2022-2023学年内蒙古呼和浩特市赛罕区八年级（下）期中数学试卷(含解析)

2022-2023学年内蒙古呼和浩特市赛罕区八年级（下）期中数学试卷一.选择题（共10个小题，每小题3分，共30分.）1．下列式子，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长是（）A．5 B． C．7 D．253．下列计算正确的是（）A． B． C． D．4．下列命题正确的是（）A．形如的式子叫做二次根式 B．一组邻边相等的矩形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．在直角三角形ABC中，三边a，b，c满足的关系是a2+b2＝c25．下列计算正确的有几个（）①；②；③﹣2＝3；④．A．4 B．3 C．2 D．16．分别满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（）A．三边之比为 B．三边长依次是9，40，41 C．三边之比为 D．三内角之比为3：4：57．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（）A．48 B．60 C．76 D．808．已知平行四边形ABCD，下列结论不正确的是（）A．当AC＝BD时，它是矩形 B．当AC⊥BD时，它是矩形 C．当AC平分∠BAD时，它是菱形 D．当AB＝BC时，它是菱形9．如图，已知矩形ABCD中AD＝2，AB＝3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF分别交CD，AB于点E，F，则DE的长为（）A．1 B． C． D．10．已知，则a2+b2的值为（）A．2 B． C．1或﹣1 D．1二.填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）11．代数式的x的取值范围是．12．已知，则x2+2x﹣4的值是．13．已知一个圆的半径为，一矩形的长为，若该圆的面积与矩形的面积相等，则矩形的宽为cm．14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝cm．15．如图四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝2，BC＝3，CD＝1，则四边形ABCD的面积是．16．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为．三、解答题（本大题共7小题，共52分，解答应写出必要在演算步骤、证明过程或文字说明）17．计算：（1）；（2）．18．化简求值：，其中实数x，y满足．19．已知平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若∠BAC＝∠DAC，判断四边形EBFD的形状，说明理由．20．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM＝MN；（2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN长．21．已知a，b，c满足，问以a，b，c为边能否构成三角形，若能，求出此三角形的面积，若不能，请说明理由．22．已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝3，AD＝4，求AC的长．23．“弦图”不仅是证明勾股定理的一种方法，也是解决直角三角形问题可用的方法，请用弦图的模型解决下列问题：（1）用四个斜边长为5，一条直角边长为3的直角三角形如图1所示的正方形ABCD和小正方形EFGH，求小正方形的对角线EG的长；（2）如图2，边长为5的正方形内有两个全等的直角三角形，一条直角边CF＝4，求两个直角顶点这距离EF；（3）已知Rt△ABC，∠C＝90°，，BC＝1，以AB为一直角边作等腰直角三角形ABD，且BA＝BD，点O是AD的中点，则CO＝．

参考答案一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列式子，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．解：A、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；C、是最简二次根式，故此选项符合题意；D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式，如果二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．2．如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长是（）A．5 B． C．7 D．25【分析】由勾股定理可得出答案．解：由图可知AB＝＝5，故选：A．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而得出答案．解：A．＝5，故此选项不合题意；B．＝2，故此选项不合题意；C．＝，故此选项符合题意；D．＝（）2（a≥0），故此选项不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法以及二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．4．下列命题正确的是（）A．形如的式子叫做二次根式 B．一组邻边相等的矩形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．在直角三角形ABC中，三边a，b，c满足的关系是a2+b2＝c2【分析】根据二次根式的定义、正方形的判定、矩形的判定、勾股定理判断即可．解：A、形如（a≥0）的式子叫做二次根式，故本选项命题错误，不符合题意；B、一组邻边相等的矩形是正方形，命题正确，符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题错误，不符合题意；D、在直角三角形ABC中，∠C＝90°，三边a，b，c满足的关系是a2+b2＝c2，故本选项命题错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．下列计算正确的有几个（）①；②；③﹣2＝3；④．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可．解：①2×3＝（2×3）×（×）＝6×3＝18，原计算错误，不符合题意；②与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；③5与2不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；④÷＝＝＝，正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．6．分别满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（）A．三边之比为 B．三边长依次是9，40，41 C．三边之比为 D．三内角之比为3：4：5【分析】根据勾股定理的逆定理判断A、B、C；根据三角形内角和定理判断D．解：A、设最小边为k，k2+（k）2＝（k）2，是直角三角形，此选项不符合题意；B、92+402＝412，是直角三角形，此选项不符合题意；C、设最小边为k，k2+（k）2＝（2k）2，是直角三角形，此选项不符合题意；D、根据三角形内角和定理，可得最大角为180°×＝75°，所以不是直角三角形，此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．7．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（）A．48 B．60 C．76 D．80【分析】由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分＝S正方形ABCD﹣S△ABE求面积．解：∵∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，∴在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2＝100，∴S阴影部分＝S正方形ABCD﹣S△ABE，＝AB2﹣×AE×BE＝100﹣×6×8＝76．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是判断△ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解．8．已知平行四边形ABCD，下列结论不正确的是（）A．当AC＝BD时，它是矩形 B．当AC⊥BD时，它是矩形 C．当AC平分∠BAD时，它是菱形 D．当AB＝BC时，它是菱形【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可得A错误；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得B正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得C正确；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得D正确．解：A、当AC＝BD时，它是矩形，故此选项结论不符合题意；B、当AC⊥BD时，它是菱形，故此选项说法不正确，符合题意；C、当AC平分∠BAD时，它是菱形，故此选项说法正确，不符合题意；D、当AB＝BC时，它是菱形，故此选项说法正确，不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了菱形和矩形的判定，关键是掌握菱形和矩形的判定定理．菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．9．如图，已知矩形ABCD中AD＝2，AB＝3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF分别交CD，AB于点E，F，则DE的长为（）A．1 B． C． D．【分析】由“AAS”可证△BCF≌△HEC，可得EC＝FC，通过证明四边形AECF是平行四边形，可得AF＝CE，FC＝AE，由勾股定理可求解．解：过点E作EH⊥CF于H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝3，∠B＝∠BCD＝90°，∴∠EHC＝∠B＝∠BCD＝90°，∴∠BCF+∠DCF＝90°＝∠BCF+∠BFC，∴∠DCF＝∠BFC，在△BCF和△HEC中，，∴△BCF≌△HEC（AAS），∴EC＝FC，∵AB∥CD，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE，FC＝AE，∴AE＝CE，∵AE2＝AD2+DE2，∴（3﹣DE）2＝4+DE2，∴DE＝，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．10．已知，则a2+b2的值为（）A．2 B． C．1或﹣1 D．1【分析】由已知得，两边平方整理可得（1﹣a2﹣b2）2＝0，从而可选出正确答案．解：，则两边平方得，整理得，两边平方得4b2（1﹣a2）＝（1+b2﹣a2）2＝（1﹣a2）2+2b2（1﹣a2）+b4，所以（1﹣a2）2﹣2b2（1﹣a2）+b4＝0，即（1﹣a2﹣b2）2＝0，所以1﹣a2﹣b2＝0，即a2+b2＝1，故选：D．【点评】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式．本题的关键是通过移项平方去掉根号，从而进行计算．二.填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）11．代数式的x的取值范围是x≤2且x≠﹣3．【分析】根据分式的分母不能为0和二次根式的被开平方数大于等于0进行求解．解：∵代数式代数式有意义，∴，解得x≤2且x≠﹣3，∴x的取值范围是x≤2且x≠﹣3；故答案为：x≤2且x≠﹣3．【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．12．已知，则x2+2x﹣4的值是0．【分析】由，可得x+1＝，将式子x2+2x﹣4变形为（x+1）2﹣5，再代入计算即可．解：∵，∴x+1＝，∴x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5＝（）2﹣5＝5﹣5＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．13．已知一个圆的半径为，一矩形的长为，若该圆的面积与矩形的面积相等，则矩形的宽为cm．【分析】根据“圆的面积与矩形的面积相等”列方程即可计算出矩形的宽．解：设矩形的宽为x，则，∴x＝．故答案为：．【点评】本题考查二次根式的应用，解题关键是圆及矩形的面积公式．14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝2.5cm．【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得：BD＝AC＝＝10（cm），∴DO＝5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF＝OD＝2.5cm，故答案为：2.5．【点评】本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，关键是求出OD长．15．如图四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝2，BC＝3，CD＝1，则四边形ABCD的面积是2+．【分析】连接BD，判定△ABD是等腰直角三角形，即可得出∠ADB＝45°，再根据勾股定理的逆定理即可得出△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°，依据三角形面积计算公式，即可得到四边形ABCD的面积．解：∵AB＝AD＝2，∠A＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，在Rt△BAD中，∵AB＝AD＝2，∴BD＝＝＝2，∵CD＝1，BC＝3，∴DB2+CD2＝9＝CB2，∴△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB×AD+BD×CD＝×2×2+×2×1＝2+．故答案为：2+．【点评】此题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，解决问题的关键是求出∠ADB＝45°，再求出∠BDC＝90°．16．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为2．【分析】作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．首先证明E′与E重合，因为A、C关于BD对称，所以当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，由此求出CE即可解决问题．解：如图，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，∴AB＝BC＝4，AB•CE′＝8，∴CE′＝2，在Rt△BCE′中，BE′＝＝2，∵BE＝EA＝2，∴E与E′重合，∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴A、C关于BD对称，∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE＝2，故答案为：2．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明CE是△ABC的高，学会利用对称解决最短问题．三、解答题（本大题共7小题，共52分，解答应写出必要在演算步骤、证明过程或文字说明）17．计算：（1）；（2）．【分析】（1）根据分母有理化法则和二次根式的计算法则计算即可；（2）先计算二次根式的乘除，再计算加减即可．解：（1）原式＝+3﹣3+2＝+1+3﹣3+2＝4；（2）原式＝4﹣+2＝4+．【点评】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．18．化简求值：，其中实数x，y满足．【分析】利用二次根式的化简的法则对式子进行化简，再结合二次根式有意义的条件求得x，y的值，代入运算即可．解：＝＝＝，∵，∴x﹣3≥0，6﹣2x≥0，解得：x≥3，x≤3，∴x＝3，∴y＝2，∴原式＝＝＝．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．19．已知平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若∠BAC＝∠DAC，判断四边形EBFD的形状，说明理由．【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；（2）根据平行四边形的性质可得DA＝DC，然后利用菱形的性质可得DB⊥EF，进而可以证明四边形EBFD是菱形．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF．∴OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形；（2）解：平行四边形EBFD是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC，∴平行四边形ABCD为菱形，∴DB⊥EF，∴平行四边形EBFD是菱形．【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．20．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM＝MN；（2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN长．【分析】（1）根据三角形的中位线的MN＝AD，根据直角三角形斜边上的中位线求出MN＝AD，即可得出答案；（2）求出BM＝AM，根据角平分线的定义求出∠CAD＝∠BAC＝30°，求出∠BMC＝60°，∠CMN＝30°，求出△BMN是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出BN即可．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，M为AC的中点，∴BM＝AC，∵M、N分别为AC、CD的中点，∴MN＝AD，MN∥AD，∵AC＝AD，∴BM＝MN；（2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝30°，∵∠ABC＝90°，M为AC的中点，∴BM＝AM＝AC＝＝1，∴∠BAC＝∠ABM＝30°，∴∠BMC＝∠ABM+∠BAC＝30°+30°＝60°，∵M、N分别为AC、CD的中点，AC＝AD＝2，∴MN＝AD＝AC＝1，MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°，∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝60°+30°＝90°，即△BMN是等腰直角三角形，由勾股定理得：BN＝．【点评】本题考查了三角形的中位线性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等知识点，能根据三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线性质求出BM＝MN是解此题的关键．21．已知a，b，c满足，问以a，b，c为边能否构成三角形，若能，求出此三角形的面积，若不能，请说明理由．【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，绝对值和偶次方的非负性可得a、b和c的值．先计算两条较短边的长度之和大于第三边，则可判断a，b，c为边能构成三角形；再根据勾股定理逆定理可证明此三角形是直角三角形，然后根据直角三角形的面积计算公式求得面积即可．解：（1）∵，∴a﹣＝0，b2﹣5＝0，c﹣＝0，解得a＝，b＝±（负值舍去），c＝．∵+＞，∴以a，b，c为边能构成三角形，∵b2+c2＝5+3＝8，a2＝8，∴a2＝b2+c2，∴此三角形是直角三角形．此三角形的面积为：××＝．答：以a，b，c为边能构成三角形，此三角形的面积为．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值和偶次方的非负性、三角形的三边关系和勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．22．已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝3，AD＝4，求AC的长．【分析】连接BD，根据等腰直角三角形的性质证明△BCD≌△ACE（SAS），得∠BDA＝∠BDC+∠ADC＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据等腰直角三角形的性质即可求出AC．解：如图，连接BD，∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠ADC＝∠E＝45°，∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD，∴∠DCB＝∠ECA，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD