专题10空间向量与立体几何-高考数学真题题源解密（全国卷）（原卷版）

2023年高考数学真题题源解密（全国卷）专题10空间向量与立体几何目录一览①2023真题展现考向一空间几何体的表面积和体积考向二三视图考向三点线面的位置关系考向四空间中的夹角问题②真题考查解读③近年真题对比考向一空间几何体的表面积和体积考向二三视图考向三点线面的位置关系考向四空间中的夹角问题④命题规律解密⑤名校模拟探源⑥易错易混速记考向一空间几何体的表面积和体积一、单选题1．（2023·全国乙卷理数第8题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国甲卷文数第10题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（

）A．1 B． C．2 D．33．（2023·全国甲卷理数第11题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（

）A． B． C． D．二、填空题4．（2023·全国甲卷文数第16题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题5．（2023·全国乙卷文数第19题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．(1)求证：//平面；(2)若，求三棱锥的体积．6．（2023·全国甲卷文数第18题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．考向二三视图一、单选题1．（2023·全国乙卷文数第3题/理数第3题）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（

）

A．24 B．26 C．28 D．30考向三点线面的位置关系一、单选题1．（2023·全国乙卷理数第9题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（

）A． B． C． D．二、填空题2．（2023·全国乙卷文数第16题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则．3．（2023·全国甲卷理数第15题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点．考向四空间中的夹角问题一、解答题1．（2023·全国乙卷理数第19题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.2．（2023·全国甲卷理数第18题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．

(1)证明：；(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．【命题意图】1.空间几何体(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.3.空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.【考查要点】高频考点：面面角，垂直关系的证明；中频考点：体积、球及球的切接，线线角、线面角；低频考点：平行关系的证明。【得分要点】（1）简单几何体和组合几何体是培养学生空间想象能力的一个很好的载体，可以单独考查，如几何体的识别，距离和截面面积的计算；也可以与体积、表面积结合考查，重点考查简单几何体的表面积或体积，一般为小题，多为低档题．球与简单几何体的切接问题或与之有关的最值问题，题型为选择题或填空题，这是一类重点问题，有时难度相对较大。（2）小题形式多考查平行与垂直的判定与性质，多为基础题，对于截面问题的考查，难度则有提升；解答题，第一小题多为证明线线、线面、面面垂直与平行；第二问，多数是利用空间向量的相关知识解决空间角的问题，为中档题。考向一空间几何体的表面积和体积一、单选题1．（2022·全国乙卷文数第9题/理数第9题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国甲卷文数第10题/理数第9题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（

）A． B． C． D．3．（2021·全国甲卷理数第11题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．二、解答题4．（2022·全国乙卷文数第18题）如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．5．（2022·全国甲卷文数第19题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．(1)证明：平面；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．6．（2021·全国乙卷文数第18题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．7．（2021·全国甲卷文数第19题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.三、填空题8．（2021·全国甲卷文数第14题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为.考向二三视图一、单选题1．（2022·全国甲卷文数第4题/理数第4题）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（

）A．8 B．12 C．16 D．202．（2021·全国甲卷文数第7题/理数第6题）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）B．C．D．二、填空题1．（2021·全国乙卷文数第16题）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）．考向三点线面的位置关系一、单选题1．（2022·全国乙卷文数第7题/理数第7题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面考向四空间中的夹角问题一、单选题1．（2022·全国甲卷文数第9题/理数第7题）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（

）A． B．AB与平面所成的角为C． D．与平面所成的角为2．（2021·全国乙卷文数第10题/理数第5题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（

）A． B． C． D．二、解答题3．（2022·全国乙卷理数第18题）如图，四面体中，，E为的中点．(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．4．（2022·全国甲卷理数第18题）在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．5．（2021·全国乙卷理数第18题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．6．（2021·全国甲卷理数第19题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?我们通过比较近三年的高考题可以发现，对于空间向量与立体几何的考查在素养要求的层级上有所提高，但难度不会提升太多，多为基础性、综合性题目。理科数学对创新能力的要求有所提高，所以预计2024年的高考，会加强对创新能力的考查，但总体基调不会发生太大变化。一、单选题1．（2023·江苏镇江三模）一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2，以该圆台的上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为（

）A． B． C． D．2．（2023·北京三模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3．（2023·安徽安庆三模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是（

）

A． B．C． D．4．（2023·江苏无锡三模）已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题中错误的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则5．（2023·河南开封三模）某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为36，则图中的值为（

）

A．2 B． C．3 D．6．（2023·广东梅州三模）在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为，圆柱的侧面积为，则该毡帐的体积为（

）

A． B． C． D．7．（2023·河北衡水三模）已知球O的半径为2，三棱锥底面上的三个顶点均在球O的球面上，，，则三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．8．（2023·四川成都三模）如图，网格纸上绘制的是一个几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（

）

A． B．1 C． D．49．（2023·山东潍坊·三模）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？”按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为（

）（注：1丈尺）A．11676立方尺 B．3892立方尺C．立方尺 D．立方尺10．（2023·河南三模）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（

）

A． B． C． D．11．（2023·河北衡水三模）在正方体中，M是线段（不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（

）A． B．平面平面C．平面 D．平面12．（2023·河南·襄城三模）已知三棱锥中，平面ABC，，，，，D为PB的中点，则异面直线AD与PC所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．13．（2023·广东广州三模）已知克列尔公式：对任意四面体，其体积和外接球半径满足，其中，，，，，，中，若，，则该四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．14．（2023·福建福州三模）如图，在圆台OO1中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，，点D是BC的中点，l为平面与平面的交线，则交线l与平面所成角的大小为（

）

A． B． C． D．15．（2023·四川·成都三模）如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱，的中点．若点为侧面正方形内（含边界）的动点，且平面，则与侧面所成角的正切值最大为（

）

A．2 B．1 C． D．16．（2023·河南·襄城三模）如图1，在中，，，，，沿将折起，使得二面角为60°，得到三棱锥，如图2，若，则三棱锥的外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．17．（2023·上海虹口三模）已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，P､Q为底面圆周上任意两点．有以下三个结论：①三角形SPQ面积的最大值为2；②三棱锥体积的最大值为；③四面体SOPQ外接球表面积的最小值为．以上所有正确结论的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．318．（2023·河北张家口三模）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年上级学生制作的一个风筝模型的多面体为的中点，四边形为矩形，且，当时，多面体的体积为（

）

A． B． C． D．19．（2023·云南三模）如图，已知半径为、母线长为的圆锥的侧面展开图是半圆，在其内部作一个半径为、母线长为的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），若圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为，则（

）

A． B． C． D．20．（2023·河南三模）设正方体的棱长为1，点E是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：

①如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为；②如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；③如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；④如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为．其中正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题21．（2023·四川遂宁三模）某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为，则该三棱锥外接球的表面积22．（2023·上海奉贤三模）一个正方体和一个球的表面积相同，则正方体的体积和球的体积的比值．23．（2023·上海闵行二模）在中，，，，将绕边AB旋转一周，所得到几何体的体积为.24．（2023·青海西宁二模）关于正方体有如下说法：①直线与所成的角为；

②直线与所成的角为；③直线与平面所成的角为；

④直线与平面ABCD所成的角为．其中正确命题的序号是．25．（2023·山东济宁三模）在棱长为2的正方体中，为底面的中心，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是.26．（2023·云南曲靖三模）已知点均在球的球面上运动，且满足，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为.27．（2023·湖南邵阳三模）三棱锥中，PA⊥平面ABC，，则三棱锥外接球的表面积为.28．（2023·山东青岛三模）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为半圆，则该圆锥内半径最大的球的表面积为．29．（2023·山东淄博三模）已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其内切球的表面积之比为.30．（2023·上海黄浦三模）已知正方形ABCD的边长是1，将沿对角线AC折到的位置，使（折叠后）A、、C、D四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为．31．（2023·河北三模）已知四面体中，，则该四面体体积的最大值为．32．（2023·四川泸州三模）如图，在四棱柱中，平面，，，，为棱上一动点，过直线的平面分别与棱，交于点，，则下列结论正确的是．对于任意的点，都有对于任意的点，四边不可能为平行四边形当时，存在点，使得为等腰直角三角形存在点，使得直线平面33．（2023·四川成都·三模）如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，圆柱的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为．34．（2023·北京大兴三模）如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点.给出下列四个结论:

①存在点，存在点，满足∥平面；②任意点，存在点，满足∥平面；③任意点，存在点，满足；④任意点，存在点，满足.其中所有正确结论的序号是.35．（2023·河南·襄城三模）在正四棱柱中，，点在棱上，平面，则三棱锥的外接球的表面积为.36．（2023·广东深圳二模）如图，已知球的表面积为，若将该球放入一个圆锥内部，使球与圆锥底面和侧面都相切，则圆锥的体积的最小值为.

37．（2023·陕西商洛三模）在四面体中，，，，若，，则该四面体外接球的表面积为.38．（2023·河南·襄城三模）在正四棱柱中，，，点P为侧棱上一点，过A，C两点作垂直于BP的截面，以此截面为底面，以B为顶点作棱锥，则该棱锥的外接球的表面积的取值范围是．39．（2023·河南开封三模）如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上一动点（不与，B重合），则下列命题中：①平面平面；②一定是锐角；③；④三棱锥的体积为定值．其中真命题的有．40．（2023·陕西宝鸡三模）如图，正方体棱长为2，P是线段上的一个动点，则下列结论中正确的为．①BP的最小值为②存在P点的某一位置，使得P，A，，C四点共面③的最小值为④以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为三、解答题41．（2023·陕西安康三模）如图，在四棱锥中，平面，且四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点．

(1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离.42．（2023·北京海淀三模）如图在几何体中，底面为菱形，.

(1)判断是否平行于平面，并证明；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：（i）平面与平面所成角的大小；（ii）求点到平面的距离.条件①：面面条件②：条件③：注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.43．（2023·江西南昌三模）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，平面，，，G在上，且．(1)求证：平面；(2)若与所成的角为，求多面体的体积．44．（2023·人大附中三模）已知四棱锥的底面为梯形，且，又，，，平面平面，平面平面．

(1)判断直线和的位置关系，并说明理由；(2)若点到平面的距离为，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角余弦值大小．①；②为二面角的平面角．45．（2023·浙江温州二模）在三棱锥中，，平面平面，且.

(1)证明：；(2)若是直线上的一个动点，求直线与平面所成的角的正切值最大值.46．（2023·河北三模）如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线交于点，且平面是的中点，是线段上一动点．

(1)当平面平面时，试确定点的位置，并说明理由；(2)在（1）的前提下，点在直线上，以为直径的球的表面积为．以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求点的坐标．47．（2023·江西师大附中三模）已知四棱锥的底面是正方形，，是棱上任一点．

(1)求证：平面平面；(2)若，求点到平面的距离．48．（2023·福建福州二模）如图1，在中，为的中点，为上一点，且.将沿翻折到的位置，如图2.

(1)当时，证明：平面平面；(2)已知二面角的大小为，棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.49．（2023·江苏镇江三模）如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.①与平面所成角相等；②三棱锥体积为；③

(1)平面平面；(2)求二面角的大小；(3)求点到平面的距离.50．（2023·山东菏泽三模）已知在直三棱柱中，其中为的中点，点是上靠近的四等分点，与底面所成角的余弦值为．

(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．51．（2023·河南·襄城三模）如图所示，在直四棱柱中，，，且是的中点.

(1)证明：；(2)若，求四棱柱的体积.52．（2023·河南开封三模）如图，在四棱锥中，是边长为的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点.(1)求证：平面；(2)求四棱锥的体积.53．（2023·河北衡水三模）如图，在四棱锥中，，，，.

(1)证明：平面平面；(2)已知，，.若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.54．（2023·福建福州三模）如图，在三棱锥中，底面，，，将绕着逆时针旋转到的位置，得到如图所示的组合体，为的中点.

(1)当为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；(2)当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.55．（2023·四川成都三模）如图，四棱柱的侧棱⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，的中点.

(1)证明：四点共面；(2)若，求点A到平面的距离.56．（2023·陕西宝鸡二模）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，平面，点是棱的中点，点是棱上的一点，且．

(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．57．（2023·河北张家口三模）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，.

(1)证明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.58．（2023·广东深圳二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.

(1)证明：；(2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值.59．（2023·河南三模）如图，四棱锥中，四边形为梯形，∥，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．

(1)求证：直线∥平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．60．（2023·广东梅州三模）如图所示，在几何体中，平面，点在平面的投影在线段上，，，，平面.

(1)证明：平面平面.(2)若二面角的余弦值为，求线段的长.平行的判定文字语言图形语言符号语言线∥线线∥面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行面∥面线∥面如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有