复合函数的零点问题

复合函数的零点问题$$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x,&0\leqx\leqa,\\a^2-x,&a<x\leqa,\\\frac{a(1-a)}{1-a^2}x-\frac{a^2}{1-a^2},&a<a<x\leq1.\end{cases}$$要求求出$f(f(x))-x=0$的解$x$，并确定哪些解是$f(x)$的二阶周期点。下面对题目进行详细解析。首先，根据题目定义，可以求出$f(f(x))$的表达式：$$f(f(x))=\begin{cases}\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}x,&0\leqx\leqa,\\a^2-\frac{1}{2}x,&a<x\leqa,\\\frac{a(1-a)}{1-a^2}\cdot\frac{1}{2}x-\frac{a^2}{1-a^2},&a<a<x\leq1.\end{cases}$$然后，将$f(f(x))-x=0$化为$f(f(x))=x$，分别讨论$x$在不同区间的情况：当$0\leqx\leqa$时，由$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}x=x$得$x=0$或$x=\frac{2}{3}a$。但由于$f(x)$在$x=0$处的导数为$\frac{1}{2}$，不是零点，因此$x=0$不是$f(x)$的二阶周期点。而$x=\frac{2}{3}a$是$f(x)$的二阶周期点，因为$f(f(\frac{2}{3}a))=\frac{2}{3}a$。当$a<x\leqa$时，由$a^2-\frac{1}{2}x=x$得$x=a^2-\frac{1}{2}x$，解得$x=\frac{a}{2}$。但由于$f(x)$在$x=a^2-\frac{1}{2}x$处的导数为$-\frac{1}{2}$，不是零点，因此$x=\frac{a}{2}$不是$f(x)$的二阶周期点。当$a<x\leq1$时，由$\frac{a(1-a)}{1-a^2}\cdot\frac{1}{2}x-\frac{a^2}{1-a^2}=x$得$x=\frac{a(1-a)}{2(1-a^2)}$。但由于$f(x)$在$x=\frac{a(1-a)}{2(1-a^2)}$处的导数为$\frac{a(1-a)}{2(1-a^2)}$，不是零点，因此$x=\frac{a(1-a)}{2(1-a^2)}$不是$f(x)$的二阶周期点。综上，$f(x)$有且仅有两个二阶周期点，分别为$x_1=\frac{2}{3}a$和$x_2=\frac{a}{2-a}$。【例2】【2017年高考江苏卷】设$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$且周期为$1$的函数，在区间$[0,1)$上，$f(x)=x$，其中集合$D=\{\frac{k}{n-1}|k\in\mathbb{Z},1\leqk\leqn-1\}$，则方程$f(x)-\logx=$的解的个数是$D=$。【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，综合性强，难度大。【难点中心】解答此类问题，关键在于“抽茧剥丝”，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数图象，利用图象解决问题。【解析】由于$f(x)\in[0,1)$，则需考虑$1\leqx<10$的情况。在此范围内，$x\in\mathbb{Q}$且$x\in\mathbb{Z}$时，设$x=\frac{q}{p},p,q\in\mathbb{N}^*,p\geq2$，且$p,q$互质。若$\logx\in\mathbb{Q}$，则由$\logx\in(0,1)$，可设$\logx=\frac{n}{m},m,n\in\mathbb{N}^*,m\geq2$，且$m,n$互质。因此$10=\frac{q^m}{p^mn^n}$，则$10=\left(\frac{q}{p}\right)^m\left(\frac{1}{n}\right)^m$，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此$\logx\notin\mathbb{Q}$。因此$\logx$不可能与每个周期内$x\inD$对应的部分相等，只需考虑$\logx$与每个周期$x\notinD$的部分的交点，画出函数图象，图中交点除$(1,0)$外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期$x\notinD$的部分，且$x=1$处$\left(\logx\right)'=\frac{1}{x\ln10}<1$，则在$x=1$附近仅有一个交点，一次方程解的个数为$8$。【例3】【2015年高考天津】已知函数$f(x)=\begin{cases}2-x,&x\leq2,\\x-2,&x>2,\end{cases}$函数$g(x)=b-f(2-x)$，其中$b\in\mathbb{R}$，若函数$y=f(x)-g(x)$恰有$4$个零点，则$b$的取值范围是（）。【解析】由$f(x)=\begin{cases}2-x,&x\leq2,\\x-2,&x>2,\end{cases}$得$f(2-x)=\begin{cases}x-2,&x\leq0,\\2-x,&x>0,\end{cases}$，因此$g(x)=b-f(2-x)=\begin{cases}b-x+2,&x\leq0,\\b+x-2,&x>0.\end{cases}$又$y=f(x)-g(x)=\begin{cases}b-2x,&x\leq0,\\b-2,&0<x\leq2,\\b+2x-4,&x>2.\end{cases}$因此$y=f(x)-g(x)$恰有$4$个零点等价于方程$b-2x=0$，$b-2=0$，$b+2x-4=0$，$0<x\leq2$的解的个数均为$1$。解得$b\in(0,2]$，故选项为D。+f(2-x)-b=0有4个不同的解，即函数y=b与函数y=f(x)+f(2-x)的图像有4个公共点。由图像可知7/4<b<2。复合函数的定义：设y=f(t)，t=g(x)，且函数g(x)的值域为f(t)的定义域的子集，那么y通过t的联系而得到自变量x的函数，称y为x的复合函数，记为y=f(g(x))。计算复合函数函数值的步骤：求y=g(f(x))的函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知f(x)=2x，g(x)=x^2-x，计算g(f(2))。解析：f(2)=4，所以g(f(2))=g(4)=12。已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值。例如：已知f(x)=2x，g(x)=x^2-2x，若g(f(x))=0，求x。由上例可得，要想求出g(f(x))=0的根，则需要先将f(x)视为整体，先求出f(x)的值，再求对应x的解。这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义。函数的零点：设f(x)的定义域为D，若存在x∈D，使得f(x)=0，则称x为f(x)的一个零点。复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程g(f(x))=0的根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于f(x)的方程，观察有几个f(x)的值使得等式成立；第二层是结合着第一层f(x)的值求出每一个f(x)被几个x对应，将x的个数汇总后即为g(f(x))=0的根的个数。题型攻略：这类试题通常以选择题或填空题的形式出现，综合性强，难度大。求解复合函数零点问题的技巧包括：结合函数图像、估计关于f(x)的方程的解的个数、根据函数图像特点分配每个函数值被几个x所对应来确定f(x)的值。1.对于函数的零点问题，需要注意函数的单调性。如果函数在给定区间上是单调的，则至多有一个零点，否则需要细分小的单调区间。对于给定区间上的函数，如果存在零点，则需要进一步确定该零点是否为变号零点或非变号零点。因此，当函数在区间（-2，2）内有一个零点时，无法确定f（-2）·f（2）的符号，因此选D。2.对于连续函数f（x）在区间[a，b]上的零点问题，需要注意f（a）·f（b）<0仅是存在零点的充分条件，而不是必要条件。满足零点存在性定理条件的零点可能不唯一，而不满足条件的函数也可能存在零点。因此，对于在闭区间[a，b]上存在零点的函数f（x），f（a）·f（b）<0是充分不必要条件。如果函数在区间[a，b]上是单调的，则当f（a）·f（b）<0时，存在唯一的零点，即存在唯一的c∈（a，b），使得f（c）=0。如果f（a）·f（b）>0，则函数在区间（a，b）内不一定没有零点。因此，需要注意区分充分条件和必要条件。点睛：函数h(x)=f(x)-mx+2有三个不同的零点，即f(x)-mx+2=0有三个不同的实根。可以令y=f(x)，y=g(x)=mx-2，分别画出y=f(x)和y=g(x)的图像，通过图像观察，结合斜率公式，即可得到m的范围。已知函数f(x)={log2(x-1),x>1;2x+2,x<=1}，F(x)=f(f(x))-2f(x)-3，求F(x)的零点个数。解：令t=f(x)，则F(x)=0等价于f(t)-2t-3=0。因为f(x)在x>1时单调递增，在x<=1时单调递减，可以画出大致的函数图像。由于f(x)有两段不同的定义域，所以需要分别讨论。在x>1时，f(x)的图像为一条斜率为1的直线，过点(1,0)。在x<=1时，f(x)的图像为一条斜率为2的直线，过点(1,4)。因此，f(t)-2t-3=0的解分别为t=1，t=2，t=4/3。因为t=f(x)，所以F(x)的零点个数为4。已知关于x的方程f(x^2+x-2)=0恰好有4个不相等的实数根，求实数x的取值范围。解：令t=x^2+x-2，则f(t)=0恰好有4个不相等的实数根。因为t=x^2+x-2是一个二次函数，开口向上，因此在t的取值范围内，f(t)的图像为一条上凸的开口向下的抛物线。由于f(t)只有在t>=1时才有定义，因此t的取值范围为t>=1。因为f(t)=0恰好有4个不相等的实数根，所以抛物线与x轴交点的个数为4。根据抛物线的性质，可以得到抛物线在x=0处的函数值为负数，因此x的取值范围为(-2,-1)∪(1,∞)。已知函数f(x)={log2(x),0<x<2;x+2,x>=2}，若0<a<b<c，且f(a)=f(b)=f(c)，则ab的范围为多少？解：因为f(a)=f(b)=f(c)，所以log2(a)=log2(b)，即a=b或ab=1。如果a=b，则ab=1。如果ab=1，则a=1/b。因为0<a<b<c，所以1/c<1/b<1/a。因此，1/c<a<1/b<b<c。因为ab=1，所以a和b在同侧，c在另一侧。因为f(x)在x>=2时单调递增，在0<x<2时单调递增，因此f(a)<f(c)<f(b)。由于f(a)=f(b)=f(c)，所以f(a)=f(b)=f(c)=log2(1/ab)。因此，ab的范围为(1,2)。已知函数$f(x)=\lnx-1$，$f(x)-m$的四个零点$x_1,x_2,x_3,x_4$，且$k=-\frac{e^2}{2}$，求$k$的值。解析：当$f(x)-m=0$时，即$\lnx-1-m=0$，解得$x=e^{m+1}$。因为$f(x)-m$有四个零点$x_1,x_2,x_3,x_4$，所以有$e^{m+1}=x_1,x_2,x_3,x_4$。根据反比例关系，$x_1x_2x_3x_4=k$，代入得$e^{4(m+1)}=k$，又因为$k=-\frac{e^2}{2}$，所以$e^{4(m+1)}=-\frac{e^2}{2}$，解得$m=-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$，所以$k=-\frac{e^2}{2}$。已知函数$f(x)=\begin{cases}f(x-1)+1,x>1\\f(x)-x,x\leq1\end{cases}$，将$f(x)-x=0$的根按从小到大顺序排成一个数列，则该数列的前$n$项和$S_n=$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}。解析：当$x\leq1$时，$f(x)-x=0$的根为$x=0$；当$1<x\leq2$时，$f(x)-x=0$的根为$x=1$；当$2<x\leq3$时，$f(x)-x=0$的根为$x=2$；依次类推，当$n<x\leqn+1(n\inN)$时，$f(x)-x=0$的根为$x=n$。因此，该数列的通项公式为$a_n=n-1$，是一个等差数列，$S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]=\frac{n}{2}[2\times0+(n-1)\times1]=\frac{n(n-1)}{2}$。已知函数$f(x)=\begin{cases}\frac{m}{2x^2-mx+28},x\leq1\\\frac{5}{x+1},x>1\end{cases}$，函数$g(x)=f(x)-m$有三个零点，则实数$m$的取值范围是\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}。解析：当$x\leq1$时，$f(x)-m=0$的根为$x_1=\frac{m-2\sqrt{m^2-224}}{4}$和$x_2=\frac{m+2\sqrt{m^2-224}}{4}$；当$x>1$时，$f(x)-m=0$的根为$x_3=\frac{5}{m}+1$。因为函数$g(x)=f(x)-m$有三个零点，所以$x_1,x_2,x_3$中必有两个相等，即$\frac{m-2\sqrt{m^2-224}}{4}=\frac{m+2\sqrt{m^2-224}}{4}$或$\frac{m-2\sqrt{m^2-224}}{4}=\frac{5}{m}+1$或$\frac{m+2\sqrt{m^2-224}}{4}=\frac{5}{m}+1$。第一个方程无解，第二个方程解得$m<-1$或$m>\frac{7}{4}$，第三个方程解得$m<-\frac{7}{4}$或$m>1$。综合可得$m\in(-\infty,-1)\cup(\frac{7}{4},+\infty)$。已知定义在$\mathbb{R}$上的函数$f(x)=\begin{cases}x^2+x,x\leq0\\\ln(x+1),x>0\end{cases}$，若函数$g(x)=f(x)-a(x+1)$恰有2个零点，则实数$a$的取值范围是\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}。解析：当$x\leq0$时，$g(x)=f(x)-a(x+1)=x^2+(1-a)x$；当$x>0$时，$g(x)=f(x)-a(x+1)=\ln(x+1)-a(x+1)$。因为函数$g(x)$恰有2个零点，所以$x^2+(1-a)x=0$和$\ln(x+1)-a(x+1)=0$有且仅有一个根。对于$x^2+(1-a)x=0$，其判别式为$1-4a\geq0$，即$a\leq\frac{1}{4}$或$a>1$；对于$\ln(x+1)-a(x+1)=0$，因为$\ln(x+1)$在$x>0$时单调递增，所以$a$只能取$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$。综合可得$a\in(-\infty,-1)\cup(-1,\frac{1}{4}]\cup(1,+\infty)$。x，即1-x^2=0，解得x=±1。又因为log4x的定义域为(0,+∞)，所以只有x=1是合法的零点，故函数f(x)的零点个数为1。但是题目中还有函数h(x)=f(x)-log4x，因为log4x在(0,+∞)上单调递增，所以h(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，故h(x)有两个极值，分别为h(-1)=2-log4和h(1)=-1-log4，因此h(x)有三个零点，分别为(-∞,-1)，(1,2-log4)和(2-log4,+∞)，故答案为D。改写：本题考查了函数的零点个数和图像的性质，需要注意函数的定义域和单调性，可以通过求导数和画函数图像来解决。具体来说，函数f(x)的零点只有一个，但是函数h(x)由于加上了log4x，导致在定义域内有三个零点，需要注意区分。已知函数$f(x)$在定义域$(0,+\infty)$上单调，且对任意$x\in(0,+\infty)$，都有$f(f(x)+\log_2x)=4$。又方程$f(x)-3=x^3-6x^2+9x-4+a$在区间$(0,3)$上有两个解，则实数$a$的取值范围是什么？首先，题目要求我们求方程$f(x)-3=x^3-6x^2+9x-4+a$在区间$(0,3)$上的解的个数，可以转化为求函数$f(x)-x^3+6x^2-9x+7-a$在区间$(0,3)$上的零点个数。根据函数零点的求解与判断方法，我们可以将函数变形为$f(x)-x^3+6x^2-9x+7-a=(f(x)+\log_2x)-4-(x-1)^2$，然后画出函数$f(x)+\log_2x$和$4+(x-1)^2$的图象，观察它们的交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。根据题意，对任意$x\in(0,+\infty)$，都有$f(f(x)+\log_2x)=4$，因此可以得到$f(x)+\log_2x=x-2\sin^2x$。当$\pi<x\leq3\pi$时，$x-\pi\leqx-\pi\leq\pi$，因此$-1\leq\sin(x-\pi)\leq1$，进而$-2\leq-2\sin^2(x-\pi)\leq0$，因此$f(x)+\log_2x=x-2\sin^2x\geqx-2\geq\pi-2>0$，即函数图象位于$x$轴上方，与$4+(x-1)^2$的图象没有交点。当$\frac{\pi}{2}<x\leq\pi$时，$0<x-\pi<\frac{\pi}{2}$，因此$0<\sin(x-\pi)<1$，进而$0<2\sin^2(x-\pi)<1$，因此$f(x)+\log_2x=x-2\sin^2x\leqx-2x+2=x+2<\pi+2$，即函数图象位于$x$轴下方，与$4+(x-1)^2$的图象只有一个交点。当$0<x\leq\frac{\pi}{2}$时，$0<x-\pi<-\frac{\pi}{2}$，因此$-1<\sin(x-\pi)<0$，进而$0<2\sin^2(x-\pi)<1$，因此$f(x)+\log_2x=x-2\sin^2x\leqx<\frac{\pi}{2}$，即函数图象位于$x$轴上方，与$4+(x-1)^2$的图象有两个交点。综上所述，函数$f(x)-x^3+6x^2-9x+7-a$在区间$(0,3)$上有$2$个零点，因此实数$a$的取值范围是$(-\infty,5]$，答案选A。1.将y=x^3-6x^2+9x-4的图像向上平移至经过点(3,1)，并且有两个交点。由g(3)=1，即a-4=1，解得a=5。当a∈(4,5]时，两个图像有两个交点，即方程有两个解。因此选A。改写：将函数y=x^3-6x^2+9x-4的图像向上平移，使其经过点(3,1)，并且使其与另一个函数有两个交点。由g(3)=1，可得到a的值为5。当a的取值范围在(4,5]时，两个函数有两个交点，即方程有两个解。因此答案为A。2.若函数f(x)={(e^x)/x,x>3}，则方程3f(f(x))-e^3=1的根的个数为（）改写：设函数f(x)={(e^x)/x,x>3}，则方程3f(f(x))-e^3=1的根的个数为（）。3.已知函数f(x)={(1+x)/4,x∈(0,1)}，则方程f(x^3+1)-e^3=0的根的个数为（）改写：已知函数f(x)={(1+x)/4,x∈(0,1)}，求方程f(x^3+1)-e^3=0的根的个数。4.已知函数f(x)={f(x-1)+x,x≤1}，若方程f(x)-ax+2a=a（a≠0）有唯一解，则实数a的取值范围是（）改写：已知函数f(x)={f(x-1)+x,x≤1}，求实数a的取值范围，使得方程f(x)-ax+2a=a（a≠0）有唯一解。5.已知函数f(x)={1/e^x,0<x≤1;1/e+(e-1)/(e^x-e),1<x≤e}，若方程f(x)=kx+e有且仅有3个实数解，则实数k的取值范围是（）改写：已知函数f(x)={1/e^x,0<x≤1;1/e+(e-1)/(e^x-e),1<x≤e}，求实数k的取值范围，使得方程f(x)=kx+e有且仅有3个实数解。设点A(0,e)，函数图像的一条切线为AB，切点为B，点C(e,1/e+e/(e-1))。求出k的取值范围。已知函数$f(x)=\begin{cases}2x^2,&x\leq0\\-3x-1+3,&x>0\end{cases}$，若存在唯一的整数$x$，使得$f(x)-ax>0$成立，则实数$a$的取值范围为$[0,2]\cup[3,8]$。【答案解析】根据题意，我们要讨论$f(x)-ax>0$的情况。当$a>8$时，至少存在两个点$(-1,f(-1))$和$(-2,f(-2))$满足$f(x)-ax>0$不成立，因此$a>8$时不符合题意。当$a=8$时，$f(x)-ax=0$，只有一个整数解$x=0$，不符合题意。当$a\in[3,8)$时，$f(x)-ax>0$在$x=0$处成立，且由于$f(x)$在$x\leq0$时是单调递减的，因此只有一个整数解$x=0$满足条件。当$a\in(2,3)$时，$f(x)-ax>0$在$x=0$处不成立，且由于$f(x)$在$x\leq0$时是单调递减的，因此不存在满足条件的整数解。当$a\in(0,2]$时，$f(x)-ax>0$在$x=0$处不成立，但是由于$f(x)$在$x>0$时是单调递增的，因此存在唯一的整数解$x=1$满足条件。综上所述，实数$a$的取值范围为$[0,2]\cup[3,8]$。【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围。从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等。已知函数$f(x)=x^3-3x$，则$f(x)$的取值范围为$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$。【答案解析】首先求出$f(x)$的零点，即$x=-\sqrt{3},0,\sqrt{3}$，然后根据$f(x)$的单调性和奇偶性来确定其取值范围。$f(x)$在$x\leq-\sqrt{3}$时是单调递减的，在$x\geq\sqrt{3}$时是单调递增的，在$-\sqrt{3}<x<0$时是单调递增的，在$0<x<\sqrt{3}$时是单调递减的。又因为$f(-x)=-f(x)$，即$f(x)$是奇函数，因此只需要讨论$f(x)$在$[0,+\infty)$上的取值范围即可。当$x\geq\sqrt{3}$时，$f(x)\geqf(\sqrt{3})=0$；当$x\in(0,\sqrt{3})$时，$f(x)\geqf(0)=0$；当$x\in(-\sqrt{3},0)$时，$f(x)\leqf(0)=0$；当$x\leq-\sqrt{3}$时，$f(x)\leqf(-\sqrt{3})=-6\sqrt{3}$。综上所述，$f(x)$的取值范围为$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$。【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解。定义函数$h(x)=\begin{cases}x^2-2,&x\leqa\\x-2,&x>a\end{cases}$，函数$f(x)$与直线$y=x-2$有一个公共点，且$f(x)$在$x\leqa$时单调递增，在$x>a$时单调递减。若存在实数$b$使得方程$h(x)-b=0$无实数根，则实数$a$的取值范围为$(-\infty,-5)\cup(4,+\infty)$。【答案解析】由题意可知，$f(x)$与直线$y=x-2$有一个公共点，设该点为$(x_0,y_0)$。则有$h(x_0)=y_0=x_0-2$，且$h'(x_0)=1$。又因为$h(x)$在$x\leqa$时单调递增，在$x>a$时单调递减，因此$h(x)$在$x=x_0$处取得极小值。设$h(x_0)=b$，则$b<x_0-2$。又因为$h(x)$在$x\leqa$时单调递增，在$x>a$时单调递减，因此$h(x)$在$x\leqa$时的最大值为$h(a)$，在$x>a$时的最大值为$h(x_0)$。因此，当$b>h(a)$时，方程$h(x)-b=0$无实数根；当$h(a)\geqb>x_0-2$时，方程$h(x)-b=0$有两个实数根；当$b\leqx_0-2$时，方程$h(x)-b=0$有一个实数根。综上所述，$a$的取值范围为$(-\infty,-5)\cup(4,+\infty)$。【名师点睛】对于函数的单调性问题，可以利用导数的符号来分析。当$f'(x)>0$时，$f(x)$单调递增；当$f'(x)<0$时，$f(x)$单调递减；当$f'(x)=0$时，$f(x)$取得极值。对于函数的最值问题，可以利用导数的零点来分析。当$f'(x)=0$时，$f(x)$可能取得极大值或极小值；当$f'(x)$在$x_0$的左侧为正，在$x_0$的右侧为负时，$f(x)$在$x_0$处取得极大值；当$f'(x)$在$x_0$的左侧为负，在$x_0$的右侧为正时，$f(x)$在$x_0$处取得极小值。数的取值范围是什么？至少有3个零点，则实数的取值范围是什么？问题转化为函数的图像有至少三个交点。根据图像可以得出当少三个交点时满足题设，应填写答案。先在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像，进而借助图像的直观建立不等式，求出参数的取值范围。已知$f(x)=e^x-1$，又$g(x)=f(x)-tf(x)$，若满足$g(x)=-1$的$x$有三个，则$t$的取值范围是什么？因为$f(x)=e^x-1$，所以可以作出函数$f(x)$的图像。由图像可以得出$f(x)$的值域，代入方程$g(x)=-1$化简，由条件和图像判断出方程的根的范围，列出不等式，求出$t$的取值范围为$(2,+\infty)$。已知函数$f(x)=\begin{cases}\ln(1-x)+4,&x\leq2\\x^2-4x,