九年级数学上册第23章 旋转（基础卷）（解析版）

/第23章旋转（基础卷）一．选择题（每小题3分，共24分）1.2022年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．2.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（

）A．50° B．60° C．40° D．30°【答案】A【解析】解：将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，∴∠BOD=∠AOC=800∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，∴∠C=∠A=1100∴∠COD=1800-1100-400=300;∴∠AOD=800-300=500故选A3.如图，若正方形ABCD绕图中某点顺时针旋转90°得到正方形EFGH，则旋转中心应是（）A．H点 B．N点 C．C点 D．M点【答案】D【解析】解：∵正方形ABCD绕图中某点顺时针旋转90°得到正方形EFGH，∴连接对应点A和点E，点D和点H，分别作线段DH和线段AE的中垂线，交点M即为旋转中心．故选：D．4.如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（

）A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）【答案】C【解析】过点A作于点C．在Rt△AOC中，．在Rt△ABC中，．∴．∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，∴．∴．∴点A的坐标是．根据题意画出图形旋转后的位置，如图，∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为；将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为．故选：C．5.如图，将绕点逆时针方向旋转110°，得到，若点在线段BC的延长线上，则的度数为（）A．85° B．80° C．75° D．70°【答案】D【解析】根据旋转的性质可知∠BAB'=110°，且AB=AB'，∠B=∠AB'C'．∵点B'在线段BC的延长线上，∴∠BB'A=∠B=35°．∴∠AB'C'=35°．∴∠BB'C'=∠BB'A+∠AB'C'=35°+35°=70°．故选：D．6.如图，在△AOB中，已知∠AOB=90°，AO=3，BO=4．将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）到△A1OB1处，此时线段OB1与边AB的交点为点D，则在旋转过程中，线段B1D长的最大值为（）A．4.5 B．5 C． D．【答案】D【解析】解：因为OB1的长度是定值，所以当OD最短即可OD⊥AB时，B1D长的取最大值．∵如图，在△AOB中，已知∠AOB=90°，AO=3，BO=4，∴AB==5，则OA•OB=AB•OD，∴OD=．由旋转的性质知：OB1=OB=4，∴B1D=OB1-OD=．即线段B1D长的最大值为．故选：D．7.如图，在平面直角坐标系中，点，将线段作以下变换：以点为旋转中心，将的长变为两倍并逆时针旋转得到，连接；以点为旋转中心，将的长变为两倍并逆时针旋转得到，连接；……依此规律得到线段，则线段的长度为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意：，，，，在中，，故选：C．8.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴，∴AP＝1，AO＝2，∠OPA＝90°，∴OP＝＝，∴A（1，），第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）；第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）；第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）；第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）；∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，∴4次一个循环，∵2022÷4＝505……2，∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，），故选：B二．填空题（每小题2分，共16分）9.平面直角坐标系内的点P（m，4）与点Q（，n）关于原点对称，则________．【答案】1【解析】∵P（m，4）与点Q（，n）关于原点对称∴m＋（）＝0；4＋n＝0，∴m＝5；n＝-4，∴故答案为1．10.如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，使得点B旋转到AB边上的点D处，则旋转角是________度．【答案】60【解析】解：∵在Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴，∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到，∴，∴为等边三角形，∴，即旋转角是60°．故答案为：60．11.如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为_________．【答案】12【解析】解：∵在中，，，∴，∵与关于中心对称，∴，故答案为：12．12.如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠B′BC＝_____度．【答案】105【解析】解：把绕点逆时针旋转，得到△，，，，，，，，故答案为：105．13.如图所示的平面直角坐标系中，△是由△ABC绕点P顺时针旋转90°得到的，则点P的坐标是__________．【答案】（1，0）【解析】解：如图，点P即为所求，P（1，0）．故答案为：（1，0）．14.如图，在长方形中，，，将长方形绕点旋转一定角度后得长方形，交于点，且，则的长为______．【答案】5【解析】解：由旋转可得A1B=AB=8，∵长方形，∴BC=AD=4，CD=AB=8，∠C=90°，设BE=DE=x，则CE=8-x，在Rt△BCE中，由勾股定理，得42+(8-x)2=x2，解得：x=5，即DE=5，故答案为：5．15.如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，已知，，点P为射线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针旋转90°，交直线BC于点Q，当为等腰三角形时，点P的坐标为______．【答案】P1（1，3），P2（7，3）【解析】解：∵，，点P为射线AB上一动点，∴设P（m，3）∵△POQ是等腰三角形，①若P在线段AB上，∠OPQ＝90°∴PO＝PQ，又∵∠OAP=∠PBQ=90°，∴∠AOP=90°-∠APO=∠BPQ，∴△OAP≌△PBQ，∴PB＝AO，即3＝4−m，∴m＝1，即P点坐标（1，3）；②若P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于Q，此时PO＝PQ，同理：△AOP≌△BPQ，∴AO＝PB，即3＝m−4，m=7，即P点的坐标（7，3）；故点P坐标为P1（1，3），P2（7，3）．故答案为：P1（1，3），P2（7，3）．16.如图，△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．使△DEP的顶点P与△ABC的顶点A重合，PD，PE分别与BC相交于点F、G，若BF＝6，CG＝4，则FG＝_____．【答案】【解析】解：将△ABF绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，∵△ACH由△ABF旋转得到，∴∠BAF=∠CAH，CH=BF=6，AF=AH，∠B=∠ACH∵△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形∴∠B=45°，∠ACB=45°，∴∠HCG=90°在Rt△HCG中，由勾股定理得：GH=，∵∠FAG=45°，∴∠BAF+∠GAC=45°，∴∠CAH+∠GAC=45°，即∠GAH=45°在△FAG和△GAH中，AF=AH，∠FAG=∠GAH，AG=AG∴△FAG≌△GAH，∴FG=GH=故答案为：．三．解答题（共60分）17.（6分）如图，△ABC绕着顶点A逆时针旋转到△ADE，∠B＝40°，∠E＝60°，AB//DE，求∠DAC的度数．【答案】40°【解析】∵△ABC旋转到△ADE，∠B＝40°，∠E＝60°∴∠B＝∠D＝40°，∠C＝∠E＝60°，∴∠BAC＝180°－40°－60°＝80°∵AB∥DE，∴∠BAD＝∠D＝40°∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝80°－40°＝40°18.（8分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转至△ABF的位置．(1)若连结EF，则△AEF是三角形；并证明；(2)若四边形AECF的面积为25，DE＝2，求AE的长．【答案】(1)等腰直角三角形，证明见解析；(2)【解析】(1)△AEF是等腰直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵把△ADE顺时针旋转至△ABF的位置，∴△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，∠EAF＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，故答案为等腰直角；(2)∵△ADE≌△ABF，∴S△ADE＝S△ABF，∴四边形AECF＝S△ABF+S四边形ABCE＝S△ADE+S四边形ABCE＝S正方形ABCD＝25，∴AD＝5，∴AE．19.（8分）如图，将绕点A按顺时针方向旋转90°得到，点B的对应点为点D，点C的对应点E落在BC边上，连接BD，．(1)求证：；(2)若，，求线段BD的长．【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)将绕点A按顺时针方向旋转90°得到90°，∴，，，∴，∴，∴；(2)∵，，∴，∴在Rt△AEC中，，∴，由旋转可知，∴．20.（8分）如图，把长方形绕点D按逆时针方向旋转角度得到长方形，使点E在对角线上，连接．(1)若，求的度数；(2)求证：．【答案】(1)20°，(2)见解析【解析】(1)解：由旋转的性质可知DC=DG，∠CDG=40°，∴，∵四边形DEFG是长方形，∴∠FGD=90°，∴∠CGF=∠FGD-∠DGC=20°(2)解：由旋转的性质可得DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，∵DF，AC分别是两个矩形的对角线，∴DF=AC，∠EDF=∠DAC，∴∠EDF=∠DEA，∴，∴四边形ACFD是平行四边形，∴AD=CF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∴CF=BC．21.（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．(1)将向右平移4个单位长度得到，请画出；(2)画出关于点O的中心对称图形；(3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为_____________．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)(2，-0.5)【解析】(1)如图，即为所作，(2)如图，即为所作，(3)根据图形可知，旋转中心的坐标为(2，-0.5)．故答案为：(2，-0.5)．22.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（一2，3），B（4，0），交y轴于点C(1)求直线l的函数表达式；(2)若D为x轴上一动点，当△ACD的面积为1时，试求出点D的坐标；(3)若将CB绕着点C旋转90°得到CP，试求出点P的坐标【答案】(1)yx+2；(2)D（2，0）或（6，0）；(3)点P（2，6）或（﹣2，﹣2）【解析】(1)解：设直线AB解析式为y＝kx+b，∵直线AB经过点A（﹣2，3），B（4，0），∴，∴，∴直线AB的解析式：yx+2；(2)解：∵直线AB交y轴于点C，∴点C（0，2），∴OC＝2，∴S△ABDBD•3BD，S△BCDBD•2＝BD，∵△ACD的面积为1，∴S△ACD＝S△ABD﹣S△BCDBD﹣BDBD＝1，∴BD＝2，∴D（2，0）或（6，0）；(3)解：如图，当点P在直线AB下方时，过点P作PE⊥y轴于E，∴∠PEC＝∠PCB＝90°，∴∠PCE+∠BCO＝90°＝∠PCE+∠CPE，∴∠CPE＝∠BCO，又∵PC＝BC，∠BOC＝∠PEC＝90°，∴△PCE≌△CBO（AAS），∴BO＝CE＝4，OC＝PE＝2，∴OE＝2，∴点P（﹣2，﹣2），当点P在直线AB上方时，同理可得：OC＝P'E'＝2，E'C＝OB＝4，∴OE'＝6，∴点P'（2，6），综上所述：点P（2，6）或（﹣2，﹣2）．23.（10分）如图，点O是等边△ABC内一点，，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，连接OD．(1)填空：线段OD与OC的数量关系为___；(2)当时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)直接写出当为多少度时，△AOD为等腰三角形．【答案】(1)；(2)△AOD是直角三角形，理由见解析；(3)为或或【解析】(1)解：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴OD＝OC，故答案为：OD＝OC；(2)解：当α＝150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，OD＝OC，∴△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC−∠ODC＝90°，∵∠α＝150°，∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∴∠AOD＝360°−∠α−∠AOB−∠COD＝360°−150°−110°−60°＝40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形；(