测量误差的规律性及其表述

测量误差的规律性及其表述HarbinInstituteofTechnology第1页，课件共63页，创作于2023年2月随机误差的分布密度和分布函数随机误差：

当对同一量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值(常称为测量列)，每个测量值都含有误差,这些误差的出现又没有确定的规律，即前一个误差出现后，不能预定下一个误差的大小和方向，但就误差的总体而言，却具有统计规律性。HarbinInstituteofTechnology第2页，课件共63页，创作于2023年2月随机误差的分布密度和分布函数随机误差的来源：测量装置方面的因素零部件配合的不稳定性、零部件的变形、零件表面油膜不均匀、摩擦等。环境方面的因素温度的微小波动、湿度与气压的微量变化、光照强度变化、灰尘以及电磁场变化等人员方面的因素瞄准、读数的不稳定等。HarbinInstituteofTechnology第3页，课件共63页，创作于2023年2月随机误差的分布密度和分布函数 按分布函数定义，随机变量x的分布函数为

式中， 是作为随机变量的随机误差取值小于δ的概率。 若随机误差取值在数轴上， 表示随机误差落在δ点左面的概率。当δ点右移时这一概率增大；当δ点移向无穷远处时，这一概率为1，即 反之，当δ点左移时这一概率减小；当δ点移向无穷远处时这一概率为0，即HarbinInstituteofTechnology第4页，课件共63页，创作于2023年2月随机误差的表征参数（Ⅰ）在一般的数据处理中，随机误差的数字特征主要使用数学期望E（δ）和方差D（δ）数学期望定义： 的分布密度函数数学期望是误差δ的分布中心，它反映了δ的平均特征（或者数学期望说是δ所有可能取值的平均值）HarbinInstituteofTechnology第5页，课件共63页，创作于2023年2月随机误差的表征参数（Ⅱ）数学期望的性质：常数c的数学期望为E（c）=c随机误差δ乘以常数c，则有 随机误差 之和的数学期望为

相互独立的随机误差 之积的数学期望为

HarbinInstituteofTechnology第6页，课件共63页，创作于2023年2月随机误差的表征参数（Ⅲ）方差和标准差 定义：

通常，随机误差的数学期望E（δ）=0，因而有：

HarbinInstituteofTechnology第7页，课件共63页，创作于2023年2月随机误差的表征参数（Ⅳ）随机误差的方差是反映随机误差取值的分散程度的，是误差随机波动性的表征参数。方差的性质：常数c的方差为D（C）=0；随机误差δ乘以常数c的方差为 随机误差 之和的方差为

HarbinInstituteofTechnology第8页，课件共63页，创作于2023年2月随机误差的表征参数（Ⅴ）当随机误差 相互独立时，和的方差为

实际上更常使用标准差（或均方差）。按照定义，标准差应为方差的正平方根，即

应注意，标准差没有负值。方差和标准差可作为测量精度的评定参数HarbinInstituteofTechnology第9页，课件共63页，创作于2023年2月随机误差的表征参数（Ⅴ）协方差（相关矩）和相关系数 随机误差δx与δy的协方差定义为

相关系数为： 协方差或相关系数反映误差之间的线性相关关系，这一相关关系影响到误差间的抵偿性，这一情形将在第五章详细说明 HarbinInstituteofTechnology第10页，课件共63页，创作于2023年2月随机误差的表征参数（Ⅵ）实用中的其他一些参数 扩展不确定度：U=ks，式中，k为置信系数。K值相应于一定的置信概率P。

置信概率P为误差δ落入区间（-ks，+ks）的概率，若δ超出该区间的概率为α，则有P=1-α。 此外，平均误差θ与或然误差ρ在实践上也有用。HarbinInstituteofTechnology第11页，课件共63页，创作于2023年2月随机误差的表征参数（Ⅶ）平均误差为测量误差绝对值的平均值，其期望为：

实践上取

或然误差规定为满足下式的ρ值

HarbinInstituteofTechnology第12页，课件共63页，创作于2023年2月2.2正态分布随机误差的统计规律及其表述正态分布的统计直方图和经验分布曲线正态分布随机误差的分布函数和分布密度正态分布随机误差概率的计算正态分布随机误差的表征参数误差分布的正态性检验HarbinInstituteofTechnology第13页，课件共63页，创作于2023年2月正态分布的统计直方图和经验分布曲线对某一量X进行多次重复测量,由于随机误差因素的作用,各次测量结果都不相同,这些结果按一定的规律分布.

在直角坐标中,由横坐标给出 测量结果,将测量结果的取值 范围等分为适当数量(m)的 区间,每一区间间隔为△x.设 测量次数为n,计数测量结果 落入每一区间的数目 .HarbinInstituteofTechnology第14页，课件共63页，创作于2023年2月正态分布的统计直方图和经验分布曲线以△x为底,以 为高坐标图中第i区间作矩形，所得矩形的面积即为测量结果在该区间上的频率(即相应频率的近似)。依次类推在各区间上作出这样的矩形,所有矩形的总合就称为统计直方图，由图中显而易见,直方图的面积总和应为1。

连接各矩形上边中点而得一曲线,这是通过统计实验得到的分布密度曲线，这一曲线称为经验分布曲线.经验分布曲线给出了测量结果的概率分布,其相应的纵坐标为概率密度。其某区段的面积即代表了相应的概率.HarbinInstituteofTechnology第15页，课件共63页，创作于2023年2月正态分布的统计直方图和经验分布曲线

从上图的分析,可知:测量次数越多,分布间距越小,所得经验分布曲线就越可靠. 将x转换为δ=x-X,得到关于δ的分布曲线.HarbinInstituteofTechnology第16页，课件共63页，创作于2023年2月正态分布的统计直方图和经验分布曲线分析考查这一分布曲线可知,这一误差分布有以下特点对称性:分布曲线关于纵坐标对称,表明该随机误差正值与负值出现的机会均等.单峰性:分布曲线中间高、两端渐低而接近于横轴,表明误差以较大的可能性分布于0附近,即绝对值小的误差出现的可能性大,而绝对值大的误差出现的可能性小.有界性:测量的实际误差总是有一定界限而不会无限大,因而经验分布曲线总有一实际范围,这就是误差的有界性.HarbinInstituteofTechnology第17页，课件共63页，创作于2023年2月正态分布的统计直方图和经验分布曲线总结:由误差的对称性和有界性可知,这类误差在叠加时有正负抵消的作用.一般来说,不论随机误差服从何种分布,只要其数学期望为0,则该随机误差就有这一抵偿性.由于随机误差的低偿性,当测量次数足够大时,

该随机误差的算术平均值趋于零.HarbinInstituteofTechnology第18页，课件共63页，创作于2023年2月正态分布随机误差的分布函数和分布密度根据最大似然原理可推得δ的分布密度为:

e-自然对数的底,e=2.7183…;

π-圆周率,π=3.14159…;

б-误差δ的均方差或称标准差,对同一分布的随机 误差,б为一常数. 误差δ的分布密度函数f(δ)的曲线如图所示.这一曲线与前述的经验分布曲线是一致的.这是一条指数曲线,曲线两端向无穷远处延伸,并逼近横坐标.HarbinInstituteofTechnology第19页，课件共63页，创作于2023年2月正态分布随机误差的分布函数和分布密度HarbinInstituteofTechnology第20页，课件共63页，创作于2023年2月正态分布随机误差的分布函数和分布密度注意:正态分布的随机变量的和仍为正态分布的随机变量.即

但在和式中若有部分误差不服从正态分布,则这一误差和就不服从正态分布.不过,当和式中的误差项数量增加,而又”均匀”减小,和的分布将趋于正态分布 实践上,当各随机误差较为”均匀”,即它们的方差相差不太大时,n大致在10左右，这些误差的和就能较好的接近正态分布.HarbinInstituteofTechnology第21页，课件共63页，创作于2023年2月正态分布随机误差概率的计算

由分布密度f(δ)的定义可知,正态分布随机误差δ取值在a~b区间内的概率应为相应区间上密度函数的积分 这一概率等于相 应区段密度曲线 下的面积HarbinInstituteofTechnology第22页，课件共63页，创作于2023年2月正态分布随机误差概率的计算

实际中,上面的积分的直接计算是困难的.实用中都是利用数表给出上面的积分,为此须将上面的积分进行变换.作变量 则有:

引入函数 则

HarbinInstituteofTechnology第23页，课件共63页，创作于2023年2月正态分布随机误差概率的计算

函数Ф(t)称为概率积分(或称拉普拉斯函数),其值可按t值查概率积分表获得.由 查概率积分表可得 及 值,根据以上公式可求得概率值.而误差δ取值在[a,b]之外的概率则为α=1-P.实践上常遇到对称区间上的概率计算,对称区间[-a,a]上的概率为而分布概率的总和应为1,即密度曲线下的全部面积为1HarbinInstituteofTechnology第24页，课件共63页，创作于2023年2月正态分布随机误差的表征参数对于正态分布的随机误差δ,其数学期望为0,即

正态分布随机误差的均值为0(测量次数足够多),正是随机误差抵偿性的反映.由于正态分布随机误差的数学期望为0,因而对任一正态分布随机误差的数学期望无须再作说明.正态分布随机误差的方差等于其分布密度函数中的参数б的平方.推导过程如下:HarbinInstituteofTechnology第25页，课件共63页，创作于2023年2月正态分布随机误差的表征参数

正态分布随机误差的方差为

作变量代换 代入上式,则有: 经分部积分得 括号内的第一部分为0,第二部分是欧拉-波阿松积分,等于 ,故HarbinInstituteofTechnology第26页，课件共63页，创作于2023年2月正态分布随机误差的表征参数

由正态分布的分布密度函数式可知,只要确定了б值则分布密度函数即已确定,可见参数б的重要性.显然,参数б即为标准差.由图可知,标准差大,相应的分布曲线低而宽,表明误差取值分散程度大,对测量结果的影响就大.标准差小,则情形正相反.HarbinInstituteofTechnology第27页，课件共63页，创作于2023年2月正态分布随机误差的表征参数平均误差期望为 或然误差的期望为ρ=0.6745б

在分布曲线图,曲线的拐点,θ为曲线半边面积重心横坐标,ρ则为将曲线半边面积等分为左右两半的坐标线相应的横坐标.HarbinInstituteofTechnology第28页，课件共63页，创作于2023年2月误差分布的正态性检验分布正态性检验的方有两类:通用的检验方法,适用于检验各种分布,如x²检验法.另一类检验方法是专门用于检验正态分布的方法,这类方法利用了正态分布的特点,因而更为有效.如正态概率纸检验法;偏态、峰态检验法;W检验法等.其中,正态概率低检验法简便实用,是实践中经常使用的方法.HarbinInstituteofTechnology第29页，课件共63页，创作于2023年2月正态概率纸检验法

正态概率纸检验法是一种具有特殊分度的专用坐标纸其坐标构造按标准正态分布设计,但适用于任何正态分布的检验(因一般正态变量与标准正态变量具有简单的线性关系).横坐标表示被检验的数据值x,分度是均匀的;纵坐标为相应的概率值,分度是不均匀的但坐标点在概率纸上成一直线HarbinInstituteofTechnology第30页，课件共63页，创作于2023年2月正态概率纸检验法

根据坐标点在概率纸上成一直线分布,据此可检验某组数据是否服从正态分布.检验方法如下:将待检验的n个数据大小重新排列,得顺序数列; 计算相应的额概率 可按下式计算 式中:n-给出数据得数目

i-数据按大小排列的序号,i=1,2,…n.以 为坐标,将各点逐一描于正态概率纸上;按所得各坐标点进行判别,若各点分布于一直线附近,则表明该组数据服从正态分布,否则认为数据分布偏离正态HarbinInstituteofTechnology第31页，课件共63页，创作于2023年2月正态概率纸检验法若该组数据经检验服从正态分布,则可由所得坐标图上的直线查得均值μ及子样标s:P=0.5相应的x值即为均值的估计值μ,而P=0.159相应的x值为 则标准差的估计值为

例题见课本28页HarbinInstituteofTechnology第32页，课件共63页，创作于2023年2月测量中非正态分布的随机误差

大多数的测量误差因素具有正态分布的特,但在测量实践中确实存在非正态分布的随机误差因素.常见的非正态分布的随机误差均匀分布的随机误差反正弦分布的随机误差其他非正态分布的随机误差截尾正态分布三角形分布 歪曲了的正态分布HarbinInstituteofTechnology第33页，课件共63页，创作于2023年2月均匀分布的随机误差

这类误差均匀地分布在某一区域内,即在该区域内概率密度处处相等,在该区域外概率密度为0.其分布曲线为一相应于该区域的平行于横坐标的直线段.如右图所示HarbinInstituteofTechnology第34页，课件共63页，创作于2023年2月均匀分布的随机误差

设有均匀分布的随机误差δ,其分布区域为-a~a(a为正数),则δ的分布密度应为

均匀分布的随机误差的数学期望为 即均值为0.因此,均匀分布的随机误差也具有正态分布随机误差的低偿性.方差:分布函数HarbinInstituteofTechnology第35页，课件共63页，创作于2023年2月反正弦分布的随机误差若随机变量φ服从均匀布

HarbinInstituteofTechnology第36页，课件共63页，创作于2023年2月反正弦分布的随机误差HarbinInstituteofTechnology第37页，课件共63页，创作于2023年2月反正弦分布的随机误差反正弦分布误差的数学期望为

而方差为 标准差为 式中a为误差的最大值HarbinInstituteofTechnology第38页，课件共63页，创作于2023年2月其他非正态分布的随机误差截尾正态分布正态分布的随机误差被限定在某一有限区域(-△,△)内,即服从截尾正态分布。如加工出某种零件,其尺寸(或尺寸误差δ)服从正态分布，按给定的公差要求|δ|≤△验收这批工件,将超差(|δ|>△)的工件报废验收合格的这些工件尺寸就服从截尾正态分布.HarbinInstituteofTechnology第39页，课件共63页，创作于2023年2月其他非正态分布的随机误差设其正态母体分布密度为

则截尾正态分布的分布密度为

这一分布的方差显然已不是б²,而应为HarbinInstituteofTechnology第40页，课件共63页，创作于2023年2月其他非正态分布的随机误差二个均匀分布误差的和服从三角分布，如图2-17。此外还可见到歪曲了的正态分布等图2-18(a)称偏态的，用偏态系数表征其偏离正态的程度。(b)、（c）的情形用峰态系数表征其偏离正态的程度。

HarbinInstituteofTechnology第41页，课件共63页，创作于2023年2月系统误差的特征及其表述系统误差的特征系统误差遵从确定的规律性系统误差规律的多样性和复杂性对系统误差规律的认识不确定的系统误差的特征和评定方法

HarbinInstituteofTechnology第42页，课件共63页，创作于2023年2月系统误差遵从确定的规律性

系统误差与随机误差的本质差别在逐次测量的一系列测量结果中，系统误差表现出具有确定的规律性，在相同的条件下，这一规律可重复地表现出来。在只含系统误差的多次重复的测量数据中，没有随机数据那样的离散特点这就使系统误差不具有随机误差那样的抵偿性.应特别指出，所说系统误差的规律性是有确定的前提条件的，研究系统误差的规律性应首先注意到这一前提条件。系统误差所表现出的规律性，是在确定的测量条件下，系统误差因素所具有的确定规律性的反映HarbinInstituteofTechnology第43页，课件共63页，创作于2023年2月系统误差遵从确定的规律性(例)

用带有圆分度盘的仪器进行测量，当分度盘中相对指针转动中心有偏心时，各条刻线相对指针转动中心来说，所指示的读数值就有系统误差.当有如图2-19所示的关系时，这一误差与φ角有如下关系：δ=esinφ这一关系式表明，按顺时针或逆时针顺次考察各刻度位置时，示值误差δ随φ按正弦规律变化。这一变化规律在重复的顺次考察时可重复地表现出来，并在任一固定位置上有确定的误差值。HarbinInstituteofTechnology第44页，课件共63页，创作于2023年2月系统误差规律的多样性和复杂性

在系列测量数据中,按其表现的规律特征,系统误差分为恒定的系统误差和按某种规律变化的系统误差.恒定的系统误差:多次测量时,条件完全不变,或条件改变并不影响测量结果.恒定系统误差在各测量结果中保持常值,因而恒定系统误差不会使诸测量结果间出现差异.仅又测量结果不能判断这一误差的存在,在取测量结果的算术平均值时,这一误差没有相互抵消的作用,因而不能减弱其影响,这是与随机误差不同的.HarbinInstituteofTechnology第45页，课件共63页，创作于2023年2月系统误差规律的多样性和复杂性按线性规律变化的系统误差 在多次测量中,其值随条件的改变按线性关系变化 例如,线纹刻尺安装歪斜时， 各刻度的累积误差成线性关系 变化如图。电学测量仪放大比 的调整误差，光学仪器放大率 误差，温度偏差等也会引起与 被测量成线性关系变化的测量 误差。有时，机构紧固装置的 松动等也可能引起误差时逐次 累积，形似线性误差。此时应注意作出判断，及时清除。这类系统误差可通过测量数据的逐次变化表现出来。HarbinInstituteofTechnology第46页，课件共63页，创作于2023年2月系统误差规律的多样性和复杂性周期变化的系统误差周期性系统误差在逐次测量中随条件的改变作 周期性变化。最常见的是按正弦关系变化的周 期误差。周期误差在一个周期内正负变化一次，其幅值是该项误差的最大值。周期误差易于在系列测量结果中显现出来，采用一定的方法(如半周期法)可减小或消除这一误差有时这一周期误差是由若干不同周期的误差综合而成的，可通过谐波分析法将各种成分分解出来。HarbinInstituteofTechnology第47页，课件共63页，创作于2023年2月系统误差规律的多样性和复杂性按复杂规律变化的系统误差 在若干系统误差因素的作用下，逐次测量结果的误差作复杂的有一定变化趋势的改变。这一变化难以用某一简单的规律描述。对系统误差规律的认识：按照对其掌握的程度确定的系统误差：取值的变化规律及其具体数值都是已知的误差。可通过修正的方法消除这类系统误差的影响。因而最后给出结果中应不再包含这类误差。不确定的系统误差：具体数值(甚至其规律性)并未确切掌握的系统误差。HarbinInstituteofTechnology第48页，课件共63页，创作于2023年2月不确定的系统误差的特征和评定方法不确定系统误差某一确定条件下系统误差(不具有抵偿性)具有确定的规律性,但并不确知,无法通过修正法消除,无法以其具体数值来评定它对测量结果的影响.将其置于某一总体中可看作是总体的一次具体的抽样结果,可用总体的分布特征去描述这类误差.(具有随机误差的特征)随机误差的特征：其分布与误差因素的变化有关，也与测量条件的 变化有关，由测量的具体问题所决定。描述其分 布的基本参数之一是方差。同样方差也反映了这 类误差可能取植的分散程度，是对测量结果可靠 性的表征。HarbinInstituteofTechnology第49页，课件共63页，创作于2023年2月系统误差的检验方法通过实验对比检验系统误差通过理论分析判断系统误差对测量数据的直接判断用统计方法进行检验残差校核法阿贝-赫梅特判别法残差总和判别法标准差比较法数据比较法HarbinInstituteofTechnology第50页，课件共63页，创作于2023年2月通过实验对比检验系统误差用高一级精度的仪器或测量方法(其测量误差相对来说很小)给出标准量进行对比检验。这一方法在计量工作中称为“检定”.通过检定不仅能发现测量中是否存在系统误差，而且能准确地确定其具体数值，为消除这一误差创造了条件。用同等精度的其他仪器或测量方法给出的测量结果作对比，若发现两者之间有明显的差别，则表明二者问有系统偏差，应怀疑测量结果含有系统误差.当已知误差因素与测量误差之间的关系时，可通过测量实验得出原始误差，再按它与测量误差间的函数关系求得相应的测量误差。或反之，将测量误差进行分解(如利用谐波分析法)，以确定误差分量。HarbinInstituteofTechnology第51页，课件共63页，创作于2023年2月通过理论分析判断系统误差(Ⅰ)理论分析的方法与实验的方法相互补充，构成了精度分析的基本内容。例:某电路输出电压表达式为 已知电阻 的温度系数为 ,若温度变化△t,分析引起的输出电压V0的变化.

解:当温度变化△t,R2变化为△R2=K2R2△t

则输出电压为 而输出电压的误差为HarbinInstituteofTechnology第52页，课件共63页，创作于2023年2月通过理论分析判断系统误差(Ⅱ)例:下图所示为按正弦原理测量最小角度的原理示意图.设正弦臂长l,当测得位移s后.被测角α即可按下式求得 即 为简化测量工作,当被测角

α很小时,可采用下面的线 性关系代替这一非线性关系

显然,这一替代会带来 角度的测量误差,其值为:

HarbinInstituteofTechnology第53页，课件共63页，创作于2023年2月对测量数据的直接判断

通过观察系列测量结果的数值变化趋势，可发现随测量次序变化的系统误差。 例如,系列测量结果随测量 次序成线性关系变化,表明 含有线性误差； 测量结果随测量次序呈周期 性变化表明含有周期性误差。

在对比两组测量结果时,可直 接看出它们的差异,从而判断 出二者间的系统偏差.HarbinInstituteofTechnology第54页，课件共63页，创作于2023年2月用统计方法进行检验按随机误差的统计规律作出某种统计法则,看测量数据系列是否与之相符,若不相符合则说明该测量数列包含系统误差。不过这类方法有很大的局限性：这类方法只能用于检验在系列测量数据中变化的系统误差或检验两组数列的系统差异,对于同一测量系列中的恒定系统误差,所有这些方法都是无效的；给出的判断不是十分可靠的,在不同的情况下,对不同类型的系统误差判别的效果不同,用不同的这类方法判断同一组数据所得结果可能是不同的 HarbinInstituteofTechnology第55页，课件共63页，创作于2023年2月用统计方法进行检验必须给出系列测量数据才能作出判断,对单个数据不能作出判断,数据的数目较少时判断可靠性差;与前面二类方法相比,这类方法只能对系统误差的存在与否作出判断,不能给出系统误差的具体数值.在上述意义上,各种统计检验方法都远不是完美的,其应用是有限的,特别是在计算行业中应用较少.因而,本课程只就其中的部分内容坐简要的介绍.HarbinInstituteofTechnology第56页，课件共63页，创作于2023年2月残差校核法

对等精度系列测量数据 按式 求残差