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文档简介
掌握双曲线简单几何性质.理解双曲线渐近性及渐近线概念.掌握直线与双曲线位置关系.2.3.2双曲线简单几何性质【课标要求】【关键扫描】双曲线几何性质理解和应用.(重点)与双曲线离心率,渐近线有关问题.(难点)经常与方程、三角、平面向量、不等式等内容结合考查学生分析问题能力.
1.2.3.1.2.3.第1页双曲线几何性质自学导引标准方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)图形第2页性质焦点______________________________________焦距_________范围|x|≥a,y∈R|y|≥a,x∈R对称性有关x轴、y轴、原点对称顶点______________________________________轴长实轴长=___,虚轴长=___离心率e=___(e>1)渐近线________________续表F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)|F1F2|=2cA1(-a,0)、A2(a,0)A1(0,-a)、A2(0,a)2a2b第3页试一试:尝试用a,b表达双曲线离心率.第4页(2)顶点:双曲线与它对称轴交点叫双曲线顶点,双曲线只有两个顶点,对应线段叫实轴,实轴长为2a.而虚轴长为2b,且a2+b2=c2.尤其地当2a=2b时双曲线叫等轴双曲线,方程为x2-y2=a2或y2-x2=a2.名师点睛第5页第6页把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.①当b2-a2k2=0时,直线l与双曲线渐近线平行,直线与双曲线C相交于一点.②当b2-a2k2≠0时,Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲线相交;Δ=0⇒直线与双曲线有一种公共点,此时称直线与双曲线相切;第7页Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点,此时称直线与双曲线相离.注意:直线和双曲线只有一种公共点时,直线不一定与双曲线相切,当直线与双曲线渐近线平行时,直线与双曲线相交,只有一种交点.第8页题型一已知双曲线标准方程求其几何性质求双曲线16x2-9y2=-144半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.[思绪摸索]可先把方程化成标准方程,确定a,b,c,再求其几何性质.【例1】第9页规律办法已知双曲线标准方程确定其性质时,一定要弄清方程中a,b所对应值,再利用c2=a2+b2得到c,从而确定e.若方程不是标准形式先化成标准方程,再确定a、b、c值.第10页
求双曲线x2-3y2+12=0实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.【变式1】第11页[思绪摸索]可设出双曲线标准方程,依题意建立待定参数方程或方程组求解.
题型二
根据双曲线几何性质求标准方程【例2】第12页第13页第14页规律办法根据双曲线几何性质求双曲线标准方程,一般用待定系数法.首先,由已知判断焦点位置,设出双曲线标准方程,再用已知建立有关参数方程求得.当双曲线焦点不明确时,方程也许有两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0),从而直接求得.如本题中已知渐近线方程ax+by=0,可设所求双曲线方程为a2x2-b2y2=λ(λ≠0)非常简捷.第15页【变式2】第16页第17页第18页审题指导
本题主要考查直线与双曲线位置关系、向量知识及方程思想应用.题型三
直线与双曲线位置关系【例3】第19页第20页【题后反思】直线与双曲线相交题目,一般先联立方程组,消去一种变量,转化成有关x或y一元二次方程.要注意根与系数关系,根鉴别式应用.若与向量有关,则将向量用坐标表达,并寻找其坐标间关系,结合根与系数关系求解.第21页【变式3】第22页第23页[错解]假设存在m过B与双曲线交于Q1、Q2,且B是Q1Q2中点,当m斜率不存在时,显然只与双曲线有一种交点;当m斜率存在时,设m方程为y-1=k(x-1),误区警示
忽视鉴别式限制致误【示例】第24页
对于圆、椭圆这种封闭曲线,以其内部一点为中点弦是存在,而对于双曲线,这样弦就不一定存在,故求出k值后需用鉴别式判定此时直线是否与双曲线有交点.[正解]假设存在直线m过B与双曲线交于Q1、Q2,且B是Q1Q2中点,当直线m斜率不存在时,显然只与双曲线有一种交点;当直线m斜率存在时,设直线m方程为y-1=k(x-1),第25页
有关中点问题我们一般能够采取两种办法处理:
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