测量的不确定度及数据处理

测量的不确定度及数据处理第1页，课件共14页，创作于2023年2月4、误差：测量值和真值之间总会存在或多或少的偏差，这种偏差就称为测量值的误差。设被测量的真值为X,测量值为x,则测量误差为△=x－X

,我们所测得的一切数据都毫无例外地包含一定的误差，因而误差存在于一切测量之中。5、测量的任务是：

（1）设法使测量值中的误差减到最小。

（2）求出在测量条件下被测量的最近真值。

（3）估计最近真值的可靠程度。第2页，课件共14页，创作于2023年2月二、误差的分类：

1、系统误差：l

系统误差：在同一条件下（观察方法、仪器、环境、观察者不变）多次测量同一物理量时，符号和绝对值保持不变的误差叫系统误差。当条件发生变化时，系统误差也按一定规律变化。系统误差反映了多次测量总体平均值偏离真值的程度。(产生固定方向的偏差)例如：用天平测量物体质量，当天平不等臂时，测出物体质量总是偏大或偏小；当我们的手表走的很慢时，测出每一天的时间总是小于24小时；仪器零点未校正；温度引起阻值的变化。第3页，课件共14页，创作于2023年2月l

系统误差的消除：由于系统误差主要是由于仪器不完善，方法（或理论）不完善、环境影响而产生，在实验过程中要不断积累经验，认真分析系统误差产生的原因，采取适当的措施来消除。

系统误差不能通过多次测量取平均值的方式来减小或消除，但它可归结为一个或几个因素的函数，并可用解析公式、曲线或列表的方式表示，这些曲线或表格称为误差修正曲线或误差修正表，。通过这种方法可研究出系统误差的变化规律，最终达到修正或消除系统误差的目的。第4页，课件共14页，创作于2023年2月2、随机误差l

随机误差（偶然误差）：在同一条件下，多次测量同一物理量时，测量值总是有稍许差异而变化不定，这种绝对值和符号经常变化的误差称为随机误差。（以不可预知的方式变化，可用多次测量求平均来表示测量结果）l

随机误差的规律性：（1）

绝对值相等的正的误差和负的误差出现的机会相同。（2）

绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。（3）

超出一定范围的误差基本不出现。l

随机误差的消除：在一定测量条件下，增加测量次数，可以减小测量结果的随机误差，使算术平均值趋于真值。因此，可以取算术平均值为直接测量的最近真值（最佳值）。第5页，课件共14页，创作于2023年2月3、绝对误差：l

绝对误差：测量值x与被测量真值X之差，同被测量有相同单位，它反映了测量值偏离真值的大小。这种有单位的误差称为绝对误差。在同一测量条件下，绝对误差可以表示一个测量结果的可靠程度；但比较不同测量结果时，问题就出现了。例如：用米尺测量二个物体的长度时，测量值分别是0.1m和1000m,它们的绝对误差分别是0.01m和1m,虽然后者的绝对误差远大于前者，但是前者的绝对误差占测量值的10%，而后者的绝对误差仅占测量值的0.1%，说明后一个测量值的可靠程度远大于前者，故绝对误差不能正确比较不同测量值的可靠性。4、相对误差：l

相对误差：测量值的绝对误差与测量值之比叫相对误差。相对误差是一个比值，没有单位，通常用百分比表示。第6页，课件共14页，创作于2023年2月三、直接测量结果的误差估计

1、单次测量的误差估计由于有些物理量的测量精度要求不高，或者这一物理量的误差对整体影响较小，因而只测量一次即可满足测量要求，此时测量误差的估计分两种情况：（1）在给定仪器误差情况下，单次测量的误差取仪器误差；（2）在没有给出仪器误差的情况下，对连续读数的仪器，取测量仪器最小分度值的一半作为单次测量的误差。对非连续读数的仪器，取测量仪器的最小分度值作为单次测量的误差。对于其余一些特殊情况，单次测量的仪器误差示具体情况而定。例如：秒表和天平。第7页，课件共14页，创作于2023年2月2、多次测量的误差估计l

算术平均值

：在相同测量条件下，对同一物理量独立测量n次的测量值为x1,x2,……,xn,其算术平均值为

l

残差

：测量值与平均值之差称为残差。

l

标准偏差：

需要注意的是：测量值的标准偏差并不表示测量值的误差的实际大小，因为测量值的偶然误差是随机的，所以测量值的标准偏差只表示，任一测量值的误差落在区域（+δ

、-

δ

）内的概率为68.3%,这就是标准偏差的统计意义。l

算术平均值的标准偏差δ

:

第8页，课件共14页，创作于2023年2月3、

可疑数字的剔除一般测量的误差出现在

内的概率为68.3%,误差出现在

内的概率为95.5%,而出现在

区间内的概率为99.7%,而一般我们的测量次数又不是很多，故测量值误差超出

区间的可能性及小，对误差超出

的数据可以剔除，但要在原始数据记录表格中保留，并用红色笔做删除标记。4、测量次数的确定在基础实验中，一般测量次数为4——10次。5、重复测量所得测量值相等时误差估计重复测量的测量值相等，此时用前面所讲的计算标准偏差公式计算的结果为零，这并不意味着测量中不存在随机误差，这是由于测量仪器精度较低，不足以反映测量的随机误差，在这种情况下，计算标准偏差的方法为：设仪器的最小分辨值为b,测量的标准偏差为

第9页，课件共14页，创作于2023年2月四、间接测量的误差传递

由直接测量量代入公式计算得到的结果称为间接测量，由于直接测量存在误差，因此由计算得到的间接测量量也存在误差，这就是误差传递。1、差传递的基本公式设：x,y,z,……为独立的测量量，N为待测物理量，其函数关系为：

N=f（x,y,z,······）对上式进行全微分有：

上式就是误差传递的基本公式，其中等于号“=”后面的每一项称为绝对误差或相对误差的分误差项；dx,dy,dz前面的系数称为误差传递系数。可以看出，一个独立测量量的误差对总误差的影响，不仅取决于本身误差的大小，还取决于误差传递系数。

第10页，课件共14页，创作于2023年2月2、偶然误差的传递和合成在一般情况下，直接测量的误差要求计算标准偏差，而以上两式对标准偏差并不成立，根据误差理论，在误差传递过程中，标准偏差的合成方式为：（1）绝对误差：

（1）（2）相对误差：（2）

第11页，课件共14页，创作于2023年2月五、测量结果的表示l

测量结果的误差：无论是直接测量还是间接测量其结果的误差只有一位有效数字，测量结果有效数字的最后一位与误差位对齐。l

测量结果的表示：测量结果包括测量值、误差、单位三部分。其表达式为：

（单位）式中

在单次测量中是算术平均值，在多次测量中是由函数关系计算出的间接测量值；

为多次测量的误差。l

数值舍入规则：在基础实验中，本教材对数字的取舍一律采用四舍五入的规则。第12页，课件共14页，创作于2023年2月六、有效数字及其运算（运算结果只保留一位欠准数）

概念：可靠数+欠准数（1）记录：依据仪器的分度值而定（2）取舍规则：“奇”入“偶”舍（3）运算：加减（最先）、乘除（最少）、乘方，立方，开方（底）、常数e，h等（多取一位）第13页，课件共14页，创作于2023年2月七、实验数据的处理

在实验过程中，选择合适的数据处