大会2015集ms6913一个分数阶复系统动力学分析与同步

,西安交通大学机械结构强度与振动国家重点,西安分数阶系统，分岔,混沌,同步引1983年Mandelbort了自然界及许多科学领域中存在大量的分数维事实整数阶微积分都是研究的重点内容,但整数阶微积分仅仅决定于函数的局部特征,在很多方面应用分数阶数学模型可以更准确地描述实际系统的动态响应.近几十年,基金项目:国家自然科学基金 1分数阶复T分数阶T系统,其构造如下:D1ya(yy Dq2y(ba)yay

1D3y(yyyy) 1 1 其中y(y,y,y)T为状态变量,yxix,yx 是复状态变量,其中i ,y12 Dq1xa(xx qDq1x2a(x4x2D2x(ba)xaxx 1D2x(ba)xax 2D3xxxxx 1 2 当参数取a2.1,b30,c0.6,阶数qq1q2q30.99,系统(2)为混沌,如图1所示图1系统在三维相空间中的吸及在不同相平面上的投数值都具有不变性.而且系统是关于轴x5对称的.E(0,0,0,0,

b c(ba)/其中r c(ba)/,a2((ab)22bc2ac)λa2c(ab)2平衡点Eθ对应的特征方程为Routh-Hurwitz判据,当b(ac2a(ba),(c0时,Eθa2.1,b30,c0.6,Eθ当其它参数固定为b30,c0.6q0.99,系统(2)a变化的分岔,如图2所示.可以看到系统随着参数a从0.8增大到2.5,图2.a[0.8,2.5]a2.1c0.6q0.99,数值模拟得到了系统(2)随参数b变化的分岔,见图4.可以看到随着参数的减小,系统是通过切分岔离开混沌,继而发生了周期倍分岔.当b0.6a的值不变,图5是系统随参数c变化的分岔图.在c[0.34,0.82],系统随参数的变化发生了一系列的周图4.参数b[15,35]时的分岔图 图5.参数c[0.34,0.82]时的分岔图图6.q[0.9,1图7(a)q1[0.9,1]b)q2[0.87,1.05]Dαyf(y) DβZg(z)u(y,z) yyy,y)TRnzzz,z)TRn1 1 y ix和z ix,(j1,2,,n).u(y,z):RnRnRn是同步控制器 2j 2 2j 2定义同步误差向量ezκyylimt

t

zκ(y)

0 κ(jyj1,2,n是连续的标度函数.为了简单起见,将同步误差向量进行虚实分离,即eere,其中erezreκyyreeimzimκyyimθ(y)Dβ(κ(y)y)g(κ(y)y) 其中τyzRnRnRn是一个向量函数 ,DβeA(y,z)eB(y,z)e[A(y,z)B(y,

当t时如果误差变量趋向于0,则误差动力系统渐进收敛到P[A(y,z)B(y,z)][A(y,z)B(y,z)]P=-Q 则系统(3)和(4)达到了函数投影同步P和Q为对称正定矩阵,ByzRnn证明对于误差动力系统 , PAyzByzAyzByz)]PQ,P和Q,均为实对称正定阵,βQβ0,β

β

0 argλππq,(0q1 误差动力系统的平衡点是渐进稳定的.所 可以得到limt

limzκ(y)t

0这说明驱动系统和响应系统达到了函数投影同步Dβz

a(zz(ba)zaz(ba)zaz 2 1 3

1(zzzz)cz21 1 3

x x 1 1 Dβx

β

D (ba)xax

u(y,z) 3

β

(ba)xaxDx4xβx

2

25Dx5 1 2 5同步误差定义为ezκyyereieim,其中eree,1e3e5)T,eime2e4)T0a000a0000a0 A(xj,xj)(ba) 2并且选择B(xjxj

00000000x0 ax1B(xj,xj) 1(a

Dβe

eβ1 1D eβ

2D

κ(x)xe β

2 24β xκ(x)xκ eDe5 5P[A(xjxjB(xjxj[A(xjxjB(xjxj)]HP=diag(-2a,-2a,-2,-2,-2c,根据定理1,可得驱动系统(2)和(κ(xdiag(10.1x1x3x2x41x32x410.1x1x5,两系统的初值分别为(8,7,5,6,10)和(1,2345.仿图8(2)和响应系统(18)3MandelbortB.B.:Thefractalgeometryofnature.NewYork:man,Li,C.P.,Deng,W.H.,Xu,D.ChaossynchronizationoftheChuasystemwithafractionalorder.PhysicaA,2006,360(2),171–185Arena,P., to,R.,Fortuna,L.,Porto,D.ChaosinafractionalorderDuffingsystem.In:ProcBudapest,1997,Lu,J.G.,Chen,G.R.Anoteonthefractional-orderChensystem.ChaosSolitons&Fractals,2006,27(3),685-Mahmoud,G.M.,Al-Kashif,M.A.,FarghalyA.A.Chaoticandhyperchaoticattractorsofacomplexnonlinearsystem.Phys.A:Math.Theor.2008,41(5),Roldab,E.,Devalcarcel,G.J.,Vilaseca,R.Single-mode-laserphasedynamics.Phys,Rev.A,1993,48(1),591-Ning,C.Z.,Haken,H.DetunedlaserandthecomplexLorenzequations-subcriticalandsupercriticalHopfbifurcations.Phys,Rev.A,1990,41(7),591-598Toronov,V.Y.,Derbov,V.L.BoundednessofattractorsinthecomplexLorenzmodel.Phys,Rev.E,1997,55(3),3689-Mahmoud,G.M.,Ahmed,M.,Mahmoud,E.E.ysisofhyperchaoticLorenzcomplexsystem.Int.J.Mod.Phys.C,2008,19(10),1477-1494Tigan,G.,Opris,D.ysisofa3Dchaoticsystem.ChaosSolit.Fract.2008,36(5),1315-Tigan,G.,Dana,C.HeteroclinicorbitsintheTandLüsystems.ChaosSolit.Fract.2009,42(1),20-Podlubny,I.:Fractionaldifferentialequations.AcademicPress,SanDiego,Liu,X.J.,Hong,L.,Yang,L.X.Fractional-ordercomplexTsystem:bifurcations,chaoscontrol,andsynchronization.NonlinearDyn,2014,75,589-602THEDYNAMICSANDSYNCHRONIZATIONOFAFRACTIONAL-ORDERCOMPLEXSYSTEMLIUXiaojun,HONGStateKeyLaboratoryforStrengthandVibrationofMechanicalXi’anJiaotongUniversity,Xi’an,710049,Inthispaper,thefractional-ordercomplexTsystemisproposed.Thedynamicsofthesystemludingsymmetry,thestabilityofequilibriumpoints,bifurcationswithvariationofsystemparametersderivativeordersareinvestigated.Furthermore,basedonthestabilitytheoryoffractional-ordersystems,theschemeoffunctionprojectivesynchronizationforthefractional-ordercomplexTsystemispresented.And