九年级数学上册专题17 平面直角坐标系中的旋转变换（解析版）

/专题17平面直角坐标系中的旋转变换1．如图，是经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，点与点分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；（2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求，的值．（3）求图中的面积．【解答】解：（1）与；与；与．对应点的坐标的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；（2）由（1）可得，．解得，；（3）三角形的面积．2．与△在平面直角坐标系中的位置如图．（1）分别写出△各点的坐标：；；（2）若点是△内部一点，则其图形变换后的对应点的坐标为；（3）说明△是由经过怎样的图形变换得到的？；（4）的面积．【解答】解：（1）观察图象可知，，，故答案为，，．（2）点向左平移4个单位向下平移2个单位得到，．故答案为．（3）向左平移4个单位向下平移2个单位得到△，故答案为：向左平移4个单位向下平移2个单位得到△．（4）．故答案为2．3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等边三角形经过平移或轴对称或旋转都可以得到．（1）沿轴向右平移可得到，则平移的距离是2个单位长度；与关于某直线对称，则对称轴是；绕原点顺时针旋转可得到，则旋转角至少是．（2）连接，交于点，求的度数．【解答】解：（1）点的坐标为，沿轴向右平移2个单位得到；与关于轴对称；为等边三角形，，，绕原点顺时针旋转得到．（2）如图，等边绕原点顺时针旋转得到，，，，即为等腰的顶角的平分线，垂直平分，．故答案为；2；轴；120．4．如图，三角形是三角形经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，点与点分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；（2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求，的值．【解答】解：（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，对应点的横、纵坐标分别互为相反数；（2）由（1）得，，解得，，答：，．5．如图，在直角坐标系中，边长为2的等边三角形的顶点、都在轴上，顶点在第二象限内，经过平移或轴对称或旋转都可以得到．（1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是2个长度单位；与关于直线对称，则对称轴是；绕原点顺时针方向旋转得到，则旋转角度可以是度．（2）连接，交于点，求的度数．【解答】解：（1）沿数轴向右平移得到，则平移的距离是2个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是轴；绕原点顺时针旋转得到，则旋转角度至少是度，故答案为：2；轴；120；（2）和是能够重合的等边三角形，，，，．6．如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴上，连接、．（1）若、，，直接写出点的坐标；（2）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点、．请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段平行于线段且等于线段，若存在，求点、的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图③，在直线上有两点、，分别引两条射线、．，，射线、分别绕点，点以1度秒和3度秒的速度同时顺时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间．【解答】解：（1）设，将线段平移至线段，、，，，，，，；（2）存在，理由：，，，，，点与的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为2，四边形是平行四边形，即，，解得：，或，，点的坐标为，，的坐标为，或点的坐标为，，的坐标为，，当，，，时，、、、四点均在轴上，不能构成平行四边形，舍去；，，，；（3）存在．分三种情况：，如图①，与在的两侧时，，，，，要使，则，即，解得，此时，，②旋转到与都在的右侧时，，，，，要使，则，即，解得，此时，；③旋转到与都在的左侧时，，，，，要使，则，即，解得，此时，，此情况不存在．综上所述，为5秒或95秒时，与平行．7．如图，是经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，点与点分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；（2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求、的值．【解答】解：（1）由图象可知，点，点，点，点，点，点；对应点的坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；（2）由（1）可知，，，解得，．8．如图，点为平面直角坐标系的原点，点在轴上，是边长为2的等边三角形．（1）写出各顶点的坐标；（2）以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到△，写出，的坐标．【解答】解：（1）如图1，过作于，是等边三角形，且，，由勾股定理得：，，，；（2）如图2，，，与重合，，由旋转得：，，，，，，，．9．如图，在平面直角坐标系中，有，，，点、均在轴上，边与轴交于点，连接，且是的角平分线，若点的坐标为，．（1）如图1，求点的横坐标；（2）如图2，将绕点逆时针旋转一个角度得到△，直线交直线于点，直线交轴于点，是否存在点、，使为等腰三角形？若存在，直接写出的度数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，过点作于．，，，平分，，，，，，，，，，，，，，，，，．（2）如图2，连接，是等腰三角形，，当时，，当时，，当时，，当点在轴的负半轴上时，等腰三角形的顶角为，此时，综上所述，满足条件的的值为或或或．10．在平面直角坐标系中，已知、，直线是绕着的顶点旋转，与轴相交于点，探究解决下列问题：（1）如图1所示，当直线旋转到与边相交时，试用无刻度的直尺和圆规确定点的位置，使顶点、到直线的距离之和最大（保留作图痕迹）；（2）当直线旋转到与轴的负半轴相交时，使顶点、到直线的距离之和最大，请直接写出点的坐标是．（可在图2中分析）【解答】解：（1）如图1，过点作直线于点，与轴的交点即为所确定的点位置．理由如下：如图2所示，过点作于，过点作于．为定值．要使点、到直线的距离之和最大，即最大，只要使最小，过点作直线于点，此时即为最小值（此时，点、、重合）．与轴的交点即为所确定的点位置；（2）由（1）的解题过程知，如图2所示，延长到点，使，连接，则，旋转直线至于点，与轴的交点即为所确定的点，过点作于点，，，，过点作轴于点，，，，，又直线于点，，，，，，，故答案为：．11．如图①，将边长为2的正方形如图①放置，为原点．（Ⅰ）若将正方形绕点逆时针旋转时，如图②，求点的坐标；（Ⅱ）如图③，若将图①中的正方形绕点逆时针旋转时，求点的坐标．【解答】解：（1）过点作轴的垂线，垂足为，，旋转角为，，，，，；（2）连接，过作轴于，旋转角为，，，，，，中，，，，．12．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，．观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为；（2）另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为、．拓展延伸：（3）求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标．【解答】解：（1）点的坐标为；（2）、的坐标分别为，；（3），，，，，，，；的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环．．的坐标与的坐标相同，为；在轴上与点、点构成等腰三角形的点的坐标为，，，，，．故答案为：；，．13．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得△，点、旋转后的对应点为、，记旋转角为．（1）如图1，若，求的长；（2）如图2，若，求点的坐标．【解答】解：（1）点，点，，．在中，由勾股定理得．根据题意，△是绕点逆时针旋转得到的，由旋转是性质可得：，，．（2）如图，根据题意，由旋转是性质可得：，过点作轴，垂足为，则．在△中，由，．．由勾股定理，．点的坐标为，．14．（1）如图，在方格纸中先通过向上平移4个单位长，由图形得到图形，再由图形先（怎样平移），再（怎样旋转）得到图形（对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）；（2）如图，如果点、的坐标分别为、，写出点的坐标是；（3）图形能绕某点顺时针旋转得到图形，则点的坐标是；（4）图形能绕某点顺时针旋转得到图形，则点的坐标是；注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度．【解答】解：（1）根据题意可知，向上平移4个单位长度图形得到图形，图形向右平移4个单位长度，再绕点顺时针旋转得到图形．故答案为向上平移4个单位长，向右平移4个单位长度，绕点顺时针旋转．（2）根据题意建立如图坐标系，根据图象可知．故答案为．（3）观察图形可知旋转中心．故答案为．（4）观察图形可知旋转中心．故答案为．15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为等边经过平移或轴对称或旋转都可以得到．（1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是3个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是；绕点顺时针旋转得到，则旋转角度可以是度．（2）连接，交于点，求的度数．【解答】解：（1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是3个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是轴；绕点顺时针旋转得到，则旋转角度可以是120度；故答案为：3，轴，120；（2）连接，交于点，由（1）得：，，，故，则．16．在平面直角坐标系中，，，（1）将绕点顺时针旋转，得△，则点的坐标为．（2）将△向右平移6个单位得△，则点的坐标为．（3）从到△能否看作是绕某一点作旋转变换？若能，则旋转中心坐标为在旋转变换中所扫过的面积为．【解答】解：（1）取点，可知，，三点同一直线上，所以为直角三角形，绕点旋转，易知与轴重合，轴，即横坐标的数值等于的长度加上的长度，纵坐标等于的长度，又位于第二象限，故的坐标为．；（2）由（1）可知，的坐标为，向右平移6个单位得△，的横坐标向右平移6个单位，即的横坐标为，即点的坐标为．；（3）连接，，易知的斜率为，其中点的坐标为，，所以其中垂线的方程为，的中垂线为，与联立，解得交点坐标为．扫过的面积．17．如图，三角形是由三角形经过某种变换后得到的图形．①分别写出点与点，点与点，点与点的坐标，从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来．②根据你发现的特征，解答下列问题：若三角形内有一点经过变换后，在三角形内的对称坐标为，求关于的方程的解．【解答】解：①；；；；；；对应点的连线的垂直平分线为一条直线，那么这两个图形关于某条直线对称；②由①得；；解得：；；代入方程可得：，解得：．18．今后你将大量遇到用坐标的方法研究图形的运动变换．如图1，在已建立直角坐标系的方格纸中，图形的顶点为，，，要将