经典截长补短法巧解

经典截长补短法巧解截长补短法是证明几何题中的重要方法之一，通常用于证明线段之间的数量关系。其中，截长法可以通过过某一点作长边的垂线或在长边上截取一条与某一短边相等的线段来证明数量关系。而补短法则可以通过延长短边或旋转等方式使两短边拼合到一起来证明数量关系。例如，在正方形ABCD中，若DE=DF，DG垂直于CE交CA于G，GH垂直于AF，交AD于P，交CE延长线于H，要证明三条粗线DG、GH、CH的数量关系与另一短边相等。对于另一个问题，正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，且∠EAF=45°，要证明EF=DE+BF。我们可以通过延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG，再利用相似三角形证明DE=AG，从而得出EF=DE+BF的结论。另外一个问题是，正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，且∠EAF=45°，要求出△AEF的面积。我们可以通过延长AD和AF相交于点G，再利用相似三角形证明AE=AG和AF=AG，从而得出△AEF的面积为1/2×AE×EF=1/2×AG×(AG+GF)。又AG=AF=AE所以三角形EAG和EAF是全等的（SAS）。根据题目给出的图形，我们可以得到EF的长度为BF-DE，或者DE-BF，具体取决于我们在BC或者DC上截取什么长度。因此，我们可以对题目中的每个图形进行简单的变形和推导，得到EF的长度为BE+FC或者CG+FC，具体取决于我们在AC或者CD上截取什么长度。在Rt$\triangle$ADG中，$\angle$GAD=30°，AD=3；$\angle$AGD=60°，AG=2。设EH=x，在Rt$\triangle$EGH和Rt$\triangle$EHA中，$\angle$AGD=60°，$\angle$HAE=45°。由三角形的正弦定理可得，$HG=\frac{3}{\sqrt{3}},AH=x=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，所以$AG=HG+AH=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$。又因为$\triangle$EAF和$\triangle$EAG共边EA，且$\angle$EAF=$\angle$EAG=90°，所以$\triangle$EAF和$\triangle$EAG全等，所以S$\triangle$EAF=S$\triangle$EAG=EH$\times$AG$\div2=\frac{3-\sqrt{3}}{4}$。正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分$\angle$DAC。因为四边形ABCD是正方形，所以$\angle$ADC=90°，BD平分$\angle$ADC，AC$\perp$BD，所以$\angle$ADB=$\angle$ADC/2=45°。因为AE平分$\angle$DAC，EO$\perp$AC，EG$\perp$AD，所以$\angle$EAO=$\angle$EAG，$\angle$DGE=$\angle$AOE=$\angle$AGE=90°，又AE=AE，所以$\triangle$AEO全等于$\triangle$AEG（AAS），所以AG=AO，EO=EG。又因为$\angle$ADB=45°，$\angle$DGE=90°，所以$\triangle$DGE为等腰直角三角形，DG=EG=EO，AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2，即AC/2=AD-EO。正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分$\angle$DNM。按照上一个问题的思路，可得到$\triangle$GNE全等于$\triangle$FNE（AAS），$\triangle$DGE为等腰直角三角形，AG=AD-DG=AD-EF。因为四边形ABCD为正方形，$\angle$ABC=$\angle$GAQ=$\angle$BCM=90°，BD平分$\angle$ABC，BC=BA，$\angle$ABD=$\angle$ABC/2=45°，又$\angle$EQB=90°，$\triangle$EQB为等腰Rt三角形，$\angle$BEQ=45°。因为$\angle$GAQ=$\angle$EGA=$\angle$EQA=90°，所以四边形AGEQ为矩形，$EQ=AG=AD-EF$，$EQ\parallelAG$，$\angle$QEN=$\angle$ENG，又$\angle$ENG=$\angle$ENF，所以$\angle$QEN=$\angle$ENF。由BC=BA，$\angle$BCM=$\angle$BAN=90°，CM=AN，所以$\triangle$BCM全等于$\triangle$BAN（SAS），BM=BN，$\angle$CBM=$\angle$ABN，$\angle$ABC=90°=$\angle$ABM+$\angle$CBM=$\angle$ABM+$\angle$ABN=$\angle$MBN，又BM=BN，所以$\triangle$MBN为等腰直角三角形，MN=$\sqrt{2}BM=\sqrt{2}BN=\sqrt{2}AD/2=\sqrt{2}/2$。又因为$\triangle$NEF和$\triangle$NEA共边NE，且$\angle$NEF=$\angle$NEA=90°，所以$\triangle$NEF和$\triangle$NEA全等，所以EF=EA=AD-$\sqrt{2}$MN=AD-$\sqrt{2}$/2。所以MN/2=AD-EF。根据题目所给信息，可以得出三角形MBN是等腰直角三角形，因为BP垂直于斜边MN于点P，所以三角形NPB也是等腰直角三角形。由此可以得到BP等于MN的一半，且角PNB等于45度。角BNE等于角ENF加上角PNB，角BEN等于角QEN加上角QEB。因为角QEN