两个随机变量函数的分布课件

§3.3二维随机变量函数的分布已知（X，Y）的分布，求其函数Z=g(X,Y)的分布内容：要点：一、离散型二、连续型（和的分布）要求：掌握基本方法下页§3.3二维随机变量函数的分布已知（X，Y）的分布，求其函一、离散型例1．已知（X,Y)的联合分布律-1,0,2,3,5,且求Z=X+Y的概率分布.解：Z=X+Y的所有可能取值为：P{Z=-1}=P{X+Y=-1}=P{X=-1，Y=0}=1/10P{Z=0}=P{X+Y=0}=P{X=-1，Y=1}=1/20P{Z=2}=P{X+Y=2}=P{X=-1，Y=3}+P{X=2，Y=0}=3/20+3/10pk1/101/209/2004/10Z-102351/101/203/203/1004/10-12013XY问题：Z=XY的概率分布？下页一、离散型例1．已知（X,Y)的联合分布律-1,已知X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=g(X,Y)的密度.

Z=X+Y的分布函数是:

FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}是直线x+y=z左下方的半平面.(一)Z=X+Y的分布二、连续型下页已知X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=g(X,Y)的

化成累次积分,得

固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得变量代换交换积分次序下页化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:

由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成

以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.下页由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:

这两个公式称为卷积公式.下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度下页卷积公式.当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x

解

X、Y的概率密度例2

设X、Y的相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，求Z=X+Y的分布。下页解X、Y的概率密度例2设X、Y的相互独立

z-10z12u0z-11z2u当0≤z≤1时，fZ(z)=当1＜z＜2时，fZ(z)=所以法一下页0z-11z下页法二下页法二

例3设X和Y是两个互相独立的随机变量，且X～N（0，1），Y～N（0，1），求Z=X+Y的概率密度。解

由于X、Y互相独立，由卷积公式即

Z=X+Y～N（0，2）下页例3设X和Y是两个互相独立的随机变量，且X～N（0

（2）如果Xi(i=1,2,…,n)为n个互相独立的随机变量，且Xi~N(μi，σi2)，则

一般地（1）若X1~

，X2~N

，且X1、X2相互独立，则有X1+X2~N注意：1.卷积公式的条件及选择；2.一般地，如求XY，X/Y，max(X,Y)可考虑分布函数法下页（2）如果Xi(i=1,2,…,n)为n个互相（二）Z=X/Y与Z=XY的概率分布设（X、Y）是二维连续型随机向量，概率密度为f(x,y)求Z=X/Y的概率分布。解故Z=X/Y的概率密度为特别地，当X、Y相互独立时有x/y=z下页（二）Z=X/Y与Z=XY的概率分布设（X、Y）是二补充例1.设X,Y相互独立服从同一分布,且P{X=i}=1/3(i=1,2,3)令Z=max(X,Y).求Z的概率分布解：先求X,Y的联合分布律。因为X,Y独立，所以

P{X=iY=j}=P{X=i}P{Y=j}1/91/91/91/91/91/91/91/91/9123123XYZ=max(X,Y)的所有可能取值为1,2,3P{Z=1}=P{X=1,Y=1}=1/9P{Z=2}=P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=2}=1/3P{Z=3}=P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=2}+P{X=3,Y=3}+P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=3}=5/9下页补充例1.设X,Y相互独立服从同一分布,且P{X=i}补充例2(课后习题17).解:所以下页补充例2(课后习题17).解:所以下页下页下页补充例3(99数学4—积的分布）设随机向量（Ｘ，Ｙ）在矩形Ｇ＝{(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}上均匀分布，试求边长Ｘ和Ｙ的矩形面积Ｓ的概率分布。21xy=2解：设面积Ｓ的分布函数为FS(s),则FS(s)＝P{S≤s}若0≤s≤2,则FS(s)＝P{S≤s}＝P{ＸＹ≤s}=1-P{ＸＹ>s}S<0,则FS(s)＝P{S≤s}=0S>2,则FS(s)＝P{S≤s}=1所以下页补充例3(99数学4—积的分布）设随机向量（Ｘ，Ｙ）在矩形补充4(课后习题19)

M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.又由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:即有FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有分析：P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)下页

类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是即有=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]FM(z)=FX(z)FY(z)

具体见下例补充4(课后习题19)M=max(X,Y)及N=min(例设随机向量（Ｘ，Ｙ）在矩形Ｇ＝{(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}上均匀分布，试求Z=min（Ｘ，Ｙ)概率密度。设Z=min（Ｘ，Ｙ)的分布函数为FＺ(z),则FZ(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]12解：容易判定Ｘ和Ｙ相互独立，且下页例设随机向量（Ｘ，Ｙ）在矩形Ｇ＝{(x,y)|0≤x作业：

80页

18结束补充题：设X、Y相互独立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函数.作业：80页

18结解一：用分布函数法例.设X、Y相互独立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函数.现考虑f(x,y)>0的区域与x+y≤z的取值，分四种情况计算.①当z<0时，Fz(z)=0；②当z>2时，Fz(z)=1；下页③当0≤z≤1时，解一：用分布函数法例.设X、Y相互独立,fX(x)和fY解1：用分布函数法例.设X、Y相互独立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函数.现考虑f(x,y)>0的区域与x+y≤z的取值，分四种情况计算.④当1<z≤2时，下页解1：用分布函数法例.设X、Y相互独立,fX(x)和fY解1：用分布函数法所以，例.设X、Y相互独立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函数.现考虑f(x,y)>0的区域与x+y≤z的取值，分四种情况计算.下页解1：用分布函数法所以，例.设X、Y相互独立,fX(x)

z-10z12u0z-11