2023-2024学年九年级数学上册《第一章 菱形的性质与判》同步训练及答案（北师大版）

第页2023-2024学年九年级数学上册《第一章菱形的性质与判》同步训练及答案（北师大版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题（共8小题，满分32分）1．在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是（）A．测量两条对角线是否分别平分两组内角 B．测量四个内角是否相等 C．测量两条对角线是否互相垂直且平分 D．测量四条边是否相等2．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（）A．10 B．12 C．16 D．203．如图，菱形ABCD，∠DAB＝70°，点E是对角线AC上一点，点F是边BC上一点，且DE＝FE，则∠DEF的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．140°4．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（）A．16 B．162 C．32 D．3225．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（）A．6 B．8 C．245 D．6．从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（）A．150° B．135° C．120° D．100°7．如图，菱形ABCD的周长为40cm，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，DE：AB＝4：5，则下列结论：①DE＝8cm；②BE＝4cm；③BD＝45cm；④AC＝85cm；⑤S菱形ABCD＝80cm2，正确的有（）A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤8．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作AB垂线交AB延长线于点E，连接OE，若AB＝25，BD＝4，则OE的长为（）A．6 B．5 C．25 D．4二．填空题（共8小题，满分40分）9．如图，菱形ABCD中，若BD＝8，AC＝6，则AB的长等于，菱形ABCD的面积等于．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A（0，4），D（﹣3，0），若点C在x轴正半轴上，则点B的坐标为．11．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．AD＝10，EF＝4，则BG的长．12．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．现存在以下四个条件：①AB∥CD；②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形．则可以选择的条件序号是（写出所有可能的情况）．13．菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点E为AC上的动点，连接BE，以AE、BE为边作平行四边形AEBF，则EF长的最小值为．14．如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为．15．如图，已知AB＝22，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°．P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为（结果保留根号）．16．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于．三．解答题（共6小题，满分48分）17．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上的一点，连接CD，CE∥AB，BE∥CD，且CE＝AD．（1）求证：四边形BDCE是菱形；（2）过点E作EF⊥BD，垂足为点F，若点F是BD的中点，EB＝6，求BC的长．19．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积．20．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是AB上一点（不与点A，B重合），线段CE的垂直平分线交CE于点F，交BD于点G，连接AG，EG．（1）根据题意补全图形，并证明AG＝EG；（2）用等式表示线段AG与CE之间的数量关系，并证明．21．如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：BF＝DE；（2）分别延长BE和AD交于点G，若∠A＝45°，AB＝1，求DG的值．22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝6，BD＝8，求CE的长．

参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：A、测量两条对角线是否分别平分两组内角，能判定菱形，故故选A不符合题意；B、测量四个内角是否相等，能判定矩形，不能判定菱形，故选项B符合题意；C、测量两条对角线是否互相垂直且平分，能判定菱形，故选项C不符合题意；D、测量四条边是否相等，能判定菱形，故选项D不符合题意．故选：B．2．解：在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，如图：∵ABCD为菱形∴AC⊥BD，BO＝3，AO＝4．∴AB＝5．∴周长＝4×5＝20．故选：D．3．解：连接BD交AC于G，连接BE∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝70°，ED＝EF∴ED＝EB＝EF，∠AGD＝90°，∠DCE＝∠BCE＝35°，∠GBC＝55°∴∠EDB＝∠EBD，∠DEG＝90°﹣∠EDB，∠EBD+∠DBC＝∠EFB＝∠CEF+∠ECF∴∠CEF＝20°+∠EBD∴∠DEF＝∠DEG+∠CEF＝90°﹣∠EDB+20°+∠EBD＝110°故选：B．4．解：∵四边形ABCD是菱形∴BC＝CD，∠BCD＝∠BAD，∠ACB＝∠ACD，AD∥BC∴∠BAD+∠B＝180°∵∠DAB＝45°∴∠BCD＝∠BAD＝45°∵DE⊥BC∴△CDE是等腰直角三角形∴∠CDE＝45°，CD=2∵PF⊥CD∴△DPF是等腰直角三角形∴PF＝DF，PD=2设PF＝DF＝x，则PD=2∵△PDF的周长为8∴x+x+2x解得：x＝8﹣42∵∠ACB＝∠ACD，DE⊥BC，PF⊥CD∴PE＝PF＝x∴DE＝x+2x＝（1+2）×（8﹣42∴BC＝CD=2DE∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝8×42=32故选：D．5．解：∵四边形ABCD是菱形∴BD⊥AC，OC＝OA，OB＝OD∵AC＝6，DB＝8∴OC＝3，OB＝4∴BC=∵AC＝6，DB＝8∴菱形ABCD的面积=∵BC＝5∴AE=故选：C．6．解：过A作AE⊥BC由题意知AE⊥BC，且E为BC的中点则△ABC为等腰三角形即AB＝AC，即AB＝AC＝BC∴∠ABC＝60°∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°．故选：C．7．解：∵菱形ABCD的周长为40cm∴AB=14×4∵DE：AB＝4：5∴DE＝8cm故①正确；∵DE⊥AB，且AD＝10cm，DE＝8cm∴AE=AD2∴BE＝AB﹣AE＝10cm﹣6cm＝4cm故②正确；∵DE＝8cm，BE＝4cm∴BD=BD2+BE故③正确；∵四边形ABCD是菱形∴BO=12BD＝25cm，且AC∴AO=AB2−BO∴AC＝2AO＝85cm故④正确；∴S菱形ABCD=12AC•BD=12×85×故⑤正确；∴正确的为①②③④⑤故选：D．8．解：∵四边形ABCD是菱形∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB∴OE＝OA＝OC∵BD＝4∴OB=12在Rt△AOB中，AB＝25，OB＝2∴OA=A∴OE＝OA＝4．故选：D．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：设AC与BD交于点O∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AO=12AC＝3，BO=∴AB=A∵BD＝8，AC＝6∴菱形的面积=12×AC故答案为：5，24．10．解：∵菱形ABCD的顶点A（0，4），D（﹣3，0）∴OA＝4，OD＝3∵∠AOD＝90°∴AD=4∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD＝5∴B（5，4）；故答案为：（5，4）．11．解：∵四边形ABCD是菱形∴OB＝OD∵E是AD的中点∴OE是△ABD的中位线∴OE∥FG∵OG∥EF∴四边形OEFG是平行四边形∵EF⊥AB∴∠EFG＝90°∴平行四边形OEFG是矩形；∵四边形ABCD是菱形∴BD⊥AC，AB＝AD＝10∴∠AOD＝90°∵E是AD的中点∴OE＝AE=12∵四边形OEFG是矩形∴FG＝OE＝5∵AE＝5，EF＝4∴AF=AE∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2故答案为2．12．解：如：若②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB则四边形ABCD是菱形证明：∵AC平分∠DAB∴∠DAO＝∠BAO在△AOD和△AOB中AD=AB∴△AOD≌△AOB（ASA）∴DO＝CB∵AO＝OC∴四边形ABCD是平行四边形又∵AB＝AD∴四边形ABCD是菱形若①AB∥CD；②AO＝OC；④AC平分∠DAB或①AB∥CD；③AB＝AD；④AC平分∠DAB或②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．都可以判定四边形ABCD为菱形．故答案为：②③④或①②④或①③④或②③④．13．解：如图∵四边形ABCD是菱形∴AO＝CO＝4，AC⊥BD∴BO=AB∵四边形AEBF是平行四边形∴BF∥AE∴当EF⊥AC时，EF有最小值此时EF＝BO＝3故答案为：3．14．解：如图，连接AC交BD于点O∵四边形AECF是菱形∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF又∵点E、F为线段BD的两个三等分点∴BE＝FD∴BO＝OD∵AO＝OC∴四边形ABCD为平行四边形∵AC⊥BD∴四边形ABCD为菱形；∵四边形AECF为菱形，且周长为20∴AE＝5∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点∴EF＝8，OE=12EF由勾股定理得，AO=A∴AC＝2AO＝2×3＝6∴S四边形ABCD=12BD•AC故答案为：72．15．解：连接PC、CQ．∵四边形ACED，四边形CBGF是菱形，∠D＝120°∴∠ACE＝120°，∠FCB＝60°∵P，Q分别是对角线AE，BF的中点∴∠ECP=12∠ACE，∠FCQ=∴∠PCQ＝90°设AC＝2a，则BC＝22−2a，PC＝a，CQ=32BC=∴PQ=P∴当a=324时，点P，Q解法二：连接CD、CG、DG，构造中位线解决，当DG与AD或BG垂直时，取最值．故答案为：6216．解：连接OP，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16∴AC⊥BD，BO=12BD＝8，OC=∴BC=O∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD∴四边形OEPF是矩形∴FE＝OP∵当OP⊥BC时，OP有最小值此时S△OBC=12OB×OC=1∴OP=6×8∴EF的最小值为4.8故答案为：4.8．三．解答题（共6小题，满分48分）17．证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD又∵EF⊥AD∴∠AOE＝∠AOF＝90°∵在△AEO和△AFO中∠EAO=∠FAO∴△AEO≌△AFO（ASA）∴EO＝FO∵EF垂直平分AD∴EF、AD相互平分∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD∴平行四边形AEDF为菱形．18．（1）证明：∵CE∥AB，BE∥CD∴四边形BDCE是平行四边形∴CE＝BD∵CE＝AD∴BD＝AD又∵∠ACB＝90°∴CD=12AB∴四边形BDCE是菱形；（2）解：连接DE，如图所示：由（1）得：四边形BDCE是菱形∴BC⊥DEBD＝BEOB＝OC∵EF⊥BD，点F是BD的中点∴BE＝DE∴BE＝DE＝BD∴∠DBE＝60°∠EBC=12∠∴OE=12∴OB=EB∴BC＝2OB＝63．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AO＝CO∴∠AEF＝∠CFE在△AOE和△COF中∠AEF=∠CFE∴△AOE≌△COF（AAS）∴OF＝OE∵AO＝CO∴四边形AFCE是平行四边形；∵EF平分∠AEC∴∠AEF＝∠CEF∴∠CFE＝∠CEF∴CE＝CF∴四边形AFCE是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形∴AC⊥EFAO＝CO=12∴∠AOE＝90°∵∠DAC＝60°∴∠AEO＝30°∴OE=3AO∴EF＝2OE＝23∴四边形AFCE的面积=12AC×EF=12×20．（1）证明：如图，连接CG∵GF是CE的垂直平分线∴CG＝GE∵四边形ABCD是菱形∴AD＝CD∠ADB＝∠BDC在△ADG和△CDG中AD=CD∴△ADG≌△CDG（SAS）∴AG＝CG∴AG＝GE；（2）解：CE=3AG延长EG，交CD于点H∵GE