2023-2024学年北师大版数学九年级上册2.5一元二次方程根与系数的关系 自主达标测试题含解析

第第页2023—2024学年北师大版数学九年级上册2.5一元二次方程根与系数的关系自主达标测试题（含解析）2023-2024学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程根与系数的关系》

自主达标测试题（附答案）

一、单选题（满分32分）

1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）

A．B．

C．D．

2．设是方程的两个实数根，则的值为（）

A．29B．C．31D．

3．若方程有一根是1，则另一根是（）

A．1B．2C．-1D．-2

4．两根均为负数的一元二次方程是（）

A．B．C．D．

5．设，是一元二次方程的两个根，那么的值等于（）

A．B．C．D．

6．已知，且，则（）

A．9B．3C．2D．

7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A．B．且C．D．且

8．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）

A．B．3C．6D．9

二、填空题（满分40分）

9．关于x的方程的两根为、，则．

10．若关于x的方程的两根互为倒数，则m的值为.

11．已知m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则实数a的值是．

12．若、是关于x的一元二次方程的两实根，且，则m=；

13．已知：m、n是方程的两根，则．

14．若一元二次方程的两个根分别为m、n，则代数式的值为．

15．若实数，分别满足，，且，则的值为．

16．关于x的一元二次方程，下列说法：

①若，则方程一定有两个不相等的实数根；

②若，则一定是这个方程的实数根；

③若，则方程一定有两个不相等的实数根；

④若的两个根为6和7，则，是方程的根，其中正确的是（填序号）．

三、解答题（满分48分）

17．已知，是方程的两根，求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

18．已知关于的一元二次方程．

(1)若已知方程有两不相等的实数根，求的取值范围；

(2)若一个面积为15的矩形的两边长正好是方程的两根，求该矩形的周长．

19．已知关于的一元二次方程有两个实数根．

(1)求的取值范围；

(2)若此方程的两实数根满足，求的值．

20．已知关于x的方程．

(1)求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．

(2)若方程的两根为、，是否存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2，若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．

(3)若等腰三角形的一边，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求的周长．

21．阅读材料，解答问题：

已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：已知实数，满足：，，且，则_____，______；

(2)间接应用：在（1）条件下，求的值；

(3)拓展应用：已知实数，满足：，且，则______．

参考答案

1．解：由题意可知：

A.，两根之和为；故符合题意；

B.，两根之和为；故不符合题意；

C.，两根之和为；故不符合题意；

D.，两根之和为；故不符合题意．

故选：A

2．解：∵是方程的两个实数根

∴，

∴，

故选：D．

3．解：设方程的另一根为，

方程有一根是1，

，

解得：，

故选：B．

4．解：A.，，两根均为正数；

B.，，两根为一正一负；

C.，，两根均为负数；

D.，，两根为一正一负．

故答案为：C．

5．解：∵，是一元二次方程的两个根，

∴，，。

∴，

∴，

∴，

故选D．

6．解：∵，

∴，

∴x、可看作方程的两根，

∴，

∴．

故选：D．

7．解：一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴，即，且，

∴且．

故选：．

8．解：设直角三角形的两条直角边分别为，，则，，

∴，

∴直角三角形的斜边长为：，故B正确．

故选：B．

9．解：根据题意得，，

所以．

故答案为：2．

10．解：∵关于x的一元二次方程的两根互为倒数，

∴，且，

∴．

故答案为：．

11．解：∵m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得或，

∵，

∴当或都满足判别式大于0，

故答案为：或．

12．解：∵，

∴，

∵、是该方程的两个根，

∴，，

∴，

∴，

经检验，该值为方程的解；

故答案为：．

13．解：∵m、n是方程的两根，

∴，，，，

∴，，

∴，

故答案为：16．

14．解：∵一元二次方程的两根分别为m，n

∴，，即，

∴．

故答案为：2023．

15．解：∵、分别满足，

∴可以、看作是一元二次方程的两个实数根，

∴，

∴，

故答案为：．

16．解：①∵，，

∴a、c异号，

∴，

∴方程有两个不等的实数根，故①正确；

②∵，即，

∴当时，，

∴时，一定有一个根是，故②正确；

③∵，

∴，

当a，c异号时，，

∴，

∴，

当a，c同号时，，且，

∴，

∴，

∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；

④∵6和7是的两个根，

∴，

∴，

而，

∴是方程的根，故④正确，

故答案为：①②③④

17．（1）解：∵，是方程的两根，

∴，，

∴，

∴的值为；

（2）∵

∴，

∴，

∴，

∴的值为；

（3）∵

，

∴的值为；

（4）由（2）知：

，

∴的值为．

18．（1）解：方程有两不相等的实数根

解得

（2）解：设矩形两边长分别为：

矩形面积为15

解得，（舍去）

∴原方程化为

∴矩形的两边长之和为9

∴矩形的周长为18

19．（1）解：由题意得：，

∴，

∴；

（2）解：根据题意得：，，

∵，

∴，即，

∴，

∴，

∵，

∴．

20．（1）证明：，

无论取什么实数值，这个方程总有实数根；

（2）解：在中，

，，

∵，

∴，

∴，

化简得：，方程无解，

∴不存在这样的k值；

（3），

解得：，，

若为底边，

则另外两边相等，

∴，

∴的周长为．

若为腰，

则，另外两边为1和2，