有序思维：促进学生的学力生长

摘

要：在小学数学教学中，教师要引导学生发掘“有向性”的材料，注重“有向性”的思想方法渗透，引导学生的“有向性”表达。“有向性”材料是学生有序思维的根基，“有向性”方法是学生有序思维的关键，“有向性”表达是学生有序思维的重要标志。培育学生的有序思维，是小学数学学科教学的应然之举。有序思维，能提升学生的数学学习品质。关键词：小学数学

有序思维

学力生长数学是思维的“体操”。学生的数学学习，从某种意义上说就是学生数学思维的学习。要培育学生的数学思维，教师不仅要着眼于学生的思维方法，还要着眼于学生的思维状态、思维质量、思维品质。有序思维是指学生能“循序渐进、有条有理地展开思维”，能促进学生的思维生长，促进学生认知的生长，促进学生的学力生长。一、“材料有向”：有序思维的根基培育学生的有序思维，首先应给学生提供“有向性”材料。课堂教学时空是一个有限的时空，如何在这个有限的时空内发展学生的有序思维？笔者认为，一个重要的方法就是教师要引导学生的“有向性”学习，要给学生准备“有向性”材料。材料是学生思维的依托，是学生思维的载体，材料的有序与否直接关乎学生的数学思维。给学生提供“有向性”的材料，能让学生展开有序性的思维、有序性的操作，进而展开有序性的学习。比如，在教学“圆锥的体积”时，笔者在引导学生利用“转化法”探寻了圆锥的体积之后，给学生提供了丰富的结构化材料，包括长方体、正方体、圆柱体、圆锥体。其中，圆柱体材料包括“等底不等高的圆柱和圆锥”“等高不等底的圆柱和圆锥”“等底等高的圆柱和圆锥”等。这样一种结构化材料，必然催生学生的有序思维。“应该选择怎样的形体与圆锥进行实验比较？”当学生从形状、外观上确定选择圆柱和圆锥作为比较的形体之后，又提出了这样的问题：“应该选择怎样的圆柱和圆锥进行实验比较？”从优化探究的视角来看，绝大多数学生都选择了“等底等高的圆柱和圆锥”。在探究结束之后，笔者引导学生思考“能否选择等底不等高或者等高不等底的圆柱和圆锥进行实验”。经过深入的研讨，学生认识到如果一个圆柱和圆锥等底等高，圆柱的体积一定是圆锥体积的三倍；而当圆柱的体积是圆锥的三倍时，它们之间不一定等底等高。“有向性”的数学操作材料，让学生的数学思维如同呼吸一样自然。用好丰富性、结构性、“有向性”的数学素材，能让学生的学习事半功倍。在数学学科教学中，教师应当在材料的“有向性”上准备得更充分、更具体；应当让材料逐步展开，让材料的呈现由易到难、由局部到整体或者由整体到局部。二、“方法有向”：有序思维的关键有序思维不仅依托“有向性”的数学素材，更依托“有向性”的数学方法。在小学数学教学中，教师对相关的教学知识既不能“和盘托出”，也不能“简单告诉”，要循序渐进地引导学生思考与探究，经历数学化的活动。比如，可以让学生“有向观察”“有向操作”“有向想象”。“有向性”的活动，能够让学生逐步地建构、创造数学学科知识。在教学中，为了助推学生“有向性”的数学活动，教师可以设置一些“有向性”的问题与“有向性”的任务，引导学生展开探究，让学生的数学学习具有“向度”。比如，在教学“平行四边形的认识”时，笔者就依托学生有序性的活动经验，启发学生：“我们可以从哪些角度来研究平行四边形？”有的学生认为，我们可以从平行四边形的对边、邻边等角度来研究；有的学生认为，可以从平行四边形的对角、邻角等角度来研究；有的学生认为，可以从平行四边形与长方形、正方形的关系视角来研究，等等。在学生提出研究方向的基础上，笔者将之概括、提炼成“边”“角”关系，并以此作为学生思维、认知的出发点，让学生的数学活动有序、思维“有向”。在具体的教学过程中，笔者继续发散学生的有序思维：“可以从哪些角度来研究‘边’呢？可以从哪些角度来研究‘角’呢？应该怎样进行研究？”有的学生说，应当根据“边”的特征来研究关系；有的学生说，应当根据“角”的特征来研究关系；有的学生说，应当结合“边与角”的特征来研究关系，等等。正是活动预设、活动组织、活动展开的有序性，催生了学生的有序思维。研究方法的“有向性”是学生有序思维的基石。在数学学科教学中，教师不仅要关注数学学科知识的顺序与方向，还要关注学生的认知顺序与认知方向。只有深刻地、“有向”地把握数学学科本身以及学生的认知，才能让学生的学习具有一种规范性与“适切性”。三、“表达有向”：有序思维的标志学生的“有向性”表达是学生有序思维的重要标志。在小学数学教学中，教师不仅要发散学生的有序思维，还有引导学生“有向”地表达；不仅要引导学生表达清楚数学学科知识“是什么”，还要表达清楚“怎么樣”“为什么会这样”“还可以怎样”，等等。在“有向性”的表达过程中，教师要引导学生把握数学学科知识的本质与关联。“有向性”的表达要求学生能够把握表达的先与后、表达的主与次。思维、探究和表达，是一种“表与里”的关系。其实，“有向性”的表达，既能让教师洞察学生有序性的思维，又能让教师易于聆听、易于理解、易于同化。“有向性”的表达，能够让有序思维具有逻辑性与严谨性。可以说，有序性思维与“有向性”的表达是相辅相成、相互促进的。比如，在教学“平行四边形的面积”时，笔者引导学生动手操作，将平行四边形通过“剪、移、拼”的方法转化成长方形之后，要求学生将长方形与平行四边形进行比较。在比较的过程中，笔者不仅引导学生辩证地看问题（“在转化的过程中，什么发生了变化？”），还引导学生有序地表达（“平行四边形的底相当于什么？”“平行四边形的高相当于什么？”“平行四边形的面积相当于什么？”）。通过比较，学生能更深刻地领悟“平面图形的面积推导、转化”的精髓，即“在平面图形的面积转化过程中，面积本身是不发生变化的”。接着，笔者追问：“为什么要沿着平行四边形的高剪开？一定要沿着平行四边形的高剪开吗？”通过追问，让学生认识、理解图形剪拼过程的科学性、必然性与合理性。“有向性”的表达是有序思维的外在表征，有序思维是“有向性”表达的内在支撑。通过“有向性”的数学思维，学生在解决问题的时候才能遵循一定的顺序，才能按照一种特定的步骤、线索去展开学习。对有序思维的培育不是一蹴而就的，也不是一朝一夕的事情。在日常的数学教学中，教师必须将“有向性”的目标、要求贯穿于学生