2020年高考真题-数学（全国卷II）（文科）

2020年高考真题——数学（全国卷II）（文科）1.已知集合，，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：交集绝对值不等式的解法答案：D解析：因为，

或，

所以

故选D.总结：本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.2.​（

）A.

B.

C.

D.

知识点：复数的乘法答案：A解析：

故选A.总结：本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力.3.如图，将钢琴上的个键依次记为，，，设​若且，则称，，为原位大三和弦；若​且​，则称，，为原位小三和弦．用这个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（

）

A.

B.

C.

D.

知识点：排列与组合的综合应用答案：C解析：根据题意可知，原位大三和弦满足：．

；

；

；

；

．

原位小三和弦满足：．

；

；

；

；

．

故个数之和为．

故选C．总结：本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成

份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作已知该超市某日积压

份订单未配货，预计第二天的新订单超过

份的概率为，志愿者每人每天能完成

份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者（

）A.

名

B.

名

C.

名

D.

名知识点：统计图表分析答案：B解析：由题意，第二天新增订单数为，

故需要志愿者

名

故选B.5.已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（

）A.

B.

C.

D.

知识点：向量的数量积的定义两个向量数量积的几何意义答案：D解析：由已知可得：

A：因为，所以本选项不符合题意；

B：因为，所以本选项不符合题意；

C：因，所以本选项不符合题意；

D：因为，所以本选项符合题意

故选D.总结：本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.6.记为等比数列的前项和．若，，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：等比数列的通项公式等比数列的基本量答案：B解析：设等比数列的公比为，

由

可得：，

所以

因此

故选B.总结：本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力7.执行右面的程序框图，若输入的，，则输出的为（

）

A.

B.

C.

D.

知识点：算法与程序框图答案：C解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值模拟程序的运行过程

第次循环，，，为否；

第次循环，，，为否；

第次循环，，，为否；

第次循环，，，为是，退出循环；

输出故选C.总结：本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题8.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：点到直线的距离圆的定义与标准方程直线与圆的位置关系及其判定答案：B解析：因为过点的圆与两坐标轴都相切，所以可设圆心的坐标为则圆的半径为.由解得或所以圆心的坐标为或.因为点到直线的距离为点到直线的距离为所以圆心到直线的距离为.9.设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为，则的焦距的最小值为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：双曲线的渐近线双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距双曲线的标准方程答案：B解析：双曲线的渐近线方程为由得则故.又(当且仅当时取等号)，即所以的焦距的最小值为.10.设函数，则（

）A.

是奇函数，且在,单调递增

B.

是奇函数，且在,)单调递减C.

是偶函数，且在,单调递增

D.

是偶函数，且在,)单调递减知识点：单调函数的运算性质函数奇、偶性的定义五个常见幂函数的图象与性质答案：A解析：因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函数为奇函数．

又因为函数在,上单调递增，在上单调递增，

而在,上单调递减，在上单调递减，

所以函数在,上单调递增，在上单调递增．

故选A．总结：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．11.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上若球的表面积为，则到平面的距离为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：点到平面的距离球的结构特征及其性质球的表面积答案：C解析：设球的半径为，则，解得：

设外接圆半径为，边长为，

是面积为的等边三角形，，解得：，

，

球心到平面的距离

故选C.总结：本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面12.若，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：指数（型）函数的单调性对数的性质函数单调性的应用答案：A解析：构造函数易知为上的增函数.由得即.故选.总结：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想13.若，则

​．知识点：二倍角的正弦、余弦、正切公式答案：解析：

故答案为：14.记为等差数列的前项和．若，则

​知识点：等差数列的通项公式等差数列的基本量等差数列的前项和的应用答案：解析：设等差数列{}的公差为，由​，可得​，即，解得，.15.若，满足约束条件​则​的最大值是

​．知识点：简单的线性规划问题答案：解析：不等式组表示的平面区域为下图所示：

平移直线​，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大，

此时点的坐标是方程组​的解，解得​，

因此​的最大值为​

故答案为.16.设有下列四个命题：

：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内

：过空间中任意三点有且仅有一个平面

：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行

：若直线平面，直线平面，则

则下述命题中所有真命题的序号是

​

①；

②；

③；

④.知识点：立体几何中的四点共面、三点共线空间中直线与平面的位置关系或、且、非的综合应用点与直线、点与平面的位置关系异面直线基本事实1命题的真假性判断答案：①③④解析：对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；

若与相交，则交点在平面内，同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；

对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题为假命题；

对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，命题为假命题；

对于命题，若直线平面，则垂直于平面内所有直线，

直线平面，

直线直线，

命题为真命题

综上可知，为真命题，为假命题，为真命题，为真命题

故答案为：①③④17.的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求；(2)若，证明：是直角三角形．知识点：余弦定理及其应用利用诱导公式化简判断三角形的形状同角三角函数的平方关系答案：(1)因为，所以，

即，

解得，又，

所以；(2)因为，所以，

即①，

又②，

将②代入①得，，

即，而，解得，

所以，

故，

即是直角三角形．解析：(1)根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出；(2)根据余弦定理可得，将代入可找到关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．总结：(2)本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的

个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取

个作为样区，调查得到样本数据，，，，，其中和分别表示第

个样区的植物覆盖面积(单位：公顷和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；(2)求样本，，，，的相关系数（精确到）；

附：相关系数​，(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由知识点：样本平均数与总体平均数分层随机抽样的概念样本相关系数r的计算答案：(1)样区野生动物平均数为，地块数为，该地区这种野生动物的估计值为.(2)样本的相关系数为

.(3)由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可解析：(1)利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；(2)利用公式​计算即可；(3)各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样总结：(3)本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题19.已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴重直的直线交于，两点，交于，两点，且．(1)求的离心率；(2)若的四个顶点到的准线距离之和为，求与的标准方程．知识点：椭圆的离心率椭圆的标准方程椭圆的定义椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距抛物线的标准方程抛物线的定义答案：(1)因为椭圆的右焦点坐标为：，所以抛物线的方程为，

其中

不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：，

所以当时，有，因此的纵坐标分别为，；

又因为抛物线的方程为，所以当时，有，

所以的纵坐标分别为，，故，

由得，即，

解得（舍去），

所以的离心率为.(2)由（）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，

的准线为

由已知得，即

所以的标准方程为，

的标准方程为解析：(1)根据题意求出的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限，运用代入法求出点的纵坐标，根据结合椭圆离心率的公式进行求解即可；(2)由（）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；总结：(2)本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力20.如图，已知三棱柱​的底面是正三角形，侧面​是矩形，，分别为，​的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．

(1)证明：，且平面​平面​；(2)设为​的中心，若，平面​，且，求四棱锥​的体积．知识点：基本事实4棱锥的结构特征及其性质直线与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的性质定理答案：(1)分别为，的中点，

，又，

，

在等边中，为中点，则，

又侧面为矩形，

，

，，由，平面，

平面，

又，且​平面，平面，

平面，

又平面，且平面平面，

，

，

又平面，

平面，

平面，

平面平面.(2)过作垂线，交点为，画出图形，如图，

平面，

平面，平面平面，

，

又，

，

为的中心，

.

故，则，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

又在等边中，

即，

由（）知，四边形为梯形

四边形的面积为，

，

为到的距离，

解析：(1)由分别为，的中点，，根据条件可得，可证，要证平面平面，只需证明平面即可；(2)根据已知条件求得和到的距离，根据锥体体积公式，即可求得总结：(2)本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题21.已知函数．(1)若​，求的取值范围；(2)设时，讨论函数（）的单调性．知识点：利用导数求参数的取值范围利用导数讨论函数单调性函数中的恒成立问题答案：(1)函数的定义域为：

，

设，则有，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以当时，函数有最大值，

即，

要想不等式在上恒成立，

只需；(2)且

因此，设，

则有，

当时，，所以，

单调递减，因此有，即，

所以单调递减；

当时，，所以，

单调递增，因此有，即，

所以单调递减，所以函数在区间和上单调递减，没有递增区间解析：(1)不等式转化为，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；(2)对函数求导，把导函数的分子构成一个新函数，再求导得到，根据的正负，判断的单调性，进而确定的正负性，最后求出函数的单调性总结：(2)本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题22.已知曲线，的参数方程分别为：（为参数），：（为参数）.(1)将，的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系设，的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程知识点：参数方程和普通方程的互化简单曲线的极坐标方程及应用圆的定义与标准方程极坐标和直角坐标的互化答案：(1)由得的普通方程为：；

由

得

两式作差可得的普通方程为：.(2)

由

得：

即；

设所求圆圆心的直角坐标为

，其中

，

则，

解得：，

所求圆的半径

，

所求圆的直角坐标方程为：，

即

，

所求圆的极坐标方程为

解析：(1)分别消去参数

和

即可得到所求普通方程；(2)两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程总结：(2)