第二章 2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)

线性代数1第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)第二章矩阵2.1矩阵

2.2矩阵的运算2.3逆矩阵

2.4线性方程组的矩阵解法

2第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)数的乘法满足交换律，且当时，有.矩阵的乘法一般不满足交换律但当时，与有什么关系？例如：§2.3可逆矩阵

第二章矩阵3第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)§2.3可逆矩阵

第二章矩阵注:A的逆矩阵记为A1.1.定义:设A为方阵,若存在方阵B,使得AB=BA=E,则称A可逆,并称B为A的逆矩阵.2.逆矩阵的唯一性若AB

=BA=E,AC

=CA=E,则B

=BE=B(AC)=(BA)C

=EC

=C.

结合律的妙用之二§2.3可逆矩阵

4第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)§2.3可逆矩阵

第二章矩阵注

①对于方阵A,BA=E

A可逆且A1=B.AB=E

A可逆且A1=B.

例1.设方阵A,B,C满足ABC=E,则必有（）(A)ACB=E(B)CBA=E(C)BAC=E(D)CAB=E5第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)§2.2可逆矩阵

第二章矩阵例2.设方阵A满足A2

A2E=O,证明A，A

+2E可逆,并求A1，(A+2E)1.

证明:A2

A2E=O

A(A

E)2E=O

A(A

E)=2E

A1=(A

E).12

A(A

E)=E

(A+2E)1=

(A1)2126第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)§2.2可逆矩阵

第二章矩阵例3.设方阵A满足2A3

A2+E=O,证明A

+E可逆,并求(A+E)1.

2A3

A2+O+EA+E2A2

2A3

+2A2

3A2+O

3A

3A23A

3A+E

3A+3E

+3E

2E

证明:2A3

A2+E=

O

(A+E)(2A2

3A+3E)2E=O

7第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)§2.2可逆矩阵

第二章矩阵例3.设方阵A满足2A3

A2+E=O,证明:2A3

A2+E=

O

(A+E)(2A2

3A+3E)2E=O

(A+E)(2A2

3A+3E)=2E

(A+E)1=(2A2

3A+3E).12(A+E)(2A2

3A+3E)=E

12证明A

+E可逆,并求(A+E)1.

8第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)§2.2可逆矩阵

第二章矩阵注:②

A

OAB=O

B=O,A可逆AB=O

B=O,A

OAB=AC

B=C,A可逆AB=AC

B=C,③AX=C且A可逆

X=A1C,XA=C且A可逆

X=CA1.

AXB=C且A,B可逆

X=______.9第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)§2.2可逆矩阵

第二章矩阵4.逆矩阵的运算性质(1)A可逆

(A1)1=A.(2)A可逆

(AT)1=(A1)T.(3)A可逆,k

0

(kA)1=k1A1.(4)设A,B为同阶方阵,则AB可逆

A,B皆可逆.当A,B皆可逆时,(AB)1=B1A1.例4.设A,B,C为同阶可逆阵,则(ABC)1=[].①

A1B1C1,②C1B1A1,

③A1C1B1,

④B1A1C1.

10第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)第二章矩阵§2.4线性方程组的矩阵解法

§2.4线性方程组的矩阵解法a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm11第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)

设A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn,b=b1b2…bm,

Ax=b.x=x1x2…xn,则未知量常数项a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm第二章矩阵§2.4线性方程组的矩阵解法12第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)

A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn为系数矩阵

[A,b]=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………am1

am2…amnbm为增广矩阵

第二章矩阵§2.4线性方程组的矩阵解法13第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)

Gauss消元法(Gauss’method)2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x2

3x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=01/21对换变换倍乘变换倍加变换§1.2

Gauss消元法第一章线性方程组与消元法14第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)

x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=0行阶梯形(2)x1=5x3+1x2

=

2x3

2

x3

=

x3(任意)

行最简形或写成向量形式由此可得原方程组的通解（一般解）:x=5c+12c

2c

,其中c为任意数（自由未知数）.§1.2

Gauss消元法第一章线性方程组与消元法15第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x23x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=01/212

34

4121

32262轻装上阵

121

32

34

411311/2121

30

12

20

1

222(1)121

3012

200001

第二章矩阵§2.4线性方程组的矩阵解法16第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=0(2)121

3012

20000x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0(2)10

5

1012

20000x1=5c+1x2=

2c

2

x3=c其中c为任意实数.

方程组的初等行变换可以移植到矩阵上去第二章矩阵§2.4线性方程组的矩阵解法17第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)

矩阵的初等行变换

矩阵的初等列变换

(1)对换变换:ri

rj,

(2)倍乘变换:ri

k,(3)倍加变换:kri+rj.初等变换

(1)对换变换:ci

cj,(2)倍乘变换:ci

k,(3)倍加变换:kcj+ci.初等行变换初等列变换可逆变换！同解变换！第二章矩阵§2.4线性方程组的矩阵解法行row，列column18第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)例1.解线性方程组→→→解：[A,b]2x12x2

x3=7

x1

x2

+x3=2

x1

x2

+

3x3=0第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)→再作初等行变换B1又可以变为故方程变形为x1

x2=3

x3=

10=0故方程的解为x1=c+3

x2=cx3=

1第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．行阶梯形矩阵注意不是行阶梯形矩阵!11004010220202300004§2.4线性方程组的矩阵解法第二章矩阵第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)行最简形矩阵§2.4线性方程组的矩阵解法1)首先是行阶梯形矩阵；2)每一行的第一个非零元是13)每一行的第一个非零元1所在列的其余元素都是0第二章矩阵第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)

例2.解线性方程组第二章矩阵§2.4线性方程组的矩阵解法23第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)

例3.解线性方程组第二章矩阵§2.4线性方程组的矩阵解法24第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)

例4.设线性方程组:问

为何值时,此方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.解:对其增广矩阵[A,b]作初等行变换,化为阶梯形.第二章矩阵§2.4线性方程组的矩阵解法25第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)

1+

11011+

13111+

[A,b]=111+

11+

131+

110(1)111+

0

3

1+

110111+

0

3

0

(2+

)

(1+

)(1

)111+

0

3

00

(3+

)(1

)(3+

)1第二章矩阵§2.4线性方程组的矩阵解法26第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)

111+

0

3

00

(3+

)(1

)(3+

)当

0且

3时,方程组有唯一解;(2)当

=0时,方程组无解;(3)当

=3时,方程组有无穷多解.此时111+

0

3

00

(3+

)(1

)(3+

)112

3033

60000=112

3011

20000101

1011

20000(1)()13第二章矩阵§2.4线性方程组的矩阵解法27第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)

101

1011

20000由此可得原方程组的通解x1=x3

1x2

=

x3

2

x3

=

x3(任意)

因而原方程组化为x1

x3=

1x2

x3

=

2第二章矩阵§2.4线性方程组的矩阵解法28第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)例5.设有线性方程组(1)a为何值时,此方程组有无穷多解?

并求其通解.(2)a为何值时,此方程组无解?

2x3

8x4

=

6

x1+2x2+x3+x4

=22x1+4x2+2x3+2x4

=a

第二章矩阵§2.4线性方程组的矩阵解法29第二章2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)解:002

8

6121122422

a(1