空间点、直线、平面之间的位置关系高一下数学人教A版（2019）必修2

空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.2第八章立体几何初步空间中直线与直线的位置关系1平面内的两条直线只有两种关系：平行或相交，那么在空间中呢？观察你所在的教室.(1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？问题一提示平行.观察你所在的教室.(2)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是平行直线吗？是相交直线吗？问题一提示既不是平行直线，也不是相交直线.知识梳理1.异面直线的定义和画法(1)定义：

的两条直线叫做异面直线.(2)画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个

衬托.不同在任何一个平面内平面2.空间中直线与直线的位置关系位置关系是否在同一平面内公共点个数共面直线相交直线____1平行直线是0异面直线____0是否知识梳理例1利用长方体的性质(1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，①直线A1B与直线D1C的位置关系是______；平行解析

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.例1②直线A1B与直线B1C的位置关系是______；异面解析

直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.例1③直线D1D与直线D1C的位置关系是______；解析

直线D1D与直线D1C相交于点D1.相交例1④直线AB与直线B1C的位置关系是______.异面解析

直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.例1(2)如图，AB∩α＝B，A∉α，a⊂α，B∉a.直线具有怎样的位置关系？为什么？解

直线AB与a异面.理由如下：若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行.设它们确定的平面为β，则B∈β，a⊂β.由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α，因此平面α与β重合，从而AB⊂α，进而A∈α，这与A∉α矛盾.所以直线AB与a是异面直线.直接用定义可以吗？反思感悟判断空间两条直线位置关系的决窍(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.(3)例1(2)告诉我们一种判断异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.跟踪训练1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是A.平行

B.异面C.相交

D.平行、相交或异面√解析

可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.空间中直线与平面的位置关系2一支笔所在的直线与桌面所在的平面有哪些位置关系呢？问题二提示(1)直线在平面内——有无数个公共点.(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点.(3)直线与平面平行——没有公共点.知识梳理位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有______公共点

公共点

公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示无数个有且只有一个没有例2(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是A.直线上所有的点都在平面外B.直线上有无数多个点都在平面外C.直线上有无数多个点都在平面内D.直线上至少有一个点在平面内解析

直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外.√例2(2)(多选)若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中假命题是A.若a∥b，b⊂α，则a∥αB.若a∥α，b∥α，则a∥bC.若a∥b，b∥α，则a∥αD.若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面解析

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，故A错误；A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，但A1B1与B1C1相交，故B错误；√√√例2(2)(多选)若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中假命题是A.若a∥b，b⊂α，则a∥αB.若a∥α，b∥α，则a∥bC.若a∥b，b∥α，则a∥αD.若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面√√√解析

AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，故C错误；因为a∥α，所以a与α无公共点，又b在α内，所以a与b无公共点，所以a∥b或a与b异面.反思感悟判断直线与平面的位置关系在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断.跟踪训练2下列命题中正确的个数是①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.A.0

B.1

C.2

D.3√解析

如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；跟踪训练2下列命题中正确的个数是①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.A.0

B.1

C.2

D.3解析

假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即命题③正确.故选B.√空间中平面与平面的位置关系3拿出一本书看作一个平面，随意上下、左右移动和翻转，它和桌面所在平面的位置关系有几种？有什么特点？问题三提示有两种，平行、相交.知识梳理位置关系两平面平行两平面相交公共点

公共点有

个公共点(在一条直线上)符号表示______________图形表示

没有无数α∩β＝lα∥β例3(多选)以下四个命题中，正确的有A.在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行B.在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离

相等且不为0，那么这两个平面平行D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两

个平面平行或相交√√解析

当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行于另一个平面，所以AB错误.反思感悟判定两平面位置关系的方法利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法.跟踪训练3(1)已知两直线m，n，两平面α，β，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m与n的位置关系是A.平行

B.相交

C.异面

D.平行或异面√解析

因为α∥β，所以α与β没有公共点，又m⊂α，n⊂β，所以m与n没有公共点，则m与n的关系为平行或异面.跟踪训练3(2)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是A.平行

B.相交C.平行或相交

D.无法确定√解析

根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系，如图所示.1.知识清单：(1)两直线的位置关系.(2)直线与平面的位置关系.(3)平面与平面的位置关系.2.方法归纳：举反例、特例.3.常见误区：异面直线的判断.课堂小结随堂演练4解析√若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是A.共面

B.平行

C.异面

D.平行或异面若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.解析√若直线l∥平面α，直线a⊂α，则A.l∥a

B.l与a异面C.l与a相交

D.l与a没有公共点若直线l∥平面α，直线a⊂α，则l∥a或l与a异面，故l与a没有公共点，故选D.解析√(多选)两平面α，β平行，a⊂α，则下列四个命题正确的是A.a与β内的所有直线平行B.a与β内无数条直线平行C.a与β至少有一个公共点D.a与β没有公共点a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面，A错误，B正确；根据定义，a与β没有公共点，C错误，D正确.√解析如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有A中，GH∥MN.B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直