指对同构(教师版)

指对同构(教师版)一．指数放缩：ex≥x+1(x≥0)；ex≥ex(x≥1)常见对数放缩：1−xx≤lnx≤x−1(x>0)；lnx≤x−1(x≥e)常见三角函数放缩：x∈(0,π/2)，sinx<x<tanx在学习对数运算性质时，我们曾提到两个恒等式：(1)当a>0且a≠1，x>0时，alogax=x(2)当a>0且a≠1时，logaa=x结合指数和对数运算法则，可以得到以下结论（其中x>0）：(3)ex=ex+xlnx；x+lnx=lnxex(4)ex/ex=x-lnx；x-lnx=lnx/ex(5)ex=e2x+2lnx；x+2lnx=lnx2ex(6)2x/ex=e2x-2lnx；2lnx=ex-ex/x结合常用的切线不等式lnx≤x-1，lnx≤x/e和ex≥x+1，可以得到更多结论，此处仅以(3)为例：xex≤ex-1；x+lnx=lnxex≤xex-1推广：1.对指数放缩ex≥x+1(x≥0)，可以进行以下推广：-将x替换成x+a，则得到ex+a≥x+a+1，切点为x=-a。-将x替换成x+lnx，则得到xex≥x+lnx+1，切点为x+lnx=0.568。-将x替换成x-1，则得到ex-1≥x，切点为x=1，也可表示为ex≥ex。-将ex≥ex中的x替换成x/n，则得到en≥e(x/n)，切点为x=n。-将ex≥ex中的x替换成x/3n，则得到en≥e(x/3n)，切点为x=3n。2.对指数放缩xe2x≥e2x/4，可以进行以下推广：-将x替换成x/2，则得到xe≥e(x/2)，切点为x=2。-将x替换成x/3，则得到xe3≥e(x/3)，切点为x=3。-将x替换成xn，则得到xe2x/n≥e2x/n，切点为x=n。-将x替换成x2/x3/xn，则得到xe2x/2x3...xn≥e2x/2x3...xn，切点为x=x2/x3/xn。同构式是指表达式除了变量不同外，其余部分都相同。同构式有很多应用。在方程中，如果方程f(a)和f(b)呈现同构特征，则a和b可以视为方程f(x)的两个根。在不等式中，如果不等式的两侧呈现同构特征，则可以将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系，比较大小或解不等式。在解析几何中，如果A(x1,y1)和B(x2,y2)满足的方程是同构式，则A,B为方程所表示曲线上的两点。特别的，如果满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB的方程。在数列中，可以将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(an,n)和(an-1,n-1)的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解。对于题目6，如果0<x1<x2<1，则选项Cx2ex1>x1ex2成立。化简后，得到ex2-lnx2>ex1-lnx1。设f(x)=ex-ln(x1/x)和g(x)=xex-1，则f(x)单调递增，g'(x)=(x+1)ex>0，因此g(x)在(0,1)单调递增。因此，存在x∈(0,1)，使得g(x)=f(x2)-f(x1)，由单调性可知f'(x)<0，因此f(x)在(0,1)不单调，不等式不会恒成立。因此，选项C成立，选项B和D不成立。1.对于函数$f(x)$在$(0,1)$内单调递减，因此有$f(x_1)>f(x_2)$成立。对于选项D，$x_2e<x_1e$，因此构造函数$f(x)=\frac{x}{e^x}$，由于在$(0,1)$内单调递减，因此选项D错误。2.对于函数$f(x)=a\lnx+be^{x-1}-(a+2)x+a$，当$b=2$时，对于任意$x\geq1$，$f(x)\geqC$成立。将不等式化简可得$x(2e^{x-1}-(x-1)-1)\geqa(e^{\lnx}-\lnx-1)$，由于$x\geq1$，因此$2e^{x-1}-(x-1)-1\geq0$，即$e^{x-1}\geq\frac{x}{2}$。因此构造函数$g(x)=e^{-x}-\frac{1}{2}x$，由于在$[1,\infty)$内单调递减，因此$a\leq2$。3.对于函数$f(x)=x-\ln(x+1)$和$g(x)=e^x-x-1$，如果$g(x)\geqkf(x)$对于任意$x\geq0$恒成立，则有$e^{-x}-\frac{1}{x+1}\geqk$。由于$x\geq0$，因此$e^{-x}\geq1$，即$x=0$时等号成立。因此$k\leq1$。4.对于函数$f(x)=e^x+mx-1$，不等式$f(x)+\ln(x+1)\geqC$对于任意$x\geq0$恒成立，因此有$e^{-x-1}-x+\ln(x+1)+m+2\geq0$。将不等式化简可得$e^{-x-1}-\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}+m+2x\geq0$，由于$x\geq0$，因此$e^{-x-1}\geq\frac{x}{x+1}$。因此构造函数$g(x)=e^{-x-1}-\frac{x}{x+1}$，由于在$[0,\infty)$内单调递减，因此$m\geq-2$。5.对于函数$f(x)=ax+\lnx$，当$a=1$时，不等式$xe^x+1>f(x)+m$对于任意$x\in(0,\infty)$恒成立。因此有$e^x>\frac{x+1}{x}+m$，即$e^{x-1}>\frac{x+1}{x}+\frac{m}{e}=\frac{x+me+1}{ex}$。因此构造函数$g(x)=e^{x-1}-\frac{x+me+1}{ex}$，由于在$(0,\infty)$内单调递增，因此$m<e-1$。6.对于函数$f(x)=\lnx+a$，当$a\leq0$时，$f(x)\leq0$，因此不等式$\frac{f(x)}{x}\leqm$对于任意$x\in(0,\infty)$恒成立。当$a>0$时，不等式$\frac{f(x)}{x}\leqm$对于任意$x\in(0,\infty)$不一定恒成立。因此$m\geq0$。1.题目：2x,(a∈R)，g(x)=e^(-2)。若f(x)≤g(x)在(0,+∞)上成立，求a的取值范围。解析：根据题目条件，有f(x)≤g(x)，即e^(-ax)≤e^(-2)，两边取对数得ax≥2，即a≥2/x。又因为a∈R，所以2/x的取值范围为(0,+∞)，即a的取值范围为[a≥2/x,+∞)。2.题目：已知函数f(x)=e^(x+Inx-x-In(x-1))≥m-2，求m的取值范围。解析：化简f(x)得e^(2x-Inx-In(x-1))≥m-2，又因为e^(2x-Inx-In(x-1))=e^(Inx+2x-2x)=x*e^(2x-2)，所以有x*e^(2x-2)≥m-2。当x+Inx取等时，有m-2≤1，所以m的取值范围为(m≥1,+∞)。3.题目：已知函数f(x)=e^(-a(Inx+a))，求a的取值范围。解析：根据题目条件，有f(x)≤e^(2x-2)，即e^(-a(Inx+a))≤e^(2x-2)，两边取对数得a(Inx+a)≥-2x，即a≥(-2x)/(Inx+a)。又因为a∈R，所以(-2x)/(Inx+a)的取值范围为(-∞,+∞)，即a的取值范围为(-∞,+∞)。4.题目：已知函数f(x)=e^(a(lnx-x))，当a>0时，求f(x)的最小值。解析：对f(x)求导得f'(x)=e^(a(lnx-x))*(a/x-1)，令f'(x)=0得x=e^(1/a)，此时f(x)的值为e^(a(e^(1/a)-1))，即f(x)的最小值为e^(a(e^(1/a)-1))。5.题目：设f(x)=xex-ax^2，g(x)=lnx+x-x^2+1-a，当a=1时，不等式2f(x)-g(x)≤0恒成立，求a的取值范围。解析：化简不等式2f(x)-g(x)≤0得2xex-2ax^2-lnx-x+x^2-1+a≤0，整理得2xex-lnx+2ax^2-2x^2+x-a+1≤0。令h(x)=2xex-lnx+2ax^2-2x^2+x-a+1，求导得h'(x)=2aex-4x+1/x，令h'(x)=0得x=1/(2ae)，此时h(x)的值为2e/(4a^2e^2)-ln(1/(2ae))+1/(2a)-1，即a的取值范围为(a≥1/2e,+∞)。6.题目：已知函数f(x)=xex-a(x+lnx)，若f(x)>1恒成立，求实数a的取值范围。解析：根据题目条件，有f(x)>1，即xex-a(x+lnx)>1，整理得xex>1+a(x+lnx)，取对数得ex-lnx>a+ln(1+a(x+lnx)/ex)，令g(x)=ex-lnx-a-ln(1+a(x+lnx)/ex)，求导得g'(x)=a/x^2-1/x+e^(-x)(1+a(x+lnx)/ex)^(-1)，令g'(x)=0得x=1/(a+1)-ln(a+1)，此时g(x)的值为e^(1/(a+1)-ln(a+1))-ln(1+1/(a+1))+a*ln(a+1)+1/(a+1)-1，即a的取值范围为(a<e-1,+∞)。7.题目：已知函数f(x)=(x+1)Inx，g(x)=me^x，当a=1时，不等式2f(x)-g(x)≤0恒成立，求m的取值范围。解析：化简不等式2f(x)-g(x)≤0得2(x+1)Inx-lnm-mx≤0，令h(x)=2(x+1)Inx-lnm-mx，求导得h'(x)=2/x-1/(x+1)-m，令h'(x)=0得x=(1+√(1+8m))/2或x=(1-√(1+8m))/2，此时h(x)的值为2(1+√(1+8m))In(1+√(1+8m))-lnm-m(1+√(1+8m))或2(1-√(1+8m))In(1-√(1+8m))-lnm-m(1-√(1+8m))，即m的取值范围为(m∈[2/e,+∞)且m≥(1+√(1+8/e))/2)或(m∈[2/e,+∞)且m≤(1-√(1+8/e))/2)。8.题目：已知函数f(x)=xex-a(Inx+x+1)，求a的取值范围。解析：根据题目条件，有f(x)≤e^x/(x+1)，即xex-a(Inx+x+1)≤e^x/(x+1)，两边取对数得a(Inx+x+1)-x≥ln(x+1)-lnx，令h(x)=a(Inx+x+1)-x-ln(x+1)+lnx，求导得h'(x)=a/x-1/(x+1)+e^(-x)(x+1)^(-1)，令h'(x)=0得x=1/(a-1)-1，此时h(x)的值为a(1/(a-1)-1+In(1/(a-1)))-1-ln(a/(a-1))+ln((a-1)/a)，即a的取值范围为(a>1,+∞)。9.题目：已知函数f(x)=xex-a(x+lnx)，若f(x)>e^-x恒成立，求实数a的取值范围。解析：根据题目条件，有f(x)>e^-x，即xex-a(x+lnx)>e^-x，整理得xex>e^-x+a(x+lnx)，取对数得ex-lnx<-a-ln(1+a(x+lnx)/ex)，令g(x)=ex-lnx+a+ln(1+a(x+lnx)/ex)，求导得g'(x)=a/x^2-1/x+e^(-x)(1+a(x+lnx)/ex)^(-1)，令g'(x)=0得x=1/(a+1)-ln(a+1)，此时g(x)的值为e^(1/(a+1)-ln(a+1))+a*ln(a+1)+ln(1+1/(a+1))-1，即a的取值范围为(a<e-1,+∞)。10.题目：已知函数f(x)=(x+)Inx，g(x)=me^x，求m的取值范围。解析：根据题目条件，有2(x+)Inx≤me^x，即2Inx+(2x)/(x+1)≤lnm+x，令h(x)=2Inx+(2x)/(x+1)-lnm-x，求导得h'(x)=2/x-2/(x+1)-1+m*e^(-x)，令h'(x)=0得x=(1+√(1+8m))/2，此时h(x)的值为2(1+√(1+8m))In(1+√(1+8m))-lnm-(1+√(1+8m))，即m的取值范围为(m≥(1+√(1+8/e))/2)。设$F(x)=e^{-x}-1$，则$F'(x)=-e^{-x}$.$F(x)$在$x=0$处取得最小值$F(0)=0$，因此$F(x)\geqF(0)=0$，即$e\geqx+1$（当且仅当$x=0$时取等号）。由$e\geqx+1(x\inR)$可得$e\geqx$（当且仅当$x=1$时取等号）。因此，$lnx\leqx-1(x>0)$（当且仅当$x=1$时取等号）。接着证明$me^{x}-lnx-2>0$。因为$x>0$，$m\geq1$，且$e\geqx+1$与$lnx\leqx-1$不同时取等号，所以$me^{x}-lnx-2>m(x+1)-(x-1)-2=(m-1)(x+1)\geq0$。综上可知，当$m\geq1$时，$f(x)>1$。设$f(x)=xe^{ax},a\inR,g(x)=axlnx+aInx+(a-1)x$，当$x\in(1,+\infty)$时，若$f(x)\geqg(x)$恒成立，则$a$的取值范围为$(0,1]$。证明过程如下：$x+xe^{ax}\geqaxlnx+aInx+(a-1)x$，即$x(1+e^{ax})\geqaxlnx+aInx+x(a-1)$。构造$h(x)=x+xe^x$，则$h(x)$单调递增，$h(x)\geqh(lnx)$，化简得$axlnx+aInx\leqx(a-1)$。因为$x>1$，所以$\frac{1}{x}<1$，从而$axlnx+aInx<x(a-1)$，即$a>0$。又因为$h(x)$单调递增，所以当$x\in(1,+\infty)$时，$h(x)>h(1)=2$，即$x+xe^{ax}>2$。因此，$axlnx+aInx+x(a-1)<x+xe^{ax}\leqaxlnx+aInx+x(a-1)+2$，即$0<2<x(1+e^{ax})-axlnx-aInx-x(a-1)\leq2$。因此，$x(1+e^{ax})>axlnx+aInx+x(a-1)$，即$xe^{ax}>Inx+(a-1)x$。对于$x\in(1,+\infty)$，$g'(x)=aInx+(a-1)$，$g'(x)>0$，因此$g(x)$在$(1,+\infty)$单调递增。当$x=1$时，$f(x)=e^a,g(x)=a$，因此$a\leqe^a$。结合之前的不等式$xe^{ax}>Inx+(a-1)x$，可得$a>0$。因此，$a\in(0,1]$。设实数$\lambda>0$，若对于任意的$x\in(0,+\infty)$，不等式$e^{\lambdax}\geqx^{\lambda}-x$恒成立，则$\lambda\geq1$。证明过程如下：当$x=1$时，$e^{\lambda}\geq1$，即$\lambda\geq0$。当$\lambda=0$时，$e^{\lambdax}=1$，$x^{\lambda}-x\leq0$，不等式不成立。因此，$\lambda>0$。当$\lambda=1$时，$e^x\geqx$，不等式成立。当$\lambda>1$时，设$f(x)=e^{\lambdax}$，$g(x)=x^{\lambda}-x$，则$f'(x)=\lambdae^{\lambdax}$，$g'(x)=\lambdax^{\lambda-1}-1$，当$x\geq1$时，$f'(x)\geqg'(x)$。又因为$f(1)=g(1)=0$，因此当$x\geq1$时，$f(x)\geqg(x)$。当$0<x<1$时，$f(x)>g(x)$。因此，对于任意的$x\in(0,+\infty)$，$f(x)\geqg(x)$，即$e^{\lambdax}\geqx^{\lambda}-x$。综上可知，当$\lambda\geq1$时，不等式成立。已知$f(x)=\lnx+x-e^x+1$，求$f(x)$的最大值。$f'(x)=\frac{1}{x}+1-e^x$，令$f'(x)=0$，解得$x=\ln(\ln2)$。$f''(x)=-\frac{1}{x^2}-e^x<0$，因此$x=\ln(\ln2)$是$f(x)$的最大值点。代入得$f(\ln(\ln2))=\ln(\ln2)+\ln\ln2-2+1=\ln\ln2-1$。因此，$f(x)$的最大值为$\ln\ln2-1$。1.当$Inx+x+1\leqslant-2$时，$f(x)$的最大值为$-2+e^{x-2}+Inx$。2.已知函数$f(x)=xe^{-Inx-x-2}$的最小值为$a$，$g(x)=\frac{x}{x+1-a}$。则$a\leqslantb$。3.已知不等式$x+aInx+1\geqslantx\cdote^{\frac{1}{a}}$对$x\in(1,+\infty)$恒成立，则实数$a$的取值范围为$a\leqslant-e^{-1}$。4.已知函数$f(x)=e^{tx}+1$，$g(x)=Inx$，当$x>0$时，$t(f(x)+1)\geqslant2(x+t)g(x)$恒成立，则实数$t$的范围为$t\geqslant\frac{2Inx}{e+1}$。5.不等式$x(e^{2x}-x-Inx-1)\geqslant0$恒成立，则$a$的取值范围为$\frac{1}{2}\leqslanta\leqslant1$。6.已知函数$f(x)=aInx+e^{2x-x-Inx-1}$，对任意$x\in(0,+\infty)$，都有$f(x)\geqslant0$，求实数$a$的取值范围。其中，$a\leqslant\frac{1}{2}$。同构：对于任意实数x，定义函数h(x)=e^(-x)-1，当x=1时，h(x)=e^(-1)-1>=0；当x=2时，h(x-2)=e^(x-2)-(x-2)-1=e^(-2)*e^x-(x-1)>=0。因此，当x=Inx+2时，h(x-Inx-2)+[1-(x-Inx)]>=0，即e^(x-Inx-2)+(1-(x-Inx))>=0。27.已知对于任意的实数a,b，有(b-a)e^(b-a)>=be^(-b-λa)，求实数λ的取值范围。将不等式左边的(b-a)e^(b-a)拆开，得到b*e^(-a)+a*e^(-b)>=be^(-b)+a*e^(-λb)。由于a,b为任意实数，因此可以将b固定，令f(x)=x*e^(-a)+a*e^(-x)，则f(b)>=f(-b-λa)。由于f(x)是单峰函数，因此当x=b-λa时，f(x)取得最大值。因此，f(b)>=f(b-λa)。将x=b-λa代入f(x)得到b*e^(-λa)+λa*e^(-b)>=0。令g(λ)=b*e^(-λa)+λa*e^(-b)，则g(λ)>=0，即λ<=1。28.已知函数f(x)=Inx-ax+1恒小于等于0，求实数a的取值范围。由于f(x)<=0，因此Inx-ax+1<=0，即Inx<=ax-1。令h(x)=Inx-ax，h(x)的图像为一条斜率为-a的直线，因此当且仅当h(x)与x轴相切时，取得最大值。因此，h(x)在x=e^(-a)处取得最大值，即In(e^(-a))=ae^(-a)<=1，因此a>=-W(1/e)，其中W为LambertW函数。29.已知函数f(x)=x+Inx，g(x)=xInx，且f(x1)=Int，g(x2)=t，求x1*x2*Int的最小值。由f(x1)=Int可得x1=e^(Int-1)，由g(x2)=t可得x2=W(t)，其中W为LambertW函数。因此，x1*x2*Int=e^(Int-1)*W(t)*Int。由于W(t)>=t/(e*t+1)，因此x1*x2*Int>=e^(Int-1)*t/(e*t+1)*Int。令h(t)=e^(Int-1)*t/(e*t+1)*Int，则h'(t)=e^(Int-1)*[(e*t+1-1)/(e*t+1)^2]*Int^2>=0，因此h(t)单调递增。因此，当t取得最小值时，x1*x2*Int也取得最小值。由于t>0，因此当t=e时，x1*x2*Int达到最小值，即x1*x2*Int=-1/e。30.已知函数f(x)=x*e，g(x)=xInx，且f(x1)=g(x2)=t>0，求x1*x2*Int的最大值。由f(x1)=t可得x1=t/e，由g(x2)=t可得x2=W(t)，其中W为LambertW函数。因此，x1*x2*Int=x2*e^(x2-x1