值为()
A.36B.37C.38D.39
【答案】B
【解析】
利用结合向量线性运算、数量积运算,以及4/1+〃=1,求得当儿〃为何值时|而4取得最
小值,进而求得W的值.
A
依题意可知AB•AD=|AB|-|AD|•cos135°=-2,
;=_].=L37u
c41一41时,②取得最小值,此时"=1—44=二,所以巴=37.
2341%
故选:B
【点睛】
木小题主要考查平面向量线性运算、数量积运算,模的运算,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.
6.(2019•江苏南通市•海安高级中学高一期中)已知点O是AABC内一点,满足砺+2而=mOC,=亍,
3AXBC/
则实数m为()
A.2B.-2C.4D.-4
【答案】D
【解析】
1___2__._m______SUD
将已知向量关系变为:-QA+-08=-0C,可得到一。。=0。且AB,。共线;由==•和
3333SwcCD
反,而反向共线,可构造关于,〃的方程,求解得到结果.
由砺+2丽=川花得:+=
设生反=而,则1砺+,砺方,AB,。三点共线
333
如下图所示:
本题正确选项:D
【点睛】
本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义,关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果,从而得到
向量模长之间的关系.
7.(2019•江苏南通市•高一期末)在A4BC中,角A,B,。所对的边分别为a,b,c,a2+/?2=2019c2,
2tanA-tanB
则tanC(tanA+tanB)的值为
A.2017B.2018C.2019D.2020
【答案】B
【解析】
化简式子得到2sm4"6cosC,利用正弦定理余弦定理原式等于±±二£二,代入数据得到答案.
sin2Cc2
2sinAsinB
2tanA-tanB_cosAcosB_2sinAsinB_2sinAsinBcosC
sinC2
tanC(tanA+tanB)-sinC(siriA+sin§)一+-sinC
cosCcosAcosBcosC
利用正弦定理和余弦定理得到:
2sinAsin6cosclaba2+h2-c2a2+b2-c2八〜八
----------5---=1------=---;------=2018
sin-Cc2labc'
故选B
【点睛】
本题考查了正弦定理,余弦定理,三角恒等变换,意在考查学生的计算能力.
8.(2020•南京市江宁高级中学高一月考)已知2sin6—cos6=l,则"+1的值为()
sinO-cosO+l
A.-B.0C.2D.0或2
5
【答案】D
【解析】
nn
由2sin6-cose=l,通过二倍角公式,得到cos—=0或2sin—=c
222
(.o,丫.20..60
原式化简为八朝泸八啕=」sin-一4-cos—2,+cos2———sm-
w再分别求解.
sinO-cosO+l(.Q0\(.0.60
sin—+cos-cos"——sin2-
I22)[22
因为2sin6-cose=l
所以2sin6=cos6+l
ggg
所以4sin—cos—=2cos2—
222
解得cos—=0或2sin—=cos—
222
9
当cos—=0时
2
sin6+cos6+1
=0
sinO-cosO+l
当2sin—=cos—时
22
sin,+cos,+l
=2
sinB-cosB+l
故选:D
【点睛】
本题主要考查了二倍角公式及其应用,不觉考查了变形运算求解的能力,属于中档题.
9.(2020•南京市江宁高级中学高一月考)在锐角AABC中,角A8,C的对边分别为a,b,c,MBC的面积为S,
2vI
若sin(A+C)=-^~,则tanC+;;-「、的最小值为()
b--c2tan(B-C)
A.72B.2C.1D.2加
【答案】A
【解析】
2s
sin(A+C)=-3~r结合面积公式,可得出〃由余弦定理得出Q—2CCOS8=C,再用正弦定理
b~-c
化边为角,得出5=2C,把所求式子用角C表示,并求出角C范围,最后用基本不等式求最值.
2s29
因为sin(A+C)=r——?,即sin8=—----r
b~-cb>-c
所1以sin5=,因为sinBwO,
b-c
所以〃2=/+qc,由余弦定理匕2=/-2accosB,
可得a-2ccosB=c,
再由正弦定理得sinA-2sinCeosB=sinC,
因为sinA-2sinCeosB=sin(B+C)-2sinCeosB=sin(B-C),
所以sin(B-C)=sinC,所以8—C=。或5—。+。=%,
得3=2C或3=万(舍去).因为AABC是锐角三角形,
°<C<f
TTjrjr
所以《0<2C<一,得一<C<一,即tanCG,D-
264
71
0<TT-3C<-
2
]
所以tanC+=tanC+--------->丘,
2tan(B-C)2tanC
当且仅当tanC=Y2,取等号.
2
故选:A
【点睛】
本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形,考查基本不等式求最值,属于较难题.
10.(2020•江苏南通市•高一期末)已知锐角三角形AABC的内角A,B,C的对边分别为匕,C.且
b=2asinB则cosB+sinC的取值范围为()
A.(0而B.Q,屈。.隹|)D-
【答案】C
【解析】
利用正弦定理化简已知条件,由此求得sinB进而求得5的大小.根据三角恒等变换化简cos8+sinC,由此求
得取值范围.
依题意b=2asin8,
由正弦定理得sinB=2sinAsinB,
1R
所以sinA=—,cosA=—
22
7T
由于三角形ABC是锐角三角形,所以A=—.
4nTT
A+B>—
2兀c71
n—<B<—
32
0<B<-
2
=cos8+Leos8+且sinB^~cosB+—sin6
所以cosB+sinC=cosB+sin
2222
Sin(8+3
由于空<8+工<型,所以sin(8+H]e
33613八22)
所以6sin(B+g]e坐,g-
I3)I22j
故选:C
【点睛】
本题主要考查正弦定理解三角形,考查三角函数值域的求法,两角差的正弦公式,属于中档题.
11.(2019•江苏徐州市•高一期中)在AABC中,角A、B、。所对的边分别为。、b、c,若AA8C为锐角三
角形,且满足。2一/二.。,则一1--------1—的取值范围是
tanAtanB
D.。收)
【答案】A
【解析】
根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A、8关系,再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围.
因为-a2=ac,
所以-2accosB-ac/.c—2acosB-a.\smC-2sinAcosB=sinA,
sin(A+8)—2sinAcos8=sinAsin(B-A)=sinA/.B-A=A,B=2A
1_1111-tan2A1+tan2A141、
因此二一------------=-(ztanA+-------),
tanAtanBtanAtan2AtanA2tanA2tanA2tanA
因为A48C为锐角三角形,
jrjr717rTT、/3
所以0<A<—,0<B=2A<—,0<C=7i-B-A=n-3A<——<A<一,L<tanA<l
222643
因为y=2(x+L)在(@,1)上单调递减,所以」-----?一e(l,空),选A.
2x3tanAtanB3
【点睛】
本题考查余弦定理、正弦定理、二倍角正切公式以及函数单调性,考查综合分析求解能力,属较难题.
12.(2021♦江苏)在A48C中,B=Zc=近,AC=2屈,AC的中点为。,若长度为3的线段尸。(P
412
在。的左侧)在直线8C上移动,则AP+DQ的最小值为
AV30+2V10D回+3质
22
C而+4厢D回+5厢
'2'
【答案】B
【解析】
先根据正弦定理求得BC,AB,以3。所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,根据对称性和两点间的距离公式,
求得所求的最小值.
2屈_BC_AB
由正弦定理可得二方=方=亚,BC=6,AB=3近+瓜
224
以BC所在直线为X轴,则A(0,3+V3),P3,0),Q(。+3,0),0(上乎,言")
则AP+£>Q表示x轴上的点p与A和(一过卢,把手)的距离和,
利用对称性,(—告叵,柠8)关于x轴的对称点为后(一三叵,一言叵),
可得AP+DQ的最小值为AE二闻+3何
2
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理解三角形,考查距离和的最小值的求法,考查坐标法,属于中档题.
二、多选题
13.(2020•苏州市相城区陆慕高级中学高一月考)在AABC中,角A,民C所对边分别为a,4c.已知
S+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,下列结论正确的是
UUUUUU
A.a:〃:c'=7:5:3B.AC-/4B<0
C.-=-=-D.若6+c=8,则ZUBC面积是”走
7534
【答案】ABD
【解析】
设匕+C=4Z,C+Q=5Z,Q+Z?=6R(A>0),求出。力,c的值,可得A;由正弦定理,
sinA:sinB:sinC=6/:Z?:c=7:5:3,可判定C,由余弦定理cosA=-g,AC-AB=becosA<0,可判
定B;由Z?+c=8,结合A结论,可计算Ac,50阮=;bcsinA,可判定。
753
设〃+c=4A,c+a=5攵,a+b=6k(左>0),则a=—k,b=—k,c=一k,故
222
a:b:c=7:5:3>即A选项正确;
9
\242+4-9
24
b+C~-Q-4
一
又cosA=一5_3=一耳,故ACSA5=Z?ccosA<0,8选项正确;
2bc
2-2-
由正弦定理,sinA:sinB:sinC=a:Z?:c=7:5:3,。选项错误;
若Z?+c=8,则%=2,故〃=5,c=3,A=120",所以卜人人.二1Z?csinA="&,。选项正确
ZVtoC24
故选:ABD
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算能力,属于较难题
14.(2021・江苏高一课时练习)设点用是AABC所在平面内一点,则下列说法正确的是
——1一1一
A.若AM=—AB+—AC,则点〃是边8C的中点
22
B.H防=2通—ZC若,则点M在边8C的延长线上
C.若丽=一的一加,则点A/是人43c的重心
D.若AM=xAB+yAC,且x+y=+,则AWBC的面积是的面积的万
【答案】ACD
【解析】
判断命题真假;将前面条件进行化简,去判断点M的位置(D中若能判断M位置也是一定得出面积比值).
A中:AM=-AB+-AC,^>AM=-AB+-AC^-AM--AB=-AC--AMB|J:
22222222
BM=A/C,则点M是边BC的中点
B.4瓶=24分一最;,04瓦—4月=4月一衣;.・.8贬=。方则点加在边。3的延长线上,所以B错误.
C.
A
设8c中点D,则AM=-BM-CM>AM=-BM-CM=MB+MC=2MD,由重心性质可知C成立.
D.AM=xAB+yAC且x+y=/n2AM-2xAB+2yAC,2x+2y=1设A。=2AM
____.____1
所以4。=2》45+2丫40,2%+2丫=1,可知3,C,。三点共线,所以△MBC的面积是AA3c面积的万
故选择ACD
【点睛】
通过向量加减运算,进行化简去判断点M的位置,难度较大.
15.(2021•江苏苏州市・南京师大苏州实验学校高一月考)设A,4,A3,A4是两两不同的四个点,若
%=/iA4,且;+'=2,则称4,A,调和分割4,4.现已知平面上两点C,D调
A〃
和分割A,8,则下列说法正确的是()
A.点C可能是线段AB的中点
B.点。不可能是线段AB的中点
C.点C,。可能同时在线段A8上
D.点C,。不可能同时在线段A3的延长线上
【答案】BD
【解析】
由题意设A(0,0),3(1,0),C(c,0),结合己知条件得,+工=2,根据选项考查[+'=2的解,
cdcd
用排除法选择答案即可.
由已知不妨设A(0,0),8(1,0),C(c,0),D(d,0),
由C,D调和分割A,8可知,(c,0)=4(l,0),(t/,0)=//(1,0),.\A=c,R=d
11cli
代入:+—=2得一+二二2(*)
几〃cd
对于AB,若C是线段AB的中点,则。=,,代入(*)得,〃不存在,故C不可能是线段AB的中点,同理。不
2
可能是线段AB的中点,故A错误,B正确;
对于C,若C,。同时在线段4B上,则0<c〈l,OWdWl代入(*)得,c=d=l,
此时C和。点重合,与己知矛盾,故C错误;
对于D,若C,。同时在线段AB的延长线上时,则c〉l,d>l,则1+,<2,这与』+,=2矛盾,所以C,
cdcd
D不可能同时在线段AB的延长线上,故D正确;
故选:BD.
【点睛】
关键点点睛:本题考查新定义的应用问题,正确理解新定义的含义是解题的关键,考查学生的逻辑推理与特殊与
一般思想,属于较难题.
16.(2021•江苏苏州市•高一期中)奔驰定理:已知。是AABC内的一点,ABOC,△40C,AAQB的面积
分别为SA,SB,Sc,则邑•砺+SB•砺+S0•反=。."奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为
这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(MercedesZ?e/z)的/og。很相似,故形象地称其为'‘奔驰定理若O是锐角
△ABC内的一点,A,8,C是AABC的三个内角,且点。满足。屋0月=04元=比.西,贝U()
A.。为△ABC的垂心B.ZAOB=7i—C
C.|Q4|:|oB|:|oc|=sinA:sinB:sinCD.tanAOA+tan+tanCOC=0
【答案】ABD
【解析】
利用数量积的运算律可整理得到OB_LC4,同理Q4_LBC,OCA.AB,知A正确;
推导得到/AOE=ZC,由此可证得B正确;
由数量积的定义和B的结论可求得0A=4Ho@cosC,同理得0匣,元,OAOC'作比可得到结
果,知C错误;
利用三角形面积公式和B的结论表示出SA=;|砺八砺卜inC,同理得到S4,5c,作比后代入C中推导的结论
可得:Sp:&=tanA:tanB:tanC,由此证得D正确.
对于A,•.•砺.砺=丽.无,...砺•(市•-反)=砺=0,即OB_LCA,
同理可证得:OA±BC,0CLAB,二。是AABC的垂心,A正确;
对于B,延长。4,。8交6C,AC于。,E两点,
TTTT
由A可知:AD1BC,BELAC>:.ZC+ZCAD=-,ZAOE+ZCAD=-f
22
ZAOE=ZC,又ZAOE+ZAOB=7r,:,ZAOB=7j:-AAOE=7i—C,B正确;
对于C,由B可得:OA-OB=|OA|•|(?B|COSZAOB=•|ofi|COSC,
同理可得:0氏℃=一|0,・1℃卜05A,OA-C?C=-|OA|-|OC|COSB,
/.-|OA|-|OB|cosC=-|OB|•|oc|cosA=-|OA|-|OC|COSB,
?.|OA|:|OB|:|oc|=cosA:cosB:cosC,C错误;
对于D,由B可得:Sc=||O4||0B|sinZA05=||0A||dB|sinC,
同理可得:=即用网sinA,SB=||O4||(?c|sinB,
_sinAsin8sinC
"BL网:网同,
上〜口cccsinAsinBsinC,「「
由C可得:SA:Sfi:Sr=------:-------:-------=tanA:tanB:tanC,
'cosAcosBcosC
又SA•砺+Sp・砺+S0・云=0,,tanA•丽+tanB•丽+tanC•无=。,D正确.
故选:ABD.
【点睛】
关键点点睛:本题考查平面向量在三角形中的应用,涉及到垂心的向量表示、向量数量积的定义等知识;解题关
键是能够通过数量积的定义和运算律,将所证内容进行转化,得到三角形面积或向量模长与角的正余弦值之间的
关系.
三、填空题
17.(2021•江苏淮安市•高一月考)给定两个长度为1的平面向量函和赤,它们的夹角为120".如图所示,点
c在以o为圆心的圆弧而上变动.若oc=x丽+yO及其中%yeR,则%+y的最大值是.
【答案】2
x--y=OAOC
2-
~—x+y=OBOC
2
x+y=2(OA+OB)OC=2OD-OC=2cos<OD,OC>
所以最大值为2
18.(2019•东台市三仓中学)如图,在四边形4BCD中,。为BQ的中点,且而=33,己知福.而=9,
CBCD=-7>则或)=
【答案】6
【解析】
根据。为8。的中点,即可得出血uglAQ+A/i),而根据而=34即可得出
AC^-AO=-(AB+AD\,进而可得出而=!丽一2A方,CD=--AB+-AD,从而求出
33V>3333
CBCD^-^AB+AD+ABAD,而根据福•而=9,屈•丽=—7即可得出褶+彳万?=54,
这样根据而2=而?+通2一2通•正即可得出BD.
•.•。为BD的中点;
AO=1(XB+AD);
又衣=33;
...丘贝=2(而+呵
:.CB=AB-AC=AB--(AB+Ab}=-AB--AD,CD=AD-AC=--AB+-AD;
3、,3333
:.CBCD=--AB2--AD~+-ABAD;
999
又A屏AZ5=9,CBCZ)=-7;
22
.•,-7=--(AB+ADj+5;
——>22
/.AB+AD=54;
:.BD^(AD-AB)2=AD'+AB-2ABAD^54-\S^36^
BD=6.
故答案为6.
【点睛】
考查向量减法和数乘的几何意义,以及向量数量积的运算,向量加法的平行四边形法则.向量的两个作用:①载
体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用:利用向量可
解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
19.(2021.吴江市高级中学高一月考)如图,在AA6c中,AD=-AB,AE=-ACCD与BE交于点P,
23f
_________.UUlUUU1
AB=2,AC=4,APBC=2>则AB.AC的值为.
D,
B
【答案】2
【解析】
—.2—►1—•
利用C、P、。三点共线以及3、尸、E三点共线,可以推出=+再根据福,前=2结
合向量的运算法则求解即可.
令丽=〃?而,CP=nCD>BE=-AB+^AC,CD=-AC+^AB,
AP=AB+BP=AB+mBE=AB+m(-AB+^Ac],
=(1-m)AB+^AC,
AP^AC+CP^AC+nCD^AC+n-AC+-AB,
=^AB+(l-n)AC,
所以〈2,解得〈
m1
—=1-71n
13
―-2―•1—•
所以AP=-A3+—AC,
555
又因为AB=2,AC=4,
所以福•恁=2・
故答案为:2.
【点睛】
本题考查平面向量基本定理及平面向量的数量积,还考查了运算求解的能力,属于难题.
20.(2021•江苏高一单元测试)对于平面直角坐标系内的任意两点尸(为,y),定义它们之间的一种
“距离=|马一引+|%一乂卜已知不同三点A,B,。满足llAdl+llCB||=||AB||,给出下列四个结论:
①A,B,。三点可能共线.
②A,B,C三点可能构成锐角三角形.
③A,B,C三点可能构成直角三角形.
④A,B,C三点可能构成钝角三角形.
其中所有正确结论的序号是.
【答案】①③④
【解析】
设。(毛,%),利用新定义分别表示出、、,
A(%,y),B(X2,y2),IIACllIICBllIIABll
利用IIACIMIC®I=IIABII结合绝对值三角不等式可得出(玉—%)(w-毛)之0且(%一%)(%-%)»°,所
以Gt而=一不?・。月40,即可得90<NACB<180,可得正确答案.
设
A&,y),B(X2,y2),C(x3,y3),
由题意可得:114。11=匕-引+|%—。|,
IICBll=|%2—七|+|%—,
||居||=月-石|+仅2-芳|,
由IIACII+IICBll=llABll可得:
|七一%|+|%一。|+卜2一司+|%一%|=同一%|+|%一0|,
由绝对值三角不等式可得:
—x,|+|x2—X,|>|^2—X||,
|%-凹|+|%一%|之|%一对,
当且仅当(%3_玉)(/一毛)20且—x)(%一%)20时等号成立,
所以衣•丽=(七一%)(々-F)+(%一%)(%-%”0,
/人「DCA-CB
所以无•国=一而•函<0所以=同词<0
所以90YNACBM180°,
所以A,B,C三点可能共线,可能构成直角三角形,可能构成钝角三角形,
所以①③④正确,
下面各举一例:
A(0,0),B(2,0),C(l,0)时A,B,。三点共线;
A(0,0),8(1,1),。(1,0)时AAbC是直角三角形;
4(0,0),3(2,1),C(l,0)时AAbC是钝角三角形;
故答案为:①③④
【点睛】
关键点点睛:本题解题的关键是利用绝对值三角不等式可以得出IIAC1I+IIcell-HASH
成立的条件为(七一%)(w—玉)之。且(%—X)(%一%)»°,再转化为
CACB=-ACCB<0>属于难题.
21.(2021•江苏南通市•启东中学高一月考)在锐角AA6c中,a2-b2=bc>则一1-----L+2sinA的取值
tanBtanA
7171
由已知结合余弦定理与正弦定理可得A=23,再由锐角三角形可求出一<A<一,化简整理
32
--------+2sin4=」二+2sinA,利用换元法结合对勾函数性质可求得结果.
tanBtanAsinA
•:cr-b2=bc^利用余弦定理可得:b1+c~-2/?ccosA-b1=be>
即c2—2bccosA=be.\c-2bcosA=b
由正弦定理可得:sinC-2sinBcosA=sinB,sin(A4-B)-2sinBcosA=sinB,
即sinAcosB-sinBcosA=sinB,即sin(A-B)=sinB
又AABC为锐角三角形,,A—5=B,即A=2B
jt
0<2B<-
27107171.71
:.—<B<—,—<A<—
TT6432
0<)—38<一
2
Q—............匚+2sinA=$血(」一')+2sinA=、"乂」'一')+2sinA=—+2sinA
tan5tanAsinBsinAsinBsinAsinA
「兀AnG
又二■<Av二",——<sinA<1
322
J31J3
令/=sinA<t<\,则f(t)=-+2t<t<1
I2J,12)
由对勾函数性质知,/(。=,在
1+2fe上单调递增,
又12)623>/(l)=-+2xl=3.+2sinAe--,3
'/------IolllZ1IJ
【点睛】
易错点睛:本题考查利用正弦定理余弦定理求范围,解本题时要注意的事项:求角A的范围时,是在AABC为
锐角三角形的前提下,考查学生的转化能力与运算解能力,属于中档题.
22.(2020•江苏淮安市•淮阴中学高一期中)已知。,6,c分别为AABC的内角4,B,C的对边,且满足
sinA+V3sinC=3sinB.。=3百,当角B最大时△ABC的面积为.
【答案】972
【解析】
已知等式利用正弦定理化简,得到关系式,利用余弦定理表示出cos8,把得出关系式整理后代入,利用基本不
等式求出cosB的最小值,即可求出边长,进而求得三角形的面积.
已知等式利用正弦定理化简得:a+y/3c=3b,
由余弦定理。2-a2+C1-laccosB,
(4Z+5/3^?)"/+《2Cl~3c~4~
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