流体力学第七章

流体力学第七章课件1第1页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动§7-1无旋流动的速度势一、速度势的定义及其确定它是使uxdx+uydy+uzdz成为某一函数全微分的充要条件，我们把函数称为速度势。这里t为参变数。必有若是无旋运动，ω=0，在直角坐标系中必有

2第2页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动上述说明了只要求得一个速度势便可确定三个速度分量，速度势与速度的这种关系在柱坐标系与球坐标中可类似地得到，分别为又故则

由此说明了无旋必有势，反之可证有势必无旋。

3第3页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动还可证明，ψ对于任意方向l的方向导数等于该方向的分速，即证：由高等数学知识其中，是该方向的单位矢量；α为

与梯度的夹角；ul为速度在方向的分量。4第4页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动顺便可得到标量函数(不限于速度势ψ)的全微分与方向导数及梯度的关系：显然，已知速度分布要确定速度势，可直接根据速度势的定义求得。在直角坐标系中利用斯托克斯定理可证：对于无旋运动，在单连通区域中(域内没有奇点)上述线积分与积分路径无关。积分时可取一条简便的路径，例如图。5第5页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动连续性微分方程，在直角坐标中为若是无旋势流，可将代入得对于不可压缩流体，上式成为或写成即为拉普拉斯(Laplace)方程，它是一个二阶线性偏微分方程。为拉普拉斯算子。6第6页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动

满足拉普拉斯方程的函数在数学上称为调和函数。由此可见，对于不可压缩流体的无旋流动，问题归结于求解在给定边界条件与初始条件下的拉普拉斯方程，即确定调和函数ψ(x，y，z，t)。对于平面流动，uz=0，上式成为求解速度势ψ的边界条件为(1)在无穷远处，或当(2)在固壁上流体不能渗入亦不能脱离，故有即

这种边界条件下求解拉普拉斯方程的边值问题称为诺埃曼(Neumen)问题，又叫第二类边值问题。对于非定常流动，还需利用初始条件。7第7页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动二、速度势与速度环量的关系对于无旋势流，有式中终点A'与始点A重合。显然，对于单连通区域，ψ是坐标的单值函数，则Γ=0；而对于多连通区域，ψ是坐标点的多值函数，则Γ≠0。8第8页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动§7-2平面流动的流函数一、流函数的定义及其确定求解不可压缩流体平面势流问题，除了通过确定速度势ψ的途径以外，还可通过确定流函数的途径。对于不可压缩流体的平面流动，由连续性微分方程，在直角坐标系中为即它是使-uydx+uxdy成为某一函数Ψ(x，y，t)的全微分的充要条件，则有9第9页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动故

Ψ(x，y，t)就称为不可压缩流体平面流动的流函数，是拉格朗日(J.L.Lagrange)首先于1781年引入的。类似地可证：在极坐标中由此可见，只要求出一个流函数，便可确定两个速度分量。无论是无旋流还是有旋流，理想流体还是粘性流体，定常流还是非定常流，不可压缩流体的平面流动总是存在流函数。但是，空间三元流动一般不存在流函数，仅轴对称流动除外(见§7-13)。10第10页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动不可压缩流体平面流动流函数的确定。显然由于平面流动满足连续性微分方程式(7-13)，它是上述线积分与路径无关的充要条件，因此线积分时可取一条简便的路径。此外，若将式(7-14)代入式(7-13)可发现，引入流函数后连续性微分方程必自动满足。若是不可压缩流体平面无旋流，ω=0，存在将式(7-14)代入上式后得即11第11页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动说明了不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，即流函数亦是调和函数。求解流函数时还需利用边界条件:(1)在无穷远处(2)在固壁上Ψ=常量，即固壁是一条流线(见下面流函数的基本性质1)。通常取固壁上Ψ=0，即固壁作为零流线。

这种求解拉普拉斯方程的边值问题称为狄利克雷(Dirichlet)问题，又叫做第一类边值问题。对于非定常流动，还需利用初始条件。二、流函数的基本性质1.等流函数线为流线因为即为流线方程。12第12页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动2.对于不可压缩流体的平面流动，任意两点流函数之差等于通过这两点任意连线的流量。证考察通过任意一条曲线AB(z方向为单位长度)的流量(图)。对于通过微元矢量的流量则通过A、B两点的任意连线AB的流量13第13页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动由于引入流函数后自动满足不可压缩流体平面流动的连续性微分方程(7-13)，所以上述线积分与积分路径无关。显然，若AB曲线是一条流线，则ΨA=ΨB，QAB=0。若AB曲线是一条任意的封闭曲线，A、B两点重合，令此时的B点记为A'，则对于所在的单连通区域(域内没有点源、点汇或可膨胀、压缩的内边界时)，Ψ为坐标点的单值函数，否则，如在水下爆炸或有气泡运动的问题中，所研究的是多连通区域，Ψ为坐标点的多值函数，则式中Q0为通过内边界的总流量。14第14页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动3.等流函数线(流线)与等势线正交这是因为说明流函数的梯度与速度势的梯度(即速度)正交，故分别与它们垂直的等流函数线(即流线)与等势线正交。根据这一性质，流线族与等势线族组成正交网格，称为流网。在工程上，可利用绘制流网的方法图解确定平面势流的速度场。15第15页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动例.不可压缩流体流场的流函数Ψ=ax2-ay2，问：(1)流动是无旋还是有旋？(2)若无旋，确定流动的速度势。解：(1)因故是无旋流。(2)积分于是16第16页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动故则17第17页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动§7-3势流叠加原理与奇点法对于复杂势流，边界条件与初始条件往往比较复杂，要直接用解析法求解拉普拉斯方程通常十分困难，所以一般利用几个简单的基本势流的叠加得到复杂势流的解。由于这些基本势流在数学上往往存在奇点，因而势流叠加一般是奇点的叠加，故势流叠加法又称为奇点(叠加)法。这种方法的基本思想是利用凑合法，适当设置几个奇点，使叠加后得到一条符合物体边界形状的流线。18第18页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动势流遵守叠加原理，即几个基本势流叠加后仍为势流，这是势流的又一个特点。现证明如下:设将n个基本势流的速度势叠加，得不可压缩流体无旋流动的速度势满足拉普拉斯方程:由于拉普拉斯方程是线性的，因而叠加后的速度势仍满足拉普拉斯方程，即同理，对于不可压缩平面流动，若有因为平面无旋势流满足所以19第19页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动由于速度势及流函数具有上述可叠加性，因而速度亦具有可叠加性:因为所以即同理则20第20页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动§7-4基本平面势流工程上流体平行流过薄平板或平行于平面壁的理想流体流动就是平行直线流(如图)。一、平行直线流平行直线流的速度场为是定常无旋流。速度势21第21页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动上面积分设x=y=0时ψ=0，故积分常数为零。等势线为是一族平行直线(图中虚线)流函数积分中同样设x=y=0时Ψ=0(零流线)，故积分常数亦为零。流线为为一族与等势线正交的平行直线(图中实数)。显然，对于平行直线流中的任一闭合曲线，通过的流量环绕的速度环量22第22页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动压强场：由定常无旋流动的伯努利方程，因u=u∞=常量，故由此可见，当z=常量或可忽略重力影响时二、平面点源(或点汇)工程上单井的渗流可视为平面点源（或点汇）。扩散（或收缩）槽道中理想流体的流动亦可近似地当作平面点源（点汇）流动。若点源（或点汇）置于坐标原点，则可用极坐标方便地表示速度场，为是定常无旋的径向直线流。23第23页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动由连续性方程，对于单位厚度(z=1)的流场式中流量Q称为点源(或点汇)的强度。当Q为正值时是点源，当Q为负值时为点汇。上式说明了ur与r的关系曲线为双曲线。随着r的增大，ur成反比地减小。当r=0时，ur=±∞(正号相应于点源，负号相应于点汇)，所以点源(或点汇)是奇点。在直角坐标系中24第24页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动速度势上式中设r=1时，ψ=0，故积分常数仍可取为零。显然，等势线为一族以原点为心的同心圆(r=c)。确定流函数。因故上式中亦取积分常数为零。显然，流线为一族经原点的放射线(θ=C)。可见，流线与等势线相互垂直。25第25页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动对于包围点源(或点汇)的任一闭合曲线，域内是双连通区域，通过的流量而闭合曲线中扣去原点(点源或点汇)后化成了单连通区域，则通过的流量但对于任何闭合曲线，因ψ是单值函数，故环绕的速度环量为以下讨论压强分布。由定常无旋流的伯努利方程，在同一水平面(z=c)或可忽略重力影响时26第26页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动除了原点(奇点)以外，上式在全流场都适用。设r→∞时p=p∞，相应地ur=0，故C=p∞/ρ得压强分布如图所示，为二次曲线，p随着r减小而减小。p=0时存在r0，此时相应的，27第27页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动若平面点源(或点汇)在任一点(x0，y0)，如图所示，则速度或势函数与流函数分别为与28第28页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动三、平面点涡自然界中龙卷风涡核以外的流动是平面点涡运动的典型例子。工业中离心式喷油嘴、除尘器及旋风燃烧室中的流动亦与平面点涡有关。平面点涡运动又称为涡流或纯环流，它是定常无旋的圆周运动。若强度为Γ的平面点涡置于坐标原点，则在极坐标中速度场为

uθ方向与Γ方向相同，以逆时针为正。显然涡点(r=0)为奇点。实际上只有涡点是有旋的，而流场中其它各点都是无旋的。29第29页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动在直角坐标系中速度势显然，等势线为一族经过坐标原点的射线(θ=C)。流函数说明了流线是一族以原点为中心的同心圆，即与等势线正交。30第30页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动对于包围点涡的任一闭合曲线(是双连通区域)，环绕的速度环量而扣除该奇点后化成单连通区域，此时但对于任何闭合曲线，Ψ都是坐标点的单值函数，故通过它的流量31第31页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动压强分布如下:由定常无旋运动的伯努利方程，在同一水平面上或不考虑重力影响时利用边界条件：r→∞时，p=p∞，uθ=0得得形式上类似于平面点源(或点汇)的压强场。压强分布见图。32第32页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动设图中r=r0时p=0，故得实际上在自然界或工业中，往往存在一半径为的涡核(通常称为强制涡)，正是由于涡核以等速度ω像刚体那样旋转(是有旋运动)及流体的粘性才带动涡核外流体作无旋的圆周运动(称为自由涡)类似于平面点源(或点汇)，平面点涡在任一位置(x0，y0)时33第33页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动四、平面点源与点汇的叠加、平面偶极子1.平面点源与点汇的叠加若将位于A(-a，0)点、强度为Q的点源于与位于B(a，0)点等强度的点汇叠加(图)，叠加后某点p(x，y)的速度势34第34页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动流函数显然，流线是圆周角为θp跨源、汇两点的圆线族(θp=C)。等势线方程为展开化简并配方得这是与流线正交的圆线族，但不一定通过A、B两点。35第35页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动2.偶极子若点源与点汇无限接近，2a→0，且强度Q→∞，这样得到的源、汇叠加的无旋流称为偶极流，这样一对源汇称为偶极子，此时原点叫作偶极点。通常规定以汇指向源的方向为偶极子的正方向。此外，定义为偶极矩，它体现了偶极子的强度。偶极子方向指向x轴正方向时M为正，否则为负。36第36页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动※从图中可知，当A点和B点向原点O无限接近时，rA－rB≈2acosθA，而且当2a→0，Q→∞时，rA

→rB

→r，θA→θB→θ，又由于当ε为无穷小时，可以略去高阶项，得ln（1+ε）≈ε

。等势线为整理配方得所以等势线为圆心在x轴上、圆周与y轴相切的圆线族(图中虚线)。37第37页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动流函数流线为整理配方得因此流线是圆心在y轴上、圆周与x轴相切的圆线族(图中实线)。可见，流线与等势线正交。38第38页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动※在图中，BC为从B点向AP所作的垂线，则又当2a→0，α→0，sinα→α，所以rα=2asinθ，代入式39第39页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动速度场为由此可见，r→0时ψ→∞，Ψ→∞，ur、uθ、u→∞，故偶极子亦是一奇点。偶极流的压强场为40第40页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动§7-5一些基本平面势流叠加的例子设在坐标原点有强度为Q的平面点源，与速度为u∞、且平行于x轴、方向自左向右的平行直线流动叠加，叠加后的速度势一、平行直线流与平面点源的叠加流函数因而流线方程为41第41页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动流线族如图所示。各点速度为现在确定驻点(滞止点)A的位置及通过驻点的流线。由uy=0得θ=π(从流线图可见，θ=0之点在物理上不存在)；再由ux=0得求过驻点A的流线：利用42第42页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动当θ=π时代入上式得或当r→∞时θ→0，所以过驻点的流线之宽度过驻点A的流线将流场分为两部分：由平行直线流形成的这部分流动在上述过驻点A的流线之外，而由平面点源产生的那部分流动在这条流线内部。点源的作用是将来流“撑开”，这一作用和一个物体的头部相当。现在可以把这条过驻点的流线视为物体表面，只需考察物体外部的绕流。这就是所谓宽为B的平面半体(无限长柱体)绕流。当然，亦可把止述理想流体流动的别的一条合适流线看成物体表面，比作风流过一山麓或海水流过凸起海底的情形。43第43页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动二、平面点汇与点涡的叠加——螺旋流离心式水泵或风机中的流动就是这种流动。设平面点汇与点涡都置于坐标原点，并假定Γ为逆时针方向，则速度势流函数令Ψ=常量，得故它是一族对数螺旋线(图)44第44页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动类似地可得等势线为流速场为故利用定常无旋流动的伯努利方程可确定压强场：式中p0是相应于r=r0点的已知压强(如边界上的压强)。45第45页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动例.在x轴上的两点A与B(x=±a)各有强度为Q的平面点源(图)，(1)试确定流场中的速度势与流函数;(2)画出流线图，并证明x=0是一条可视为图壁的流线。解：(1)(2)流线方程为即46第46页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动化简得对于不同的C1可画出不同的流线，如图所示。当x=0时C1=0相应地Ψ=C=0故x=0是一条可视为固壁的零流线。从上例可见，单个平面点源(A)以一垂直固壁为界的流动解可用在其对称位置(B)再虚设另一等强度的点源与其叠加得到。这种方法称为镜像法(或映像法)。镜像法在工程上有一定的应用，例如，受垂直岩壁影响的水井或油井(作为点汇)的渗流解就可利用这一方法得到。47第47页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动§7-6

平行直线流绕圆柱体的无环量流动将平行直线流与方向相反的偶极子叠加便可得到平行直线流绕圆柱体的无环量流动。平行直线流绕圆柱体流动的求解在理论上与工程上有十分重要的意义。例如，它是求解机翼叶型与叶栅理论的基础。若将沿x轴正方向、速度为u∞的平行于直线流和位于坐标原点、偶极矩为M的反向偶极子叠加，则速度势为流函数流线方程是不同C值的流线如图所示。48第48页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动现考察Ψ=C=0的(零)流线：满足上述方程的解为θ=0与θ=π及即由此可见，零流线是x轴及以坐标原点为圆心、半径R=的圆周。该圆周可视为平行直线流绕流的圆柱体边界。该圆周内的流动无实际意义。利用上式得相应的偶极矩应为49第49页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动将上述M值代入式(7-50)、(7-51)得由此可确定速度场它满足无穷远处的边界条件：r→∞时50第50页，课件共56页，创作于2023年2月第七章不可压缩理想流体的无旋运动显然，包围圆柱体表面的速度环量再分析圆柱体表面上的速度分布：r=R时这说明：流体在圆柱面上各点的速度都是沿切线方向的，也就是说理想流体绕圆柱体无环量的平面流动不会与圆柱面发生分离。可见，它是满足理想流体流动时流体不能进入或脱离物体表面的边界条件；此外，圆柱体表面上的速度分布是一