九年级数学上册第03讲 实际问题与一元二次方程（原卷版）

/第03讲实际问题与一元二次方程(重点题型方法与技巧)目录类型一：传播问题类型二：平均增长（降低）率问题类型三：几何图形面积问题 类型四：数字问题 类型五：销售利润问题类型六：其他问题类型一：传播问题传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数．典型例题例题1．（2022·河南信阳·九年级期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有225人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为x人，则可列方程（

）A． B． C． D．例题2．（2022·黑龙江省八五四农场学校九年级期末）2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建团队参加，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出90张名片，这个团队共有_____人．例题3．（2022·全国·九年级课时练习）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？同类题型演练1．（2022·四川广元·九年级期末）有一人感染了新冠肺炎，经过两轮传染后共有100人被感染，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏·九年级专题练习）有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有144人患了红眼病，那每轮传染中平均一个人传染的人数为（

）人．A．10 B．11 C．12 D．133．（2021·山东·九年级期中）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到200个红包，则可以列方程为__．4．（2022·江西九江·九年级期末）某树主干长出x根枝干，每个枝干又长出x根小分支，若主干、枝干和小分支总数共133根，则主干长出枝干的根数x为______．5．（2021·湖北·荆州市荆南中学九年级期中）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．

（1）若参加聚会的人数为6，则共握手次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次；

（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数？类型二：平均增长（降低）率问题（1）设基数为，平均增长率为，则第一次增长后的值为，两次增长后的值为，依次类推，次增长后的．（2）设基数为，平均降低率为，则第一次降低后的值为，两次降低后的值为，依次类推，次降低后的值为．典型例题例题1．（2022·黑龙江黑河·九年级期末）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（

）A．100(1+x)2=81 B．100(1-x2)=81C．100(1-2x)=81 D．100(1-x)2=81例题2．（2022·全国·九年级单元测试）某种药品的价格经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，假设每次降价的百分率相等，这种药品每次降价的百分率是________．例题3．（2022·河南平顶山·九年级期末）网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完成快递件数分别为5万件和6.05万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．(1)求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率：(2)如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有8个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的情况下，能否完成今年8月份的投递任务？同类题型演练1．（2022·云南红河·九年级期末）某商品原售价是200元，经过连续两次降价后售价为162元，设平均每次降百分率为x，则下面所列方程中正确的是（

）A． B． C． D．2．（2021·湖南株洲·九年级期中）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率约为（

）．2020年1～5月份某厂家的口罩产量统计图A．45% B．50% C．67% D．75%3．（2022·全国·九年级专题练习）在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是_______%．4．（2021·湖南永州·九年级期中）某工厂今年元月份的产值是50万元，3月份的产值达到了72万元．若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程______．5．（2022·陕西安康·九年级期末）某商店以每件16元的价格购进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件25元上涨到每件36元，此时每月可售出160件商品．(1)求该商品平均每月的价格增长率；(2)因某些原因商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降0.5元，每个月多卖出1件，当降价多少元时商品每月的利润可达到1800元．类型三：几何图形面积问题几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程．典型例题例题1．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为(

)A．35×20-35-20+22=600 B．35×20-35-2×20=600C．(35-2)(20-)=600 D．(35-)(20-)=600例题2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为_______．例题3．（2021·内蒙古通辽·九年级期末）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个米宽的门，(1)若，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为平方米(2)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到平方米？同类题型演练1．（2022·江苏·九年级单元测试）如图，在一块宽为，长为的矩形空地上，修筑宽相等的两条小路，两条路分别与矩形的边平行，如图，若使剩余（阴影）部分的面积为，问小路的宽应是多少？设小路的宽为，根据题意得（

）A． B．C． D．以上都不正确2．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为（

）A．5m B．（5+）m C．（5+3）m D．（5+5）m3．（2020·陕西商洛·九年级期末）如图，一农户要建议个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设于墙垂直的一边长为xm，则可以列出方程是（

）A．x（26－2x）＝80 B．x（24－2x）＝80C．（x－1）（26－2x）＝80 D．x（25－2x）＝804．（2021·江苏淮安·九年级期中）如图，某小区有一块长为、宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________．5．（2022·全国·九年级课时练习）某校准备在一块长为米，宽为米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为米．(1)花园内的小路面积为______平方米用含的代数式表示．(2)若草坪面积为平方米时，求这时道路宽度的值．类型四：数字问题若一个两位数十位、个位上的数字分别为、，则这个两位数表示为；若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为、、，则这个三位数表示为．典型例题例题1．（2019·全国·九年级）若两个连续正偶数的平方差为36，则这两个数为（

）A．-8和-10 B．8和10C．8和-10 D．-8和10例题2．（2021·江苏常州·九年级期中）已知一个数的平方减去30的差等于这个数本身，则这个数为___．例题3．（2021·全国·九年级专题练习）一个两位数字，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的，求这个两位数．同类题型演练1．（2019·全国·九年级）两个连续整数的平方和为85，则这两个整数为（

）A．6，7 B．-7，-6C．6，7或-7，-6 D．不定2．（2020·全国·九年级课时练习）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原两位数是（

）A．95 B．59 C．26 D．623．（2021·青海·西宁市沈那中学九年级阶段练习）一个两位数等于它的两个数字积的3倍，十位上的数字比个位上的数字小2，设个位上的数字为x，由此得到方程____．4．（2021·江西南昌·九年级阶段练习）在2021年10月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为180，则这个最小数为______．5．（2021·全国·九年级专题练习）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．类型五：销售利润问题；；；．典型例题例题1．（2022·全国·九年级单元测试）将进价为元/个的某种商品按元/个出售时，能卖出500个，已知这种商品每个每涨价1元，其销售数量就减少个，若想使利润达到元，售价应是多少？设售价为元/个，则可列方程（

）A．B．C．D．例题2．（2022·江苏·九年级专题练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价x元，由题意列得方程______．例题3．（2022·陕西西安·九年级期末）为了满足初中学业水平体育与健康考试的需求，某体育用品专卖店从厂家以单价40元进购了一种排球，如果以单价60元出售，那么每月可售出400个，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少5个．(1)设销售单价提高x元，则每个排球获得的利润是_____元；这种排球这个月的销售量是_____个；(2)若该专卖店准备在这种排球销售上一月获利10500元，同时又要使顾客得到实惠，则售价应定为多少元？同类题型演练1．（2022·江苏·九年级专题练习）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价定为元，则可卖出件，若商店计划从这批商品中获取400元的利润（不计其他成本），求售价．根据题意，下面所列方程正确的是（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·九年级专题练习）小强为活动小组购买统一服装，经理给予如下优惠：如果一次性购买不超过10件，单价为80元：如果一次性购买超过10件，那么每多买一件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价最终不低于50元．小强一次性购买这种服装花费1200元，则他购买了这种服装的件数是(

)A．20件 B．24件 C．20件或30件 D．30件3．（2022·山东青岛·二模）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．已知去年这种水果批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是______元．4．（2022·广东清远·九年级期末）2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价元，可列方程________．5．（2022·河南安阳·九年级期末）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为60元的商品进行直播销售，如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元．(1)每件商品降价x元时，日销售量为______件；(2)求x为何值时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品；(3)丽丽的线下实体商店也销售同款商品，标价100元．为了提高市场竞争力，促进线下销售，丽丽决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？类型六：其他问题典型例题例题1．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排36场比赛，则八年级班级的个数为(

)A．6 B．9 C．7 D．8例题2．（2022·全国·九年级）某年级举行篮球比赛，赛制为双循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了42场比赛，那么共有（

）支队伍参加了比赛．A．7 B．6 C．12 D．14例题3．（2022·全国·九年级）某校九(1)班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九(1)班有________名学生．例题4．（2022·重庆沙坪坝·一模）助力上海疫情抗击战，爱心蔬菜送上门．志愿者将青菜与土豆打包成爱心蔬菜包，在当地封控小区进行“免费送蔬菜”活动，每个爱心蔬菜包中青菜比土豆多3斤，第一天共送出300个爱心蔬菜包，青菜与土豆共送出2100斤．(1)求每个爱心蔬菜包中青菜和土豆各多少斤？(2)第二天经过紧急调运，每个爱心蔬菜包中青菜比第一天多1斤，土豆比第一天多m斤，送出的蔬菜包个数比第一天多100m个，结果第二天送出的青菜比土豆多1200斤，求m的值．例题5．（2022·重庆南开中学三模）海姆立克急救法是日常抢救气管被异物堵塞的急救方法，但儿童和成人的施救方法不同．北关中学为教职工开设“成人急救班”与“儿童急救班”．已知报名参加“成人急救班”与“儿童急救班”的人数共80人，其中报名参加“成人急救班”的人数比报名参加“儿童急救班”人数的一半还少10人．(1)报名参加“成人急救班”与“儿童急救班”的教职工各多少人？(2)开课当天，参加“成人急救班”的人数在报名人数基础上增加了4m人，人均操作道具时间比原计划的每人5分钟少分钟；参加“儿童急救班”的人数在报名人数基础上减少了3m人，人均操作道具时间比原计划的每人3分钟多1分钟，则两个班所有人操作道具的总时间比原计划增加60分钟，求m的值．同类题型演练1．（2022·湖北襄阳·二模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为891平方