指数函数、幂函数、对数函数增长的比较公开课一等奖课件省赛课获奖课件

§6指数函数、幂函数、对数函数增加比较第1页一粒米故事

从前，有一种国王尤其爱慕一项称为“围棋”游戏，于是他决定奖赏围棋发明者，满足他一种心愿.“陛下，我深感荣幸，我愿望是你赏我一粒米.”发明者说.“只是一粒米？”国王回答说.“是，只要在棋盘第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上四粒米…以此类推，每一格均是前一格两倍，直到放满棋盘格数为止，这就是我愿望.”国王很快乐，以为这个愿望很容易满足。于是国王大声地说“好！把棋盘拿出来让我臣子们一起见证我们协议”……思考：国王真能够满足围棋发明者愿望吗？第2页1.巩固幂函数、指数函数、对数函数图像与性质.2.通过比较幂函数、指数函数、对数函数增加快慢,理解这三种函数增速差异.（重点）3.体会数形结合思想在研究函数中应用.(难点）第3页y=bxy=ax一、指数函数y=ax(a>1)图像及a对图像影响yxO1baa>1时，y=ax是增函数，底数a越大，其函数值增加就越快.第4页y=logaxy=logbx二、对数函数y=logax(a>1)图像及a对图像影响yxOa>1时，y=logax是增函数，1ab底数a越小，其函数值增加就越快.第5页y=x2y=x3三、幂函数y=xn(n>1)图像及n对图像影响yxOn>1时，y=xn是增函数，且x>1时，n越大其函数值增加就越快.第6页对于上述三种增加函数,它们函数值增加快慢有何差异呢?对函数y=2x,y=x2(x>0),y=log2x函数值(取近似值)比较第7页列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数图像.x0.20.61.01.4y=2x1.1491.51622.639y=x20.040.3611.96y=log2

x-2.322-0.73700.4851.82.22.63.03.4…3.4824.5956.063810.556…3.244.846.67911.56…0.8481.1381.3791.5851.766…xyo1122345y=2xy=x2y=log2

x第8页3.结合函数图像找出其交点坐标.

从图像看出y=log2

x图像与另外两函数图像没有交点，且总在另外两函数图像下方，y=x2图像与y=2x图像有两个交点(2，4)和（4，16）.4.根据图像,分别写出使不等式

log2

x<2x<x2和log2

x<x2<2x成立自变量x取值范围.使不等式log2

x<2x<x2x取值范围是(2，4);使不等式log2

x<x2<

2xx取值范围是(0，2)∪(4,+∞);5.由以上问题你能得出如何结论？ABy=2xxyo112191623434y=x2y=log2

xx012345678…y=2x1248163264128256…y=x201491625364964…第9页xo50100y1.10×10121.13×1015y=2xy=x2一般地，对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间（0，+∞）上，无论n比a大多少，尽管在x一定变化范围内，ax会不大于xn,但由于ax增加快于xn增加，因此总存在一种x0,当x>x0时，必有ax>xn.对于对数函数y=log2

x（a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间（0，+∞）上,伴随x增大，logax增加越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行同样.尽管在x一定变化范围内，logax也许会大于xn，但由于logax增加慢于xn增加，因此总存在一种x0,当x>x0时，必有logax<xn.…640049003600…1.21×10241.18×10211.15×1018…807060250016009004001000y=x21.13×10151.10×10121.07×1091.05×10610241y=2x50403020100x第10页【抽象概括】

尽管对数函数logax(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间（0，+∞）上都是增函数，但它们增加速度不一样，并且不在同一种“档次”上.伴随x增大，y=ax（a>1）增加速度越来越快，会超出并远远大于y=xn（n>0）增加速度，而y=logax(a>1)增加速度则会越来越慢.因此总会存在一种x0，当x>x0时，必有logax<xn<ax.虽然幂函数y=xn(n>0)增加快于对数函数y=logax(a>1)增加，但它们与指数增加比起来相差甚远，因此指数增加又称“指数爆炸”.第11页【规律总结】(1)对数函数增加最慢(2)当自变量x大于某一种特定值时，指数函数比幂函数增加快第12页例1.试用计算器来计算2500近似值.解：第一步，利用科学计算器算出210=1024=1.024×103；第二步，再计算2100，由于2100=(210)10=（1.024×103)10=1.02410×1030,因此，我们只需用科学计算器算出1.02410≈1.2677，则2100≈1.2677×1030；第三步，再计算2500，由于2500=(2100)5=（1.2677×1030)5=1.26775×10150,因此，我们只需用科学计算器算出1.26775≈3.2740，从而算出2500≈3.27×10150.第13页例2.在自然界中，有些种群世代是隔离，即每一代生活周期是分离，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代.假设一种抱负种群，其每个个体产生2个后裔，又假定种群开始有10个个体，到第二代时，种群个体将上升为20个，后来每代增加1倍，依次为40，80，160，…，试写出计算过程，归纳种群增加模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡.第14页解：设Nt表达t世代种群大小，Nt+1表达t+1世代种群大小，由上述过程归纳成最简单种群增加模型，由下式表达：Nt+1=R0·Nt,其中R0为时代净繁殖率.假如种群R0速率年复一年地增加，则当R0>1时，种群上升；R0=1，种群稳定；0<R0<1，种群下降；当R0=0，雌体没有繁殖，种群在这一代中死亡.第15页【变式练习】银行定期存款中，存期为1年、2年、3年、5年年利率分别为2.25%,2.43%,2.70%,2.88%，现将1000元人民币存入银行，求:应如何存取以使5年后得到本金和利息总和最大？解：存5年共有6种存款方式：（1）一次性存入5年，本金和利息总和为1000+5×1000×2.88%=1144（元）；（2）存一种三年，再存一种两年(1000+3×1000×2.70%)(1+2×2.43%)≈1133.54(元)；（3）存一种三年，再存两个一年1000(1+3×2.70%)(1+2.25%)2≈1130.19(元)；第16页（4）存两个两年，再存一种一年1000(1+2×2.43%)2(1+2.25%)≈1124.30（元）；（5）存一种两年，再存三个一年1000(1+2×2.43%)(1+2.25%)3≈1120.99（元）；（6）存五个一年1000(1+2.25%)5≈1117.68（元）.答：一次性存入5年本金和利息总和最大.第17页1．当x越来越大时，下列函数中，增加速度最快是（）A.

B.

D.

【解析】由于指数函数增加为爆炸式增加，则

增加速度最快.D第18页B【解析】第19页3.某种植物生长发育数量y与时间x关系如表：下面函数关系式中，能体现这种关系是(

)A.y=2x-1B.y=x2-1C.y=2x-1D.y=1.5x2-2.5x+2解：代入数据验证可得答案．x123…y138…D第20页4.有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，假如不砍伐，从第六年到第十年，年增加10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．请计算后回答：十年内哪一种方案能够得到较多木材？第21页解：设树木最初栽植量为a，甲方案在23年后树木产量